Tasandvõrrandid. Nurk kahe tasapinna vahel

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Tasand koos punkti ja sirgega on geomeetriline põhielement. Selle kasutamisega ehitatakse palju ruumigeomeetria kujundeid. Selles artiklis käsitleme üksikasjalikum alt küsimust, kuidas leida kahe tasapinna vaheline nurk.

Konseptsioon

Enne kahe tasandi vahelisest nurgast rääkimist peaksite hästi aru saama, millisest geomeetria elemendist me räägime. Mõistame terminoloogiat. Tasapind on lõputu ruumipunktide kogum, mida ühendades saame vektorid. Viimane on risti mingi ühe vektoriga. Tavaliselt nimetatakse seda tasapinna normaalseks.

Ül altoodud joonisel on kujutatud tasapind ja kaks selle normaalvektorit. On näha, et mõlemad vektorid asuvad samal sirgel. Nurk nende vahel on 180o.

Võrrandid

Kahe tasandi vahelise nurga saab määrata, kui on teada vaadeldava geomeetrilise elemendi matemaatiline võrrand. Selliseid võrrandeid on mitut tüüpi,kelle nimed on loetletud allpool:

• üldine tüüp;
• vektor;
• lõikudes.

Need kolm tüüpi on kõige mugavamad mitmesuguste probleemide lahendamiseks, seega kasutatakse neid kõige sagedamini.

Üldtüüpi võrrand näeb välja selline:

Ax + By + Cz + D=0.

Siin x, y, z on antud tasapinnale kuuluva suvalise punkti koordinaadid. Parameetrid A, B, C ja D on arvud. Selle tähise mugavus seisneb selles, et arvud A, B, C on tasapinnaga normaalvektori koordinaadid.

Tasapinna vektorkuju saab esitada järgmiselt:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Siin (a₂, b₂, c₂) ja (a ₁, b₁, c₁) - kahe vaadeldavale tasapinnale kuuluva koordinaatvektori parameetrid. Punkt (x₀, y₀, z_{0) asub samuti sellel tasapinnal. Parameetrid α ja β võivad võtta sõltumatuid ja suvalisi väärtusi.}

Lõpuks on segmentide tasapinna võrrand esitatud järgmisel matemaatilisel kujul:

x/p + y/q + z/l=1.

Siin p, q, l on kindlad arvud (ka negatiivsed). Selline võrrand on kasulik, kui on vaja kujutada tasapinda ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, kuna arvud p, q, l näitavad lõikepunkte x-, y- ja z-telgedegalennuk.

Pange tähele, et igat tüüpi võrrandit saab lihtsate matemaatiliste tehtetega teisendada.

Kahe tasapinna vahelise nurga valem

Nüüd kaaluge järgmist nüanssi. Kolmemõõtmelises ruumis võivad kaks tasapinda paikneda ainult kahel viisil. Kas lõikuvad või paralleelsed. Kahe tasapinna vaheline nurk on see, mis asub nende juhtvektorite vahel (normaalne). Lõikuvad, 2 vektorit moodustavad 2 nurka (üldjuhul terav ja nüri). Tasapindade vahelist nurka peetakse teravaks. Mõelge võrrandile.

Kahe tasapinna vahelise nurga valem on:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

On lihtne arvata, et see avaldis on normaalvektorite n₁¯ ja n₂ skalaarkorrutise otsene tagajärg. ¯ vaadeldavate lennukite jaoks. Punktkorrutise moodul lugejas näitab, et nurk θ võtab ainult väärtused vahemikus 0^o kuni 90^{o. Normaalvektorite moodulite korrutis nimetajas tähendab nende pikkuste korrutist.}

Pange tähele, kui (n₁¯n_{2¯)=0, siis tasandid lõikuvad täisnurga all.}

Näidisprobleem

Olles välja mõelnud, mida nimetatakse kahe tasandi vaheliseks nurgaks, lahendame järgmise ülesande. Näitena. Seega on vaja arvutada selliste tasandite vaheline nurk:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Ülesande lahendamiseks on vaja teada tasapindade suunavektoreid. Esimese tasandi normaalvektor on: n₁¯=(2, -3, 0). Teise tasapinnalise normaalvektori leidmiseks tuleks parameetrite α ja β järel olevad vektorid korrutada. Tulemuseks on vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Nurga θ määramiseks kasutame eelmise lõigu valemit. Saame:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Arvutatud nurk radiaanides vastab 31,26^o. Seega ristuvad ülesande tingimusest lähtuvad tasapinnad nurga all 31, 26^o.