Maatriksid: Gaussi meetod. Gaussi maatriksi arvutamine: näited

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Lineaaralgebra, mida ülikoolides erinevatel erialadel õpetatakse, ühendab endas palju keerulisi teemasid. Mõned neist on seotud maatriksitega, samuti lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisega Gaussi ja Gaussi-Jordani meetoditega. Kõigil õpilastel ei õnnestu neid teemasid, erinevate ülesannete lahendamise algoritme mõista. Saame üheskoos aru Gaussi ja Gaussi-Jordani maatriksitest ja meetoditest.

Põhimõisted

Maatriks lineaaralgebras on ristkülikukujuline elementide massiiv (tabel). Allpool on sulgudes toodud elementide komplektid. Need on maatriksid. Ül altoodud näitest on näha, et ristkülikukujuliste massiivide elemendid ei ole ainult numbrid. Maatriks võib koosneda matemaatilistest funktsioonidest, algebralistest sümbolitest.

Mõnede mõistete mõistmiseks teeme maatriksi A elementidest a_ij. Indeksid ei ole ainult tähed: i on tabeli rea number ja j on veeru number, mille ristumiskoha piirkonnas element asuba_ij. Seega näeme, et meil on maatriks sellistest elementidest nagu a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ ja nii edasi Täht n tähistab veergude arvu ja täht m ridade arvu. Sümbol m × n tähistab maatriksi dimensiooni. See on kontseptsioon, mis määrab ridade ja veergude arvu ristkülikukujulises elementide massiivis.

Valikuliselt peab maatriksil olema mitu veergu ja rida. Mõõtmega 1 × n on elementide massiiv üherealine ja mõõtmetega m × 1 on see üheveeruline massiiv. Kui ridade ja veergude arv on võrdne, nimetatakse maatriksit ruuduks. Igal ruutmaatriksil on determinant (det A). See termin viitab numbrile, mis on määratud maatriksile A.

Mõned olulisemad mõisted, mida maatriksite edukaks lahendamiseks meeles pidada, on põhi- ja sekundaardiagonaalid. Maatriksi põhidiagonaal on diagonaal, mis läheb ülemisest vasakust nurgast alla tabeli paremasse nurka. Külgdiagonaal läheb alt paremasse nurka üles vasakust nurgast ülespoole.

Astmeline maatriksvaade

Vaadake allolevat pilti. Sellel näete maatriksit ja diagrammi. Kõigepe alt tegeleme maatriksiga. Lineaaralgebras nimetatakse sellist maatriksit astmemaatriksiks. Sellel on üks omadus: kui a_ij on esimene nullist erinev element i-ndas reas, siis kõik muud elemendid maatriksist allpool ja a_{ij-st vasakul} , on null (st kõik need elemendid, millele saab anda tähetähise a_kl, kus k>i jal<j).

Nüüd kaaluge diagrammi. See peegeldab maatriksi astmelist vormi. Skeem näitab 3 tüüpi rakke. Iga tüüp tähistab teatud elemente:

• tühjad lahtrid – maatriksi nullelemendid;
• varjutatud lahtrid on suvalised elemendid, mis võivad olla nii nullid kui ka nullist erinevad;
• mustad ruudud on nullist erinevad elemendid, mida nimetatakse nurgaelementideks, “sammudeks” (nende kõrval näidatud maatriksis on sellisteks elementideks numbrid –1, 5, 3, 8).

Maatriksite lahendamisel on mõnikord tulemuseks see, et sammu "pikkus" on suurem kui 1. See on lubatud. Tähtis on ainult astmete "kõrgus". Sammmaatriksis peab see parameeter alati olema võrdne ühega.

Maatriksi redutseerimine astmelisele vormile

Iga ristkülikukujulise maatriksi saab teisendada astmeliseks vormiks. Seda tehakse elementaarsete teisenduste kaudu. Nende hulka kuuluvad:

• stringide ümberkorraldamine;
• Ühele reale veel ühe rea lisamine, vajadusel korrutades mõne arvuga (saate sooritada ka lahutamistehte).

Vaatleme elementaarseid teisendusi konkreetse probleemi lahendamisel. Alloleval joonisel on maatriks A, mis tuleb taandada astmelisele kujule.

Probleemi lahendamiseks järgime järgmist algoritmi:

• Mugav on maatriksil teisendusi teha, kasutadesesimene element vasakus ülanurgas (st "juhtiv" element) on 1 või -1. Meie puhul on ülemise rea esimene element 2, nii et vahetame esimene ja teine rida.
• Teostame lahutamisoperatsioone, mis mõjutavad ridu 2, 3 ja 4. Peaksime saama nullid esimesse veergu elemendi "juht" alla. Selle tulemuse saavutamiseks: rea nr 2 elementidest lahutame järjestikku rea nr 1 elemendid, korrutatuna 2-ga; rea nr 3 elementidest lahutame järjestikku rea nr 1 elemendid, korrutatuna 4-ga; rea nr 4 elementidest lahutame järjestikku rea nr 1 elemendid.
• Järgmisena töötame kärbitud maatriksiga (ilma veeru nr 1 ja ilma rea nr 1ta). Uus "juhtiv" element, mis asub teise veeru ja teise rea ristumiskohas, on võrdne -1. Ridade ümberpaigutamist pole vaja, seega kirjutame esimese veeru ning esimese ja teise rea muudatusteta ümber. Teeme maha lahutamistehte, et saada nullid teises veerus elemendi "juht" all: kolmanda rea elementidest lahutame järjestikku teise rea elemendid, korrutatuna 3-ga; lahutage neljanda rea elementidest teise rea elemendid, mis on korrutatud 2-ga.
• Jääb muuta viimast rida. Selle elementidest lahutame järjestikku kolmanda rea elemendid. Seega saime astmelise maatriksi.

Maatriksite taandamist astmelisele kujule kasutatakse lineaarvõrrandisüsteemide (SLE) lahendamisel Gaussi meetodil. Enne selle meetodi vaatamist mõistkem mõnda SLN-iga seotud terminit.

Maatriksid ja lineaarvõrrandisüsteemid

Maatrikse kasutatakse erinevates teadustes. Arvutabelite abil saab näiteks Gaussi meetodil süsteemiks kombineeritud lineaarvõrrandeid lahendada. Kõigepe alt tutvume mõne termini ja nende definitsioonidega ning vaatame ka, kuidas moodustub maatriks süsteemist, mis ühendab mitut lineaarset võrrandit.

SLU – mitu kombineeritud algebralist võrrandit tundmatute esimeste astmetega ja ilma tooteterminiteta.

SLE lahendus – leitud tundmatute väärtused, mille asendamisel muutuvad süsteemi võrrandid identiteetideks.

Ühis SLE on võrrandisüsteem, millel on vähem alt üks lahendus.

Ebajärjekindel SLE on võrrandisüsteem, millel pole lahendusi.

Kuidas moodustatakse lineaarvõrrandeid ühendava süsteemi alusel maatriks? On olemas sellised mõisted nagu süsteemi põhi- ja laiendatud maatriksid. Süsteemi põhimaatriksi saamiseks on vaja tabelisse panna kõik tundmatute koefitsiendid. Laiendatud maatriks saadakse, lisades põhimaatriksile vabade terminite veeru (see sisaldab teadaolevaid elemente, millega süsteemi iga võrrand on võrdsustatud). Kogu sellest protsessist saate aru, kui uurite allolevat pilti.

Esimene asi, mida pildil näeme, on süsteem, mis sisaldab lineaarvõrrandeid. Selle elemendid: a_ij – arvulised koefitsiendid, x_j – tundmatud väärtused, b_i – konstantsed liikmed (kus i=1, 2, …, m ja j=1, 2, …, n). Teine element pildil on koefitsientide põhimaatriks. Igast võrrandist kirjutatakse koefitsiendid ritta. Selle tulemusena on maatriksis sama palju ridu, kui on süsteemis võrrandeid. Veergude arv võrdub mis tahes võrrandi suurima koefitsientide arvuga. Kolmas element pildil on laiendatud maatriks vabade terminite veeruga.

Üldine teave Gaussi meetodi kohta

Lineaaralgebras on Gaussi meetod SLE lahendamise klassikaline viis. See kannab Carl Friedrich Gaussi nime, kes elas 18.-19. See on üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid. Gaussi meetodi olemus seisneb elementaarteisenduste teostamises lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemis. Teisenduste abil taandatakse SLE samaväärseks kolmnurkse (astmelise) kujuga süsteemiks, millest on võimalik leida kõik muutujad.

Väärib märkimist, et Carl Friedrich Gauss ei ole klassikalise lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise meetodi avastaja. Meetod leiutati palju varem. Selle esimene kirjeldus on leitud iidsete Hiina matemaatikute teadmiste entsüklopeediast "Matemaatika 9 raamatus".

Näide SLE lahendamisest Gaussi meetodil

Vaatleme süsteemide lahendamist Gaussi meetodil konkreetsel näitel. Töötame pildil näidatud SLU-ga.

Lahendusalgoritm:

1. Tahandame süsteemi astmeliseks Gaussi meetodi otsese liigutamise teel, kuid esm altkoostame arvuliste koefitsientide ja vabaliikmete laiendatud maatriksi.
2. Maatriksi lahendamiseks Gaussi meetodil (st viimiseks astmelisele kujule) lahutame teise ja kolmanda rea elementidest järjestikku esimese rea elemendid. Nulle saame esimesse veergu elemendi "juht" all. Järgmisena muudame mugavuse huvides kohati teist ja kolmandat rida. Viimase rea elementidele lisage järjestikku teise rea elemendid, korrutatuna 3-ga.
3. Maatriksi arvutamise tulemusena Gaussi meetodil saime astmelise elementide massiivi. Selle põhjal koostame uue lineaarvõrrandisüsteemi. Gaussi meetodi vastupidisel teel leiame tundmatute terminite väärtused. Viimasest lineaarvõrrandist on näha, et x₃ on võrdne 1-ga. Asendame selle väärtuse süsteemi teise reale. Saate võrrandi x₂ – 4=–4. Sellest järeldub, et x₂ võrdub 0. Asendage süsteemi esimeses võrrandis x₂ ja x₃: x1 _{+ 0 +3=2. Tundmatu termin on -1.}

Vastus: kasutades maatriksit, Gaussi meetodit, leidsime tundmatute väärtused; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gaussi-Jordaania meetod

Lineaaralgebras on olemas ka selline asi nagu Gaussi-Jordani meetod. Seda peetakse Gaussi meetodi modifikatsiooniks ja seda kasutatakse pöördmaatriksi leidmiseks, algebraliste lineaarvõrrandite ruutsüsteemide tundmatute liikmete arvutamiseks. Gaussi-Jordani meetod on mugav selle poolest, et võimaldab SLE-d lahendada ühes etapis (ilma otsest ja pöördvõrdelist kasutamataliigub).

Alustame terminiga "pöördmaatriks". Oletame, et meil on maatriks A. Selle pöördväärtus on maatriks A^-1, kusjuures tingimus on tingimata täidetud: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, st nende maatriksite korrutis on võrdne identiteedimaatriksiga (identiteedimaatriksi põhidiagonaali elemendid on ühed ja ülejäänud elemendid on nullid).}

Oluline nüanss: lineaaralgebras on teoreem pöördmaatriksi olemasolu kohta. Maatriksi A^-1 olemasolu piisav ja vajalik tingimus on, et maatriks A on mitteainsuses.

Põhitoimingud, millel Gaussi-Jordani meetod põhineb:

1. Vaadake konkreetse maatriksi esimest rida. Gaussi-Jordani meetodit saab käivitada, kui esimene väärtus ei ole võrdne nulliga. Kui esimene koht on 0, siis vahetage read nii, et esimese elemendi väärtus oleks nullist erinev (soovitav, et arv oleks lähemal ühele).
2. Jagage kõik esimese rea elemendid esimese numbriga. Saate lõpuks stringi, mis algab ühega.
3. Teiselt re alt lahutage esimene rida, mis on korrutatud teise rea esimese elemendiga, st lõpuks saate rea, mis algab nullist. Tehke sama ülejäänud ridade puhul. Jagage iga rida selle esimese nullist erineva elemendiga, et saada 1 diagonaalselt.
4. Selle tulemusel saate Gaussi – Jordani meetodi abil ülemise kolmnurkmaatriksi. Selles on põhidiagonaal esindatud ühikutega. Alumine nurk on täidetud nullidega jaülemine nurk – erinevad väärtused.
5. Eelviimaselt re alt lahutage viimane rida, mis on korrutatud nõutava koefitsiendiga. Peaksite saama stringi nullide ja ühega. Ülejäänud ridade puhul korrake sama toimingut. Pärast kõiki teisendusi saadakse identiteedimaatriks.

Näide pöördmaatriksi leidmisest Gaussi-Jordani meetodi abil

Pöördmaatriksi arvutamiseks tuleb kirjutada liitmaatriks A|E ja sooritada vajalikud teisendused. Vaatleme lihtsat näidet. Alloleval joonisel on maatriks A.

Lahendus:

1. Esm alt leiame maatriksdeterminandi Gaussi meetodi abil (det A). Kui see parameeter ei ole võrdne nulliga, loetakse maatriks mitteainsuseks. See võimaldab meil järeldada, et A-l on kindlasti A^-1. Determinandi arvutamiseks teisendame maatriksi elementaarteisendustega astmelisele kujule. Loendame arvu K võrdseks rea permutatsioonide arvuga. Vahetasime ridu ainult 1 kord. Arvutame determinandi. Selle väärtus võrdub põhidiagonaali elementide korrutisega (–1)^K. Arvutustulemus: det A=2.
2. Koostage täiendatud maatriks, lisades identiteedimaatriksi algsele maatriksile. Saadud elementide massiivi kasutatakse pöördmaatriksi leidmiseks Gaussi-Jordani meetodil.
3. Esimese rea esimene element on võrdne ühega. Meile see sobib, sest pole vaja ridu ümber paigutada ja antud rida mingi arvuga jagada. Alustame töödteise ja kolmanda reaga. Teise rea esimese elemendi 0-ks muutmiseks lahutage teisest reast esimene rida, mis on korrutatud 3-ga. Lahutage esimene rida kolmandast reast (korrutamist pole vaja).
4. Saadud maatriksis on teise rea teine element -4 ja kolmanda rea teine element -1. Vahetame mugavuse huvides read ära. Kolmandast reast lahutage teine rida, mis on korrutatud 4-ga. Jagage teine rida -1-ga ja kolmas rida 2-ga. Saame ülemise kolmnurkmaatriksi.
5. Lahutame teisest reast viimase 4-ga korrutatud rea ja esimesest reast viimase 5-ga korrutatud rea. Järgmiseks lahutame esimesest reast teine rida korrutatuna 2-ga. Vasakul pool saime identiteedi maatriks. Paremal on pöördmaatriks.

Näide SLE lahendamisest Gaussi-Jordani meetodil

Joonis näitab lineaarvõrrandisüsteemi. Tundmatute muutujate väärtused tuleb leida maatriksi abil, Gaussi-Jordani meetodil.

Lahendus:

1. Loome liitmaatriksi. Selleks paneme koefitsiendid ja vabad liikmed tabelisse.
2. Lahendage maatriks Gaussi-Jordani meetodi abil. Realilt nr 2 lahutame rea nr 1. Realilt nr 3 lahutame rea nr 1, mis on eelnev alt korrutatud 2-ga.
3. Vahetage read 2 ja 3.
4. Re alt 3 lahutage rida 2 korrutatuna 2-ga. Jagage saadud kolmas rida arvuga –1.
5. Lahutage rida 3 re alt 2.
6. Lahutage rida 1 re alt 12 korda -1. Küljel saime veeru, mis koosneb numbritest 0, 1 ja -1. Sellest järeldame, et x₁=0, x₂=1 ja x₃ =–1.

Soovi korral saate kontrollida lahenduse õigsust, asendades arvutatud väärtused võrranditesse:

• 0 – 1=–1, esimene identiteet süsteemist on õige;
• 0 + 1 + (–1)=0, süsteemi teine identiteet on õige;
• 0 – 1 + (–1)=–2, süsteemi kolmas identiteet on õige.

Järeldus: kasutades Gaussi-Jordani meetodit, oleme leidnud õige lahenduse ruutsüsteemile, mis kombineerib lineaarseid algebralisi võrrandeid.

Võrgukalkulaatorid

Tänapäeva ülikoolides õppivate ja lineaaralgebrat õppivate noorte elu on oluliselt lihtsustatud. Mõned aastad tagasi pidime Gaussi ja Gaussi-Jordani meetodil süsteemidele lahendusi leidma iseseisv alt. Mõned õpilased said ülesannetega eduk alt hakkama, teised aga sattusid lahenduses segadusse, tegid vigu, palusid klassikaaslastelt abi. Tänapäeval saate kodutööde tegemisel kasutada veebikalkulaatoreid. Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks, pöördmaatriksite otsimiseks on kirjutatud programme, mis näitavad mitte ainult õigeid vastuseid, vaid näitavad ka konkreetse ülesande lahendamise edenemist.

Internetis on palju sisseehitatud veebikalkulaatoritega ressursse. Gaussi maatriksid, võrrandisüsteemid lahendavad need programmid mõne sekundiga. Õpilased peavad määrama ainult nõutavad parameetrid (näiteks võrrandite arv,muutujate arv).