Kõik meid ümbritsevad kehad on pidevas liikumises. Kehade liikumist ruumis vaadeldakse kõigil skaalatasanditel, alustades elementaarosakeste liikumisest aine aatomites ja lõpetades galaktikate kiirendatud liikumisega Universumis. Igal juhul toimub liikumisprotsess kiirendusega. Selles artiklis käsitleme üksikasjalikult tangentsiaalse kiirenduse mõistet ja anname valemi, mille abil saab seda arvutada.
Kinemaatilised suurused
Enne tangentsiaalsest kiirendusest rääkimist mõelgem, milliste suurustega on tavaks iseloomustada kehade meelevaldset mehaanilist liikumist ruumis.
Esiteks on see tee L. See näitab vahemaad meetrites, sentimeetrites, kilomeetrites jne, keha on teatud aja jooksul liikunud.
Kinemaatika teine oluline tunnus on keha kiirus. Erinev alt teest on see vektorsuurus ja on suunatud piki trajektoorikeha liigutused. Kiirus määrab ruumiliste koordinaatide muutumise kiiruse ajas. Selle arvutamise valem on:
v¯=dL/dt
Kiirus on tee aja tuletis.
Lõpuks on kehade liikumise kolmas oluline omadus kiirendus. Füüsika definitsiooni järgi on kiirendus suurus, mis määrab kiiruse muutumise ajas. Selle valemi saab kirjutada järgmiselt:
a¯=dv¯/dt
Kiirendus, nagu kiirus, on samuti vektorsuurus, kuid erinev alt sellest on see suunatud kiiruse muutumise suunas. Kiirenduse suund langeb kokku ka kehale mõjuva jõu vektoriga.
Trajektoor ja kiirendus
Paljusid füüsikaprobleeme käsitletakse sirgjoonelise liikumise raames. Sel juhul reeglina ei räägita punkti tangentsiaalsest kiirendusest, vaid töötavad lineaarse kiirendusega. Kui aga keha liikumine ei ole lineaarne, saab selle täiskiirenduse jagada kaheks komponendiks:
- tangent;
- normaalne.
Lineaarse liikumise korral on normaalkomponent null, seega me ei räägi kiirenduse vektori laienemisest.
Seega määrab liikumistrajektoor suures osas täiskiirenduse olemuse ja komponendid. Liikumise trajektoori all mõistetakse kujuteldavat joont ruumis, mida mööda keha liigub. Ükskõik millinekõverjooneline trajektoor viib ülalmainitud nullist erineva kiirenduse komponentide ilmnemiseni.
Tangentsiaalse kiirenduse määramine
Tangsiaalne või, nagu seda nimetatakse ka, tangentsiaalne kiirendus on täiskiirenduse komponent, mis on suunatud tangentsiaalselt liikumise trajektoorile. Kuna ka kiirus on suunatud piki trajektoori, langeb tangentsiaalse kiirenduse vektor kokku kiirusvektoriga.
Kiirenduse kui kiiruse muutumise mõõdu mõiste esitati eespool. Kuna kiirus on vektor, saab seda muuta kas mooduli või suuna järgi. Tangentsiaalne kiirendus määrab ainult kiiruse mooduli muutuse.
Pange tähele, et sirgjoonelise liikumise korral kiirusvektor oma suunda ei muuda, mistõttu vastav alt ül altoodud definitsioonile on tangentsiaalne kiirendus ja lineaarkiirendus sama väärtusega.
Tangentsiaalse kiirenduse võrrandi hankimine
Eeldame, et keha liigub mööda mingit kõverat trajektoori. Siis saab selle kiirust v¯ valitud punktis esitada järgmiselt:
v¯=vut¯
Siin v on vektori v¯ moodul, ut¯ on trajektoorile tangentsiaalselt suunatud kiirusühiku vektor.
Kasutades kiirenduse matemaatilist definitsiooni, saame:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
Tuletise leidmisel kasutati siin kahe funktsiooni korrutise omadust. Näeme, et kogukiirendus a¯ vaadeldavas punktis vastab kahe liikme summale. Need on vastav alt punkti puutuja ja normaalkiirendus.
Ütleme paar sõna tavalise kiirenduse kohta. See vastutab kiirusvektori muutmise eest, see tähendab keha liikumissuuna muutmise eest piki kõverat. Kui arvutame selgesõnaliselt teise liikme väärtuse, saame normaalse kiirenduse valemi:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
Normaalne kiirendus on suunatud piki normaalset, mis on taastatud kõvera antud punkti. Ringliikumise korral on normaalne kiirendus tsentripetaalne.
Tangsiaalse kiirenduse võrrand at¯ on:
at¯=dv/dtut¯
See avaldis ütleb, et tangentsiaalne kiirendus ei vasta mitte suunamuutusele, vaid kiirusmooduli v¯ muutumisele teatud aja jooksul. Kuna tangentsiaalne kiirendus on suunatud trajektoori vaadeldava punkti suhtes tangentsiaalselt, on see alati normaalkomponendiga risti.
Tangsiaalne kiirendus ja kogukiirenduse moodul
Esitati kogu ül altoodud teave, mis võimaldab teil arvutada kogukiirenduse puutuja ja normaalväärtuse kaudu. Tõepoolest, kuna mõlemad komponendid on üksteisega risti, moodustavad nende vektorid täisnurkse kolmnurga jalad,mille hüpotenuus on kogukiirenduse vektor. See asjaolu võimaldab meil kirjutada kogukiirenduse mooduli valemi järgmisel kujul:
a=√(a2 + at2)
Täiskiirenduse ja tangentsiaalse kiirenduse vahelise nurga θ saab määratleda järgmiselt:
θ=arccos(at/a)
Mida suurem on tangentsiaalne kiirendus, seda lähemal on tangentsiaalse ja täiskiirenduse suunad.
Tangentsiaalse ja nurkkiirenduse vaheline seos
Tüüpiline kõverjooneline trajektoor, mida mööda kehad tehnikas ja looduses liiguvad, on ring. Tõepoolest, hammasrataste, labade ja planeetide liikumine ümber oma telje või nende valgustite toimub täpselt ringis. Sellele trajektoorile vastavat liikumist nimetatakse pöörlemiseks.
Pöörlemise kinemaatikat iseloomustavad samad väärtused kui sirgjoonelise liikumise kinemaatikat, kuid neil on nurga iseloom. Seega kasutatakse pöörlemise kirjeldamiseks pöörde kesknurka θ, nurkkiirust ω ja kiirendust α. Nende koguste jaoks kehtivad järgmised valemid:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Oletame, et keha on ajas t teinud ühe pöörde ümber pöörlemistelje, siis saame nurkkiiruse jaoks kirjutada:
ω=2pi/t
Sel juhul on lineaarkiirus võrdne:
v=2pir/t
Kus r on trajektoori raadius. Kaks viimast väljendit võimaldavad meil kirjutadakahe kiiruse ühendamise valem:
v=ωr
Nüüd arvutame võrrandi vasaku ja parema külje ajatuletise, saame:
dv/dt=rdω/dt
Võrdsuse parem pool on nurkkiirenduse ja ringi raadiuse korrutis. Võrrandi vasak pool on kiirusmooduli muutus, st tangentsiaalne kiirendus.
Seega on tangentsiaalne kiirendus ja sarnane nurkväärtus seotud võrdsusega:
at=αr
Kui eeldame, et ketas pöörleb, siis punkti tangentsiaalne kiirendus konstantse väärtusega α suureneb lineaarselt, kui kaugus sellest punktist pöördeteljeni r kasvab.
Järgmisena lahendame ül altoodud valemite abil kaks ülesannet.
Tangentsiaalse kiirenduse määramine teadaoleva kiirusfunktsiooni järgi
On teada, et teatud kõverat trajektoori mööda liikuva keha kiirust kirjeldab järgmine ajafunktsioon:
v=2t2+ 3t + 5
Tuleb määrata tangentsiaalse kiirenduse valem ja leida selle väärtus ajahetkel t=5 sekundit.
Esm alt kirjutame tangentsiaalse kiirenduse mooduli valem:
at=dv/dt
See tähendab, et funktsiooni at(t) arvutamiseks peaksite määrama kiiruse tuletise aja suhtes. Meil on:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Asendades saadud avaldisesse aja t=5 sekundit, jõuame vastuseni: at=23 m/s2.
Pange tähele, et kiiruse ja aja graafik selles ülesandes on parabool, samas kui tangentsiaalse kiirenduse graafik on sirgjoon.
Tangsiaalse kiirenduse ülesanne
On teada, et materiaalne punkt alustas ühtlaselt kiirendatud pöörlemist alates aja nullhetkest. 10 sekundit pärast pöörlemise algust võrdus selle tsentripetaalne kiirendus 20 m/s2. Kui on teada, et pöörderaadius on 1 meeter, on vaja määrata punkti tangentsiaalne kiirendus 10 sekundi pärast.
Esm alt kirjutage üles tsentripetaalse või normaalkiirenduse valem ac:
ac=v2/r
Kasutades lineaar- ja nurkkiiruse vahelise seose valemit, saame:
ac=ω2r
Ühtlaselt kiirendatud liikumise korral on kiirus ja nurkkiirendus seotud järgmise valemiga:
ω=αt
Asendades ω võrrandis ac, saame:
ac=α2t2r
Lineaarset kiirendust tangentsiaalse kiirenduse kaudu väljendatakse järgmiselt:
α=at/r
Asendage viimane võrdsus eelviimasega, saame:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
Viimane valem, võttes arvesse ülesande tingimuse andmeid, annab vastuse: at=0, 447m/s2.
