Ringjoone sisse kirjutatud nelinurk. Nelinurk ABCD on kirjutatud ringi

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Matemaatika jagamisel algebraks ja geomeetriaks muutub õppematerjal keerulisemaks. Ilmuvad uued kujundid ja nende erijuhtumid. Materjali hästi mõistmiseks on vaja uurida objektide mõisteid, omadusi ja nendega seotud teoreeme.

Üldmõisted

Nelinurk tähendab geomeetrilist kujundit. See koosneb 4 punktist. Veelgi enam, 3 neist ei asu samal sirgel. Määratud punkte jadamisi ühendavad segmendid.

Kõik kooli geomeetria kursusel uuritud nelinurgad on näidatud järgmisel diagrammil. Järeldus: mis tahes objektil esitatud joonisel on eelmise joonise omadused.

Nelinurk võib olla järgmist tüüpi:

• Parallelogramm. Selle vastaskülgede paralleelsust tõestavad vastavad teoreemid.
• Trapets. Paralleelsete alustega nelinurk. Ülejäänud kaks erakonda ei ole.
• Ristkülik. Joonis, millel on kõik 4 nurka=90º.
• Rombus. Joonis, mille kõik küljed on võrdsed.
• Ruut. Ühendab kahe viimase kujundi omadused. Selle kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad on õiged.

Selle teema põhidefinitsioon on ringi sisse kirjutatud nelinurk. See koosneb järgmisest. See on kujund, mille ümber on kirjeldatud ring. See peab läbima kõik tipud. Ringi sisse kirjutatud nelinurga sisenurgad annavad kokku 360º.

Iga nelinurka ei saa kirjutada. See on tingitud asjaolust, et 4 külje risti poolitajad ei pruugi ühes punktis ristuda. See muudab 4-nurgalist ringi ümbritseva ringi keskpunkti leidmise võimatuks.

Erijuhtumid

Igal reeglil on erandeid. Niisiis, selles teemas on ka erijuhtumeid:

• Rööpkülikut kui sellist ringi sisse kirjutada ei saa. Ainult tema erijuhtum. See on ristkülik.
• Kui kõik rombi tipud on ümbritseval joonel, siis on see ruut.
• Kõik trapetsi tipud asuvad ringi piiril. Sel juhul räägivad nad võrdhaarsest kujundist.

Ringjoone sisse kirjutatud nelinurga omadused

Enne lihtsate ja keerukate ülesannete lahendamist antud teemal peate oma teadmisi kontrollima. Ilma õppematerjaliga tutvumata on võimatu lahendada ühte näidet.

Teoreem 1

Ringjoone sisse kirjutatud nelinurga vastasnurkade summa on 180º.

Tõend

Antud: nelinurk ABCD on kirjutatud ringi. Selle keskpunkt on punkt O. Peame tõestama, et _<A + _<C=180º ja _< B + _<D=180º.

Tuleb arvestada esitatud arvudega.

1. _{<A on kantud ringile, mille keskpunkt on punkt O. Seda mõõdetakse läbi ½ BCD (poolkaare).}
2. _{<C on kantud samasse ringi. Seda mõõdetakse läbi ½ BAD (poolkaare).}
3. BAD ja BCD moodustavad terve ringi, st nende suurus on 360º.
4. _<A + _{<C võrdub poolega esindatud poolkaarede summast.}
5. Seega _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Sarnasel viisil on _<B ja _{<D tõestus. Siiski on probleemile teine lahendus.}

1. On teada, et nelinurga sisenurkade summa on 360º.
2. Sest _<A + _<C=180º. Vastav alt _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teoreem 2

(Seda nimetatakse sageli pöördväärtuseks) Kui nelinurgas _<A + _<C=180º ja _{<B +} <_{D=180º (kui need on vastandlikud), siis saab sellise kujundi ümber kirjeldada ringi.}

Tõend

Antud on nelinurga ABCD vastasnurkade summa, mis võrdub 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Peame tõestama, et ringi ABCD ümber saab piirata.}

Geomeetria kursusest on teada, et ringjoont saab tõmmata läbi nelinurga 3 punkti. Näiteks võite kasutada punkte A, B, C. Kus asub punkt D? On 3 oletust:

1. Ta satub ringi sisse. Sel juhul D joont ei puuduta.
2. Ringist väljas. Ta astub piiritletud joonest kaugele kaugemale.
3. See selgub ringil.

Tuleb eeldada, et D on ringi sees. Näidatud tipu koha hõivab D´. Selgub nelinurk ABCD´.

Tulemus on:_<B + _<D´=2d.

Kui jätkame AD´ ristumiskohani olemasoleva ringjoonega, mille keskpunkt on punkt E, ning ühendame E ja C, saame sissekirjutatud nelinurga ABCE. Esimesest teoreemist tuleneb võrdsus:

Vastav alt geomeetria seadustele ei kehti avaldis, sest _<D´ on kolmnurga CD´E välisnurk. Sellest lähtuv alt peaks see olema suurem kui _{<E. Sellest võime järeldada, et D peab asuma kas ringil või sellest väljaspool.}

Samamoodi võib kolmas eeldus osutuda valeks, kui D´´ väljub kirjeldatud joonise piirist.

Kahest hüpoteesist järgneb ainus õige. Tipp D asub ringjoonel. Teisisõnu, D ühtib E-ga. Sellest järeldub, et kõik nelinurga punktid asuvad kirjeldatud sirgel.

Nendestkaks teoreemi, millest järeldub:

Ringi saab kirjutada mis tahes ristküliku. On veel üks tagajärg. Ringi saab piirata mis tahes ristküliku ümber

Võrdsete puusadega trapetsi saab kirjutada ringi. Teisisõnu kõlab see nii: ringi saab kirjeldada võrdsete servadega trapetsi ümber

Mitu näidet

Ülesanne 1. Nelinurk ABCD on kirjutatud ringi. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Tuleb leida _{<ABD. Vastus tuleb kirjutada kraadides.}

Otsus. Alguses võib vastuse leidmine tunduda keeruline.

1. Peate meeles pidama selle teema omadusi. Nimelt: vastasnurkade summa=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Geomeetrias on parem järgida põhimõtet: leidke kõik, mis võimalik. Kasulik hiljem.

2. Järgmine samm: kasutage kolmnurga summa teoreemi.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º 75º=70º}

_<ABD ja _{<ACD on sisse kirjutatud. Tingimuste järgi toetuvad nad ühele kaarele. Seetõttu on neil võrdsed väärtused:}

_<ABD=_<ACD=70º

Vastus: _<ABD=70º.

Probleem 2. BCDE on ringi sisse kirjutatud nelinurk. _<B=69º, _<C=84º. Ringi keskpunkt on punkt E. Otsige - _<E.

Otsus.

1. Vaja leida _{<E teoreemi 1 järgi.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Vastus: _{< E=96º.}

Ülesanne 3. Antud on ringi sisse kirjutatud nelinurk. Andmed on näidatud joonisel. On vaja leida tundmatud väärtused x, y, z.

Lahendus:

z=180º – 93º=87º (teoreemi 1 järgi)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (teoreemi 1 järgi)

Vastus: z=87º, x=82º, y=98º.

Ülesanne 4. Ringjoonele on kirjutatud nelinurk. Väärtused on näidatud joonisel. Leia x, y.

Lahendus:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Vastus: x=100º, y=109º.

Sõltumatu lahenduse probleemid

Näide 1. Antud ring. Selle keskpunkt on punkt O. AC ja BD on läbimõõdud. _<ACB=38º. Tuleb leida _{<AOD. Vastus tuleb esitada kraadides.}

Näide 2. Antud on nelinurk ABCD ja selle ümber piiratud ring. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Otsige üles _{<CAD. Kirjutage vastus kraadides.}

Näide 3. Antud ringjoon ja sissekirjutatud nelinurk ABCD. Selle kaks nurka on 82º ja58º. Peate leidma ülejäänud nurgadest suurima ja kirjutama vastuse kraadides üles.

Näide 4. Antud on nelinurk ABCD. Nurgad A, B, C on antud vahekorras 1:2:3. Nurka D on vaja leida, kui määratud nelinurk on ringjoonele kantav. Vastus tuleb esitada kraadides.

Näide 5. Antud on nelinurk ABCD. Selle küljed moodustavad piiritletud ringi kaared. Kraadiväärtused AB, BC, CD ja AD on vastav alt: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Sa peaksid leidma _{<Antud nelinurgast ja kirjutama vastuse kraadides üles.}