Algebras kasutatakse kahte tüüpi võrdsust – identiteedid ja võrrandid. Identiteedid on sellised võrdsused, mis on teostatavad nendes sisalduvate tähtede mis tahes väärtuste puhul. Võrrandid on samuti võrdsused, kuid need on teostatavad ainult neis sisalduvate tähtede teatud väärtuste puhul.
Tähed on tavaliselt ülesande osas ebavõrdsed. See tähendab, et mõned neist võivad omandada mis tahes lubatud väärtused, mida nimetatakse koefitsientideks (või parameetriteks), samas kui teised - neid nimetatakse tundmatuteks - võtavad väärtused, mis tuleb lahendusprotsessis leida. Reeglina tähistatakse tundmatuid suurusi võrrandites tähtedega, viimased ladina tähestikus (x.y.z jne) või samade tähtedega, kuid indeksiga (x1, x 2 jne) ning teadaolevad koefitsiendid on antud sama tähestiku esimeste tähtedega.
Tundmatute arvu alusel eristatakse võrrandeid ühe, kahe ja mitme tundmatuga. Seega nimetatakse võrrandite lahenditeks kõiki tundmatute väärtusi, mille puhul lahendatav võrrand muutub identiteediks. Võrrandit võib lugeda lahendatuks, kui kõik selle lahendid on leitud või tõestatakse, et sellel pole ühtegi. Ülesanne "lahenda võrrand" on praktikas tavaline ja tähendab, et peate leidma võrrandi juure.
Definitsioon: võrrandi juured on need tundmatute väärtused lubatud väärtuste vahemikust, mille juures lahendatav võrrand muutub identiteediks.
Absoluutselt kõigi võrrandite lahendamise algoritm on sama ja selle tähendus on selle avaldise taandamine lihtsamale kujule, kasutades matemaatilisi teisendusi. Samade juurtega võrrandeid nimetatakse algebras ekvivalentseteks.
Lihtsaim näide: 7x-49=0, võrrandi juur x=7;x-7=0, samamoodi juur x=7, järelikult on võrrandid samaväärsed. (Erijuhtudel ei pruugi samaväärsetel võrranditel juured üldse olla.)
Kui võrrandi juur on ka teise, algsest teisenduste abil saadud lihtsama võrrandi juur, siis nimetatakse viimast eelmise võrrandi tagajärjeks.
Kui üks kahest võrrandist on teise tagajärg, loetakse need samaväärseteks. Neid nimetatakse ka ekvivalentseteks. Ül altoodud näide illustreerib seda.
Ka kõige lihtsamate võrrandite lahendamine praktikas on sageli keeruline. Lahenduse tulemusena saate võrrandi ühe juure, kaks või enam, isegi lõpmatu arv - see sõltub võrrandite tüübist. On ka neid, millel pole juuri, neid nimetatakse otsustamatuks.
Näited:
1) 15x -20=10; x=2. See on võrrandi ainus juur.
2) 7x - y=0. Võrrandil on lõpmatu arv juuri, kuna igal muutujal võib olla lugematu arvväärtuste arv.
3) x2=- 16. Teise astmeni tõstetud arv annab alati positiivse tulemuse, seega on võrrandi juure leidmine võimatu. See on üks ülalmainitud lahendamatutest võrranditest.
Lahenduse õigsust kontrollitakse, asendades tähtede asemel leitud juured ja lahendades saadud näite. Kui identiteet kehtib, on lahendus õige.
