Selles artiklis käsitletakse seda meetodit lineaarvõrrandisüsteemide (SLAE) lahendamise viisina. Meetod on analüütiline, see tähendab, et see võimaldab teil kirjutada üldise lahendusalgoritmi ja seejärel asendada väärtusi konkreetsetest näidetest. Erinev alt maatriksmeetodist või Crameri valemitest saab Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel töötada ka nendega, millel on lõpmatult palju lahendeid. Või pole seda üldse.
Mida tähendab lahendada Gaussi meetodil?
Esiteks peame oma võrrandisüsteemi maatriksina üles kirjutama. See näeb välja selline. Süsteem on võetud:
Koefitsiendid on kirjutatud tabeli kujul ja paremal eraldi veerus - vabaliikmed. Vabade osadega kolonn on mugavuse huvides eraldatud vertikaalse ribaga. Seda veergu sisaldavat maatriksit nimetatakse laiendatuks.
Järgmisena tuleb koefitsientidega põhimaatriks taandada ülemise kolmnurga kujuliseks. See on süsteemi Gaussi meetodil lahendamise põhipunkt. Lihtsam alt öeldes peaks maatriks pärast teatud manipuleerimisi välja nägema selline, et selle vasakpoolses alumises osas oleks ainult nullid:
Seejärel, kui kirjutate uue maatriksi uuesti võrrandisüsteemina, märkate, et viimane rida sisaldab juba ühe juure väärtust, mis seejärel asendatakse ül altoodud võrrandiga, leitakse teine juur ja nii edasi.
See on Gaussi lahenduse kirjeldus kõige üldisem alt. Ja mis juhtub, kui süsteemil pole äkki lahendust? Või on neid lõpmatu arv? Nendele ja paljudele teistele küsimustele vastamiseks on vaja eraldi käsitleda kõiki Gaussi meetodil lahenduses kasutatud elemente.
Maatriksid, nende omadused
Maatriksis pole varjatud tähendust. See on lihts alt mugav viis hilisemate toimingute jaoks andmete salvestamiseks. Isegi koolilapsed ei peaks neid kartma.
Maatriks on alati ristkülikukujuline, kuna see on mugavam. Isegi Gaussi meetodi puhul, kus kõik taandub kolmnurkmaatriksi ehitamisele, ilmub sisestusse ristkülik, ainult nullidega kohas, kus numbreid pole. Nullid võib ära jätta, kuid need on kaudsed.
Matrixil on suurus. Selle "laius" on ridade arv (m), selle "pikkus" on veergude arv (n). Siis märgitakse maatriksi A suurus (nende tähistamiseks kasutatakse tavaliselt suuri ladina tähti) kui Am×n. Kui m=n, siis see maatriks on ruut jam=n - selle järjekord. Vastav alt sellele saab maatriksi A mis tahes elementi tähistada selle rea ja veeru numbriga: axy; x – rea number, muudatus [1, m], y – veeru number, muutus [1, n].
Gaussi meetodi puhul ei ole maatriksid lahenduse põhipunkt. Põhimõtteliselt saab kõiki tehteid sooritada otse võrrandite endi abil, kuid märkimine on palju tülikam ja sellega on palju lihtsam segadusse sattuda.
Kvalifikaator
Maatriksil on ka determinant. See on väga oluline omadus. Selle tähenduse väljaselgitamine praegu pole seda väärt, saate lihts alt näidata, kuidas see arvutatakse, ja seejärel öelda, millised maatriksi omadused see määrab. Lihtsaim viis determinandi leidmiseks on diagonaalide kaudu. Maatriksisse joonistatakse kujuteldavad diagonaalid; igaühel asuvad elemendid korrutatakse ja seejärel lisatakse saadud korrutised: diagonaalid kaldega paremale - plussmärgiga, kaldega vasakule - "miinusmärgiga".
Äärmiselt oluline on märkida, et determinanti saab arvutada ainult ruutmaatriksi jaoks. Ristkülikukujulise maatriksi puhul saab teha järgmist: valida ridade arvust ja veergude arvust väikseim (olgu see k) ning seejärel märkida maatriksisse juhuslikult k veergu ja k rida. Valitud veergude ja ridade ristumiskohas asuvad elemendid moodustavad uue ruutmaatriksi. Kui sellise maatriksi determinandiks on nullist erinev arv, nimetatakse seda algse ristkülikukujulise maatriksi põhimolliks.
Ennekuidas alustada võrrandisüsteemi lahendamist Gaussi meetodil, ei tee paha ka determinandi arvutamine. Kui see osutub nulliks, siis võime kohe öelda, et maatriksil on kas lõpmatu arv lahendeid või pole neid üldse. Sellisel kurval juhul peate minema kaugemale ja uurima maatriksi auastet.
Süsteemide klassifikatsioon
On olemas selline asi nagu maatriksi auaste. See on selle nullist erineva determinandi maksimaalne järjekord (alus-molli meeles pidades võime öelda, et maatriksi auaste on põhimolli järjekord).
Nii, kuidas asjad auastmega on, võib SLOW jagada järgmisteks osadeks:
- Ühis. Ühissüsteemide puhul langeb põhimaatriksi (koosneb ainult koefitsientidest) järjestus laiendatud maatriksi astmega (vabade terminite veeruga). Sellistel süsteemidel on lahendus, kuid mitte tingimata üks, seetõttu jagunevad liitesüsteemid täiendav alt:
- - kindel - ainulaadse lahendusega. Teatud süsteemides on maatriksi järjestus ja tundmatute arv võrdsed (või veergude arv, mis on sama);
- - määramatu - lõpmatu arvu lahendustega. Maatriksite järjestus sellistes süsteemides on väiksem kui tundmatute arv.
- Ühildumatu. Selliste süsteemide puhul ei ühti põhi- ja laiendatud maatriksite järjestused. Ühildumatutel süsteemidel pole lahendust.
Gaussi meetod on hea, sest võimaldab saada kas ühemõttelise tõestuse süsteemi ebaühtluse kohta (ilma suurte maatriksite determinante arvutamata) või üldlahenduse lõpmatu arvu lahendustega süsteemile.
Elementaarsed teisendused
Ennekuidas minna otse süsteemi lahenduseni, saate seda teha vähem tülikaks ja arvutuste jaoks mugavamaks. See saavutatakse elementaarsete teisenduste abil – nii, et nende rakendamine ei muuda lõplikku vastust kuidagi. Tuleb märkida, et mõned ül altoodud elementaarteisendustest kehtivad ainult maatriksite jaoks, mille allikaks oli täpselt SLAE. Siin on nende teisenduste loend:
- Muuda stringe. On ilmne, et kui me muudame süsteemikirje võrrandite järjekorda, siis see ei mõjuta lahendust kuidagi. Seetõttu on võimalik ka selle süsteemi maatriksis ridu vahetada, unustamata muidugi vabaliikmete veergu.
- Stringi kõigi elementide korrutamine mingi teguriga. Väga kasulik! Sellega saate maatriksis suuri numbreid vähendada või nullid eemaldada. Lahenduste komplekt, nagu tavaliselt, ei muutu ja edasisi toiminguid on mugavam teha. Peaasi, et koefitsient ei oleks võrdne nulliga.
- Kustuta proportsionaalsete koefitsientidega read. See tuleneb osaliselt eelmisest lõigust. Kui maatriksi kahel või enamal real on proportsionaalsed koefitsiendid, siis ühe rea korrutamisel / jagamisel proportsionaalsuse koefitsiendiga saadakse kaks (või jällegi rohkem) absoluutselt identset rida ja saate eemaldada täiendavad, jättes alles ainult üks.
- Kustuta nullrida. Kui teisenduste käigus saadakse kuskil string, milles kõik elemendid, sealhulgas vabaliige, on nullid, siis võib sellise stringi nimetada nulliks ja maatriksist välja visata.
- Lisage ühe teise elementide rea elementide juurde (vastav altvastavad veerud) korrutatuna mõne koefitsiendiga. Kõige ebaselgem ja kõige olulisem teisendus üldse. Sellel tasub pikem alt peatuda.
Teguriga korrutatud stringi lisamine
Arusaadavuse hõlbustamiseks tasub see protsess samm-sammult lahti võtta. Maatriksist on võetud kaks rida:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Oletame, et peate liitma esimese, korrutatuna koefitsiendiga "-2", teisele.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Seejärel asendatakse maatriksi teine rida uuega, samas kui esimene jääb muutumatuks.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Tuleb tähele panna, et korrutustegurit saab valida nii, et kahe stringi liitmise tulemusena on uue stringi üks elementidest võrdne nulliga. Seetõttu on süsteemis võimalik saada võrrand, kus on üks tundmatu vähem. Ja kui saad kaks sellist võrrandit, siis saab toimingu uuesti teha ja saada võrrandi, mis sisaldab juba kahte tundmatut vähem. Ja kui me iga kord keerame nulli ühe koefitsiendi kõigi ridade jaoks, mis on madalamad kui algne, siis saame nagu astmed laskuda maatriksi kõige põhja ja saada võrrandi ühe tundmatuga. Seda nimetatakselahendage süsteem Gaussi meetodi abil.
Üldiselt
Olgu süsteem. Sellel on m võrrandit ja n tundmatut juurt. Võite selle kirjutada järgmiselt:
Põhimaatriks koostatakse süsteemi koefitsientidest. Laiendatud maatriksile lisatakse tasuta liikmete veerg ja eraldatakse need mugavuse huvides ribaga.
Järgmine:
- maatriksi esimene rida korrutatakse koefitsiendiga k=(-a21/a11);
- liidetakse maatriksi esimene muudetud rida ja teine rida;
- teise rea asemel lisatakse maatriksisse eelmise lõigu liitmise tulemus;
- nüüd on uue teise rea esimene koefitsient a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Nüüd tehakse sama teisenduste seeria, kaasatud on ainult esimene ja kolmas rida. Vastav alt sellele asendatakse algoritmi igas etapis element a21 a31. Seejärel kordub kõik a41, … am1 jaoks. Tulemuseks on maatriks, kus ridade [2, m] esimene element on võrdne nulliga. Nüüd peate unustama rea number üks ja täitma sama algoritmi alates teisest reast:
- k koefitsient=(-a32/a22);
- teine muudetud rida lisatakse praegusele reale;
- liitmise tulemus asendatakse kolmandale, neljandale ja nii edasi reale, kusjuures esimene ja teine jäävad muutumatuks;
- maatriksi ridades [3, m] on kaks esimest elementi juba võrdsed nulliga.
Algoritmi tuleb korrata, kuni koefitsient k=(-am, m-1/amm). See tähendab, et algoritmi käitati viimati ainult madalama võrrandi jaoks. Nüüd näeb maatriks välja nagu kolmnurk või sellel on astmeline kuju. Alumine rida sisaldab võrrandit amn × x =bm. Koefitsient ja vaba liige on teada ning nende kaudu väljendatakse juurt: x =bm/amn. Saadud juur asendatakse ülemisele reale, et leida xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. Ja nii edasi analoogia põhjal: igal järgmisel real on uus juur ja süsteemi "ülaossa" jõudes võib leida lahenduste komplekti [x1, … x ]. See on ainus.
Kui lahendusi pole
Kui ühes maatriksireas on kõik elemendid, välja arvatud vaba liige, võrdsed nulliga, siis näeb sellele reale vastav võrrand välja 0=b. Sellel pole lahendust. Ja kuna selline võrrand on süsteemis sees, siis on kogu süsteemi lahenduste hulk tühi, see tähendab, et see on degenereerunud.
Kui lahendusi on lõpmatu arv
Võib selguda, et vähendatud kolmnurkmaatriksis pole ridu ühe elemendiga - võrrandi koefitsiendiga ja ühe - vaba liikmega. On ainult stringe, mis ümberkirjutamisel näeksid välja nagu kahe või enama muutujaga võrrand. See tähendab, et süsteemil on lõpmatu arv lahendusi. Sellisel juhul saab vastuse anda üldlahenduse vormis. Kuidas seda teha?
Kõikmuutujad maatriksis jagunevad põhilisteks ja vabadeks. Põhilised - need on need, mis seisavad astmelise maatriksi ridade "serval". Ülejäänud on tasuta. Üldlahenduses kirjutatakse põhimuutujad vabade järgi.
Mugavuse huvides kirjutatakse maatriks esm alt tagasi võrrandisüsteemiks. Siis viimases neist, kuhu jäi täpselt ainult üks põhimuutuja, jääb see ühele poole ja kõik muu kandub üle teisele. Seda tehakse iga võrrandi jaoks ühe põhimuutujaga. Seejärel asendatakse ülejäänud võrrandites võimaluse korral põhimuutuja asemel selle jaoks saadud avaldis. Kui tulemuseks on jällegi ainult ühte põhimuutujat sisaldav avaldis, siis väljendatakse seda se alt uuesti ja nii edasi, kuni iga põhimuutuja kirjutatakse vabade muutujatega avaldisena. See on SLAE üldine lahendus.
Võite leida ka süsteemi põhilahenduse – andke vabadele muutujatele mis tahes väärtused ja seejärel arvutage põhimuutujate väärtused selle konkreetse juhtumi jaoks. Konkreetseid lahendusi on lõpmatult palju.
Lahendus konkreetsete näidetega
Siin on võrrandisüsteem.
Mugavuse huvides on parem selle maatriks kohe teha
On teada, et Gaussi meetodil lahendamisel jääb esimesele reale vastav võrrand teisenduste lõpus muutumatuks. Seetõttu on tulusam, kui maatriksi ülemine vasak element on väikseim - siis esimesed elemendidülejäänud read pärast toiminguid muutuvad nulliks. See tähendab, et koostatud maatriksis on kasulik panna teine rida esimese asemele.
Järgmiseks peate muutma teist ja kolmandat rida nii, et esimesed elemendid muutuksid nulliks. Selleks lisage need esimesele, korrutatuna koefitsiendiga:
teine rida: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3) × 2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
kolmas rida: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5) × 1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5) × 4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Nüüd, et mitte segadusse sattuda, peate kirjutama maatriksi teisenduste vahetulemustega.
Ilmselt saab sellist maatriksit mõne toimingu abil loetavamaks muuta. Näiteks saate eemaldada kõik "miinused" teiselt re alt, korrutades iga elemendi arvuga "-1".
Samuti väärib märkimist, et kolmandal real on kõik elemendid kolme kordsed. Siis saatelõigake string selle arvuga, korrutades iga elemendi arvuga "-1/3" (miinus - samal ajal negatiivsete väärtuste eemaldamiseks).
Näeb palju kenam välja. Nüüd peame esimese rea rahule jätma ning töötama teise ja kolmandaga. Ülesanne on lisada teine rida kolmandale reale, korrutades sellise teguriga, et element a32 muutub nulliks.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (kui mõne teisenduse ajal vastuses selgus, et see ei ole täisarv, on soovitatav jätta see "nagu on", tavalise murru kujul ja alles siis, kui vastused on laekunud, otsustada, kas ümardada ja teisendada mõnele muule kujule. märge)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7) × 7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7) × 11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7) × 24=-61/7
Maatriks kirjutatakse uuesti uute väärtustega.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Nagu näete, on saadud maatriksil juba astmeline vorm. Seetõttu pole süsteemi edasisi teisendusi Gaussi meetodil vaja. Siin saab eemaldada kolmand alt re alt üldise koefitsiendi "-1/7".
Nüüd kõikkena. Asi on väike - kirjutage maatriks uuesti võrrandisüsteemi kujul ja arvutage juured
x + 2a + 4z=12 (1)
7a + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritmi, mille abil juured nüüd leitakse, nimetatakse Gaussi meetodis vastupidiseks liikumiseks. Võrrand (3) sisaldab väärtust z:
z=61/9
Järgmisena naaske teise võrrandi juurde:
y=(24–11×(61/9))/7=–65/9
Ja esimene võrrand võimaldab teil leida x:
x=(12–4z – 2a)/1=12–4×(61/9) – 2×(–65/9)=–6/9=–2/3
Meil on õigus nimetada sellist süsteemi liigendiks ja isegi kindlaks, st ainulaadse lahendusega. Vastus kirjutatakse järgmisel kujul:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Määramatu süsteemi näide
Teatud süsteemi Gaussi meetodil lahendamise varianti on analüüsitud, nüüd tuleb arvestada juhul, kui süsteem on määramatu ehk sellele võib leida lõpmatult palju lahendusi.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 – 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 – x5=12 (4)
Süsteemi vorm on juba murettekitav, sest tundmatute arv on n=5 ja süsteemi maatriksi auaste on juba täpselt väiksem kui see arv, kuna ridade arv on m=4, see tähendab, et ruutdeterminandi suurim järk on 4. Lahendusi on lõpmatult palju ja me peame otsima selle üldist vormi. Lineaarvõrrandite Gaussi meetod võimaldab seda teha.
Esiteks, nagu tavaliselt, koostatakse liitmaatriks.
Teine rida: koefitsient k=(-a21/a11)=-3. Kolmandas reas on esimene element enne teisendusi, nii et te ei pea midagi puudutama, peate jätma selle nii, nagu see on. Neljas rida: k=(-a41/a11)=-5
Korrutades esimese rea elemendid kordamööda iga koefitsiendiga ja liites need vajalikele ridadele, saame järgmise kujuga maatriksi:
Nagu näete, koosnevad teine, kolmas ja neljas rida üksteisega proportsionaalsetest elementidest. Teine ja neljas on üldiselt samad, nii et ühe neist saab kohe eemaldada ja ülejäänud korrutada koefitsiendiga "-1" ja saada rea number 3. Jällegi jätke üks kahest identsest reast.
Tulemuseks on selline maatriks. Süsteem pole veel üles kirjutatud, siin on vaja määrata põhimuutujad - seistes koefitsientide juures a11=1 ja a22=1, ja tasuta – kõik ülejäänud.
Teises võrrandis on ainult üks põhimuutuja - x2. Seega saab seda väljendada se alt, kirjutades läbi muutujate x3, x4, x5, mis on tasuta.
Asendage saadud avaldis esimeses võrrandis.
Selgus võrrand, millesainus põhimuutuja on x1. Teeme sellega sama, mis x2.
Kõik põhimuutujad, mida on kaks, on väljendatud kolme vabana, nüüd saate vastuse kirjutada üldkujul.
Saate määrata ka ühe süsteemi konkreetsetest lahendustest. Sellistel juhtudel valitakse vabade muutujate väärtusteks reeglina nullid. Siis on vastus:
-16, 23, 0, 0, 0.
Näide ebajärjekindlast süsteemist
Ebajärjekindlate võrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodiga on kiireim. See lõpeb niipea, kui ühes etapis saadakse võrrand, millel pole lahendust. See tähendab, et kaob üsna pikk ja kõle juurte arvutamise etapp. Kaalumisel on järgmine süsteem:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Nagu tavaliselt, koostatakse maatriks:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Ja taandatud astmelisele kujule:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Pärast esimest teisendust sisaldab kolmas rida võrrandit kujul
0=7, lahendus puudub. Seetõttu süsteemon ebajärjekindel ja vastus on tühi hulk.
Meetodi eelised ja puudused
Kui valite, millise meetodi SLAE paberil pliiatsiga lahendada, tundub selles artiklis käsitletud meetod kõige atraktiivsem. Elementaarteisendustes on palju keerulisem segadusse sattuda, kui see juhtub, kui peate käsitsi otsima determinanti või mõnda keerulist pöördmaatriksit. Kui aga kasutada seda tüüpi andmetega töötamiseks programme, näiteks tabeleid, siis selgub, et sellised programmid sisaldavad juba algoritme maatriksite põhiparameetrite arvutamiseks - determinant, minoorsed, pöörd- ja transponeeritud maatriksid jne.. Ja kui olete kindel, et masin arvutab need väärtused ise välja ega tee viga, on otstarbekam kasutada maatriksmeetodit või Crameri valemeid, sest nende rakendamine algab ja lõpeb determinantide ja pöördmaatriksite arvutamisega.
Rakendus
Kuna Gaussi lahendus on algoritm ja maatriks on tegelikult kahemõõtmeline massiiv, saab seda kasutada programmeerimisel. Aga kuna artikkel positsioneerib end juhendina "mannekeenidele", siis olgu öeldud, et kõige lihtsam koht meetodi paigutamiseks on tabelid, näiteks Excel. Jällegi käsitleb Excel iga maatriksi kujul tabelisse sisestatud SLAE-d kahemõõtmelise massiivina. Ja nendega tehte jaoks on palju toredaid käske: liitmine (saate lisada ainult ühesuurused maatriksid!), Arvuga korrutamine, maatrikskorrutamine (kateatud piirangud), pöörd- ja transponeeritud maatriksite leidmine ja mis kõige tähtsam determinandi arvutamine. Kui see aeganõudev ülesanne asendada ühe käsuga, on maatriksi järjestuse määramine palju kiirem ja seega ka selle ühilduvuse või ebakõla kindlakstegemine.
