Pöörleva liikumise dünaamika ja kinemaatika kvantitatiivseks uurimiseks on vaja teadmisi materiaalse punkti ja jäiga keha inertsmomendist pöördetelje suhtes. Vaatleme artiklis, millisest parameetrist me räägime, ja anname ka valemi selle määramiseks.
Üldine teave füüsilise koguse kohta
Esm alt defineerime materiaalse punkti ja jäiga keha inertsimomenti ning seejärel näitame, kuidas seda praktiliste ülesannete lahendamisel kasutada.
Punkti massiga m, mis pöörleb ümber telje kaugusel r kaugusel, näidatud füüsikalise karakteristiku all mõeldakse järgmist väärtust:
I=mr².
Kus järeldub, et uuritava parameetri mõõtühikuks on kilogrammi ruutmeetri kohta (kgm²).
Kui telje ümber asuva punkti asemel pöörleb keerulise kujuga keha, mille massi jaotus enda sees on suvaline, siis määratakse selle inertsimomentnii:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Kus ρ on keha tihedus. Integraali valemi abil saate määrata I väärtuse absoluutselt iga pöörlemissüsteemi jaoks.
Inertsmomendil on pöörlemisel täpselt sama tähendus kui massil translatsioonilise liikumise puhul. Näiteks teavad kõik, et põrandamoppi on kõige lihtsam pöörata ümber selle käepidet läbiva telje kui risti. See on tingitud asjaolust, et inertsimoment esimesel juhul on palju väiksem kui teisel juhul.
Ma hindan erineva kujuga kehasid
Pöörlemise füüsikaülesannete lahendamisel on sageli vaja teada teatud geomeetrilise kujuga keha, näiteks silindri, kuuli või varda inertsimomenti. Kui rakendada I jaoks ülalpool kirjutatud valemit, siis on lihtne saada vastav avaldis kõikidele märgitud kehadele. Allpool on mõned neist valemid:
varras: I=1/12ML²;
silinder: I=1/2MR²;
sfäär: I=2/5MR².
Siin on mulle antud pöörlemistelg, mis läbib keha massikeset. Silindri puhul on telg paralleelne joonise generaatoriga. Teiste geomeetriliste kehade inertsmoment ja pöördetelgede asukoha valikud on leitavad vastavatest tabelitest. Pange tähele, et erinevate kujundite määramiseks piisab ainult ühe geomeetrilise parameetri ja keha massi teadmisest.
Steineri teoreem ja valem
Inertsmomenti saab määrata, kui pöörlemistelg asub kehast mingil kaugusel. Selleks peaksite teadma selle lõigu pikkust ja keha väärtust IO selle massi keskpunkti läbiva telje suhtes, mis peaks olema paralleelne selle all olevaga. kaalumist. Seose loomine parameetri IO ja tundmatu väärtuse I vahel on fikseeritud Steineri teoreemis. Materiaalse punkti ja jäiga keha inertsmoment on matemaatiliselt kirjas järgmiselt:
I=IO+ Mh2.
Siin on M keha mass, h on kaugus massikeskmest pöörlemisteljeni, mille suhtes on vaja arvutada I. Seda avaldist on lihtne ise hankida, kui kasutage I integraalvalemit ja arvestage, et kõik keha punktid on kaugustel r=r0 + h.
Steineri teoreem lihtsustab oluliselt I definitsiooni paljude praktiliste olukordade jaoks. Näiteks kui teil on vaja leida I varda jaoks pikkusega L ja massiga M telje suhtes, mis läbib selle otsa, siis Steineri teoreemi rakendamine võimaldab teil kirjutada:
I=IO+ M(L / 2)2=1/12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Võite vaadata vastavat tabelit ja näha, et see sisaldab täpselt sellist valemit peenikese varda jaoks, mille otsas on pöörlemistelg.
Hetke võrrand
Pöörlemise füüsikas on valem, mida nimetatakse momentide võrrandiks. See näeb välja selline:
M=Iα.
Siin M on jõumoment, α on nurkiirendus. Nagu näete, on materiaalse punkti ja jäiga keha inertsimoment ja jõumoment üksteisega lineaarselt seotud. Väärtus M määrab mingi jõu F võimaluse tekitada süsteemis pöördliikumine kiirendusega α. M arvutamiseks kasutage järgmist lihtsat avaldist:
M=Fd.
Kus d on momendi õlg, mis võrdub jõuvektori F kaugusega pöörlemisteljest. Mida väiksem on käsi d, seda väiksem on jõud süsteemi pöörlemise tekitamiseks.
Momentide võrrand oma tähenduses on täielikult kooskõlas Newtoni teise seadusega. Sel juhul mängin inertsiaalmassi rolli.
Näide probleemi lahendamisest
Kujutame ette süsteemi, mis on kaalutu horisontaalse vardaga vertika alteljele kinnitatud silinder. Teadaolev alt on silindri pöörlemistelg ja peatelg üksteisega paralleelsed ning nende vaheline kaugus on 30 cm. Silindri mass on 1 kg, raadius 5 cm. Jõu 10 N pöördetrajektoori puutuja mõjub joonisele, mille vektor läbib silindri peatelge. On vaja määrata kujundi nurkkiirendus, mille see jõud põhjustab.
Kõigepe alt arvutame välja I-silindri inertsimomendi. Selleks rakendage Steineri teoreemi, meil on:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Enne hetkevõrrandi kasutamist peate seda tegemamäärake jõumoment M. Sel juhul on meil:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Nüüd saate määrata kiirenduse:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Arvutatud nurkiirendus näitab, et iga sekundiga suureneb silindri kiirus 5,2 pööret sekundis.
