Kuusnurkne prisma ja selle peamised omadused

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Ruumigeomeetria on prismade uurimine. Nende olulised omadused on neis sisalduv maht, pindala ja koostiselementide arv. Artiklis käsitleme kõiki neid kuusnurkse prisma omadusi.

Millisest prismast me räägime?

Kuusnurkne prisma on kujund, mis on moodustatud kahest hulknurgast, millel on kuus külge ja kuus nurka, ning kuuest rööpkülikust, mis ühendavad märgitud kuusnurgad üheks geomeetriliseks kujundiks.

Joonis näitab selle prisma näidet.

Punasega tähistatud kuusnurka nimetatakse joonise aluseks. Ilmselt on selle aluste arv võrdne kahega ja mõlemad on identsed. Prisma kollakasrohelisi tahke nimetatakse selle külgedeks. Joonisel on need kujutatud ruutudega, kuid üldiselt on need rööpkülikukujulised.

Kuusnurkne prisma võib olla kaldu ja sirge. Esimesel juhul ei ole aluse ja külgede vahelised nurgad sirged, teisel juhul on need võrdsed 90o. Samuti võib see prisma olla õige ja vale. Regulaarne kuusnurkneprisma peab olema sirge ja selle põhjas peab olema korrapärane kuusnurk. Ül altoodud prisma joonisel vastab neile nõuetele, seega nimetatakse seda õigeks. Edasi uurime artiklis üldjuhul ainult selle omadusi.

Elements

Iga prisma põhielemendid on servad, küljed ja tipud. Kuusnurkne prisma pole erand. Ül altoodud joonis võimaldab teil lugeda nende elementide arvu. Seega saame 8 tahku või külge (kaks alust ja kuus külgmist rööpkülikut), tippude arv on 12 (iga aluse kohta 6 tippu), kuusnurkse prisma servade arv on 18 (kuus külgmist ja 12 aluste jaoks).

1750. aastatel kehtestas Leonhard Euler (Šveitsi matemaatik) kõikidele polüheedritele, mis sisaldavad prismat, matemaatilise seose näidatud elementide arvude vahel. See suhe näeb välja selline:

servade arv=tahkude arv + tippude arv - 2.

Ül altoodud arvud vastavad sellele valemile.

Prisma diagonaalid

Kõik kuusnurkse prisma diagonaalid võib jagada kahte tüüpi:

• need, kes asuvad selle nägude tasapinnal;
• need, mis kuuluvad kogu kujundi mahule.

Alloleval pildil on kõik need diagonaalid.

On näha, et D₁ on külgdiagonaal, D₂ ja D₃ diagonaalid kogu prisma, D₄ ja D_{5 - aluse diagonaalid.}

Külgede diagonaalide pikkused on üksteisega võrdsed. Neid on lihtne arvutada tuntud Pythagorase teoreemi abil. Olgu a kuusnurga külje pikkus, b külgserva pikkus. Siis on diagonaali pikkus:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonaal D₄ on samuti lihtne määrata. Kui meenutada, et tavaline kuusnurk sobib ringi raadiusega a, siis D_{4 on selle ringi läbimõõt, st saame järgmise valemi:}

D_4=2a.

Diagonaal D₅aluseid on mõnevõrra raskem leida. Selleks vaatleme võrdkülgset kolmnurka ABC (vt joonis). Tema jaoks AB=BC=a on nurk ABC 120^{o. Kui alandame kõrgust sellest nurgast (see on ka poolitaja ja mediaan), siis on pool vahelduvvoolu baasist võrdne:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Vahelduvvoolu pool on D_{5 diagonaal, seega saame:}

D_5=AC=√3a.

Nüüd jääb üle leida tavalise kuusnurkse prisma diagonaalid D₂ja D_{3. Selleks peate nägema, et need on vastavate täisnurksete kolmnurkade hüpotenuusid. Pythagorase teoreemi kasutades saame:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Seega on a ja b väärtuste suurim diagonaalD_2.

Pinnaala

Selleks, et mõista, mis on kaalul, on lihtsaim viis kaaluda selle prisma arendamist. See on näidatud pildil.

On näha, et vaadeldava joonise kõigi külgede pindala määramiseks on vaja eraldi välja arvutada nelinurga pindala ja kuusnurga pindala ning seejärel need korrutada vastavate täisarvude võrra, mis on võrdsed prismas iga n-nurga arvuga, ja lisage tulemused. Kuusnurgad 2, ristkülikud 6.

Ristküliku pindala jaoks saame:

S_1=ab.

Siis on külgpindala:

S_2=6ab.

Kuusnurga pindala määramiseks on kõige lihtsam kasutada vastavat valemit, mis näeb välja selline:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Asendades selles avaldises arvu n, mis on võrdne 6-ga, saame ühe kuusnurga pindala:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Prisma aluste pindala saamiseks tuleks seda avaldist korrutada kahega:

S_os=3√3a^2.

Jääb üle lisada S_os ja S_{2, et saada joonise kogupindala:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prisma helitugevus

Pärast valemitKuusnurkse aluse pindalaga on kõnealuses prismas sisalduva ruumala arvutamine sama lihtne kui pirnide koorimine. Selleks peate lihts alt korrutama ühe aluse (kuusnurga) pindala joonise kõrgusega, mille pikkus võrdub külgserva pikkusega. Saame valemi:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Pange tähele, et aluse ja kõrguse korrutis annab absoluutselt iga prisma, sealhulgas kaldus prisma ruumala väärtuse. Viimasel juhul on aga kõrguse arvutamine keeruline, kuna see ei võrdu enam külgribi pikkusega. Tavalise kuusnurkse prisma puhul on selle ruumala väärtus kahe muutuja funktsioon: küljed a ja b.