Pythagoras väitis, et number on maailma aluseks koos põhielementidega. Platon uskus, et arv ühendab nähtuse ja noumenoni, aidates ära tunda, mõõta ja järeldusi teha. Aritmeetika tuleb sõnast "aritmos" - arv, matemaatika alguste algus. See võib kirjeldada mis tahes objekti – alates elementaarsest õunast kuni abstraktsete tühikuteni.
Vajad kui arendustegur
Ühiskonna kujunemise algfaasis piirdusid inimeste vajadused arvestuse pidamise vajadusega - üks kott vilja, kaks kotti vilja jne. Selleks piisas naturaalarvudest, mille hulk on lõpmatu positiivne täisarvude jada N.
Hiljem, matemaatika kui teaduse arenedes, tekkis vajadus eraldi täisarvude Z järele - see sisaldab negatiivseid väärtusi ja nulli. Selle ilmumise leibkonna tasandil provotseeris asjaolu, et esmases raamatupidamises oli vaja seda kuidagi parandadavõlad ja kahjud. Teaduslikul tasandil on negatiivsed arvud võimaldanud lahendada lihtsamaid lineaarvõrrandeid. Muuhulgas on nüüdseks saanud võimalikuks triviaalse koordinaatsüsteemi kujutis, kuna on tekkinud võrdluspunkt.
Järgmine samm oli murdarvude kasutuselevõtu vajadus, kuna teadus ei seisnud paigal, üha enam avastusi nõudsid uue kasvutõuke jaoks teoreetilist alust. Nii tekkis ratsionaalarvude väli Q.
Lõpuks lakkas ratsionaalsus taotlusi rahuldamast, sest kõik uued järeldused nõudsid põhjendust. Ilmus reaalarvude R väli, Eukleidese tööd teatud suuruste võrreldamatuse kohta nende irratsionaalsuse tõttu. See tähendab, et Vana-Kreeka matemaatikud positsioneerisid arvu mitte ainult konstantina, vaid ka abstraktse suurusena, mida iseloomustab võrreldamatute suuruste suhe. Tänu sellele, et ilmusid reaalarvud, nägid valgust sellised suurused nagu "pi" ja "e", ilma milleta ei saaks tänapäevane matemaatika toimuda.
Lõplikuks uuenduseks oli kompleksarv C. See vastas paljudele küsimustele ja lükkas ümber varem kasutusele võetud postulaadid. Tänu algebra kiirele arengule oli tulemus etteaimatav – reaalarvude olemasolul oli paljude ülesannete lahendamine võimatu. Näiteks paistis tänu kompleksarvudele silma stringide ja kaose teooria ning hüdrodünaamika võrrandid laienesid.
Hangide teooria. Kantor
Lõpmatuse mõiste igal aj altekitas vaidlusi, kuna seda ei saanud ei tõestada ega ümber lükata. Matemaatika kontekstis, mis opereeris rangelt kontrollitud postulaatidega, avaldus see kõige selgem alt, seda enam, et teoloogilisel aspektil oli teaduses siiski kaal.
Kuid tänu matemaatik Georg Kantori tööle loksus aja jooksul kõik paika. Ta tõestas, et on lõpmatu arv lõpmatuid hulki ja väli R on suurem väljast N, isegi kui neil mõlemal pole lõppu. 19. sajandi keskel nimetati tema ideid valjuhäälselt jaburaks ja kuriteoks klassikaliste, vankumatute kaanonite vastu, kuid aeg pani kõik oma kohale.
Võlli põhiomadused R
Reaalarvudel ei ole mitte ainult samad omadused mis neis sisalduvatel alamhulkadel, vaid neid täiendavad nende elementide skaala tõttu ka teised:
- Null on olemas ja kuulub väljale R. c + 0=c iga c jaoks alates R.
- Null on olemas ja kuulub väljale R. c x 0=0 iga c jaoks alates R.
- Seos c: d d ≠ 0 korral on olemas ja kehtib mis tahes c, d jaoks alates R.
- Välja R on järjestatud, st kui c ≦ d, d ≦ c, siis c=d mis tahes c, d korral alates R.
- Lisamine väljal R on kommutatiivne, st c + d=d + c iga c, d jaoks alates R.
- Korrutamine väljal R on kommutatiivne, st c x d=d x c iga c, d korral R-st.
- Lisamine väljal R on assotsiatiivne, st (c + d) + f=c + (d + f) mis tahes c, d, f korral R-st.
- Korrutamine väljal R on assotsiatiivne, st (c x d) x f=c x (d x f) mis tahes c, d, f korral R-st.
- Iga numbri jaoks väljal R on vastand, nii et c + (-c)=0, kus c, -c pärineb R-st.
- Iga numbri jaoks väljal R on oma pöördväärtus, nii et c x c-1 =1, kus c, c-1 alates R.
- Ühik on olemas ja kuulub R-le, seega c x 1=c iga c jaoks alates R.
- Jaotusseadus kehtib, seega c x (d + f)=c x d + c x f, mis tahes c, d, f jaoks alates R.
- Väljal R null ei võrdu ühega.
- Välja R on transitiivne: kui c ≦ d, d ≦ f, siis c ≦ f mis tahes c, d, f korral R-st.
- Väljal R on järjestus ja liitmine seotud: kui c ≦ d, siis c + f ≦ d + f mis tahes c, d, f korral alates R.
- Väljal R on järjestus ja korrutamine seotud: kui 0 ≦ c, 0 ≦ d, siis 0 ≦ c x d mis tahes c, d korral R-st.
- Nii negatiivsed kui ka positiivsed reaalarvud on pidevad, see tähendab, et iga c, d korral R-st on R-st selline f, et c ≦ f ≦ d.
Moodul väljal R
Tegelikud arvud sisaldavad moodulit.
Tähistatud kui |f| mis tahes f jaoks alates R. |f|=f, kui 0 ≦ f ja |f|=-f, kui 0 > f. Kui vaadelda moodulit geomeetrilise suurusena, siis on see läbitud vahemaa – pole vahet, kas “läbi” nulli miinusesse või edasi plussi.
Kompleks- ja reaalarvud. Millised on sarnasused ja erinevused?
Üldiselt on kompleks- ja reaalarvud üks ja sama, välja arvatud seemõtteline ühik i, mille ruut on -1. Väljade R ja C elemente saab esitada järgmise valemiga:
c=d + f x i, kus d, f kuuluvad väljale R ja i on kujuteldav ühik
Selleks, et R-st saaks sel juhul c, määratakse f lihts alt võrdseks nulliga, see tähendab, et arvust jääb alles vaid reaalosa. Tulenev alt asjaolust, et kompleksarvude väljal on samad omadused kui reaalarvude väljal, on f x i=0, kui f=0.
Mis puudutab praktilisi erinevusi, siis näiteks R-väljas ruutvõrrandit ei lahendata, kui diskriminant on negatiivne, samas kui väli C ei sea sellist piirangut imaginaarse ühiku i kasutuselevõtu tõttu.
Tulemused
Matemaatika aluseks olevate aksioomide ja postulaatide "tellised" ei muutu. Seoses info suurenemisega ja uute teooriate kasutuselevõtuga pannakse mõnele neist järgmised "klotsid", mis tulevikus võivad saada järgmise sammu aluseks. Näiteks naturaalarvud, hoolimata sellest, et nad on reaalvälja R alamhulk, ei kaota oma tähtsust. Nendel põhineb kogu elementaarne aritmeetika, millest saavad alguse inimeste teadmised maailmast.
Praktilisest vaatenurgast näevad reaalarvud välja nagu sirgjoon. Sellel saate valida suuna, määrata lähtekoha ja sammu. Sirge koosneb lõpmatust arvust punktidest, millest igaüks vastab ühele reaalarvule, olenemata sellest, kas see on ratsionaalne või mitte. Kirjeldusest selgub, et jutt käib mõistest, millele on üles ehitatud nii matemaatika üldiselt kui ka matemaatiline analüüs üldiselt.eriti.
