Tõenäosusteooria uurimine algab tõenäosuste liitmise ja korrutamise probleemide lahendamisest. Tasub kohe mainida, et selle teadmisvaldkonna omandamisel võib õpilasel tekkida probleem: kui füüsikalisi või keemilisi protsesse saab visuaalselt kujutada ja empiiriliselt mõista, siis on matemaatilise abstraktsiooni tase väga kõrge ja mõistmine siin tuleb ainult kogemus.
Mäng on siiski küün alt väärt, sest valemeid – nii käesolevas artiklis käsitletud kui ka keerukamaid – kasutatakse tänapäeval kõikjal ja neist võib töös kasu olla.
Päritolu
Kummalisel kombel andis selle matemaatika osa arendamise tõuke … hasartmängud. Tõepoolest, täringud, mündivisked, pokker, rulett on tüüpilised näited, mis kasutavad tõenäosuste liitmist ja korrutamist. Iga õpiku ülesannete näitel on see selgelt näha. Inimesed olid huvitatud õppimisest, kuidas oma võiduvõimalusi suurendada, ja pean ütlema, et mõnel see õnnestus.
Näiteks juba 21. sajandil üks inimene, kelle nime me ei avalda,kasutas neid sajandite jooksul kogutud teadmisi kasiino sõna otseses mõttes "puhastamiseks", võites ruletis mitukümmend miljonit dollarit.
Kuid vaatamata suurenenud huvile selle aine vastu, töötati alles 20. sajandil välja teoreetiline raamistik, mis muutis "teoreetajast" matemaatika täieõigusliku komponendi. Tänapäeval võib peaaegu igas teaduses leida tõenäosuslikke meetodeid kasutades arvutusi.
Rakendatavus
Tõenäosuste liitmise ja korrutamise valemite kasutamisel on tingimuslik tõenäosus keskse piirteoreemi rahuldatavus. Vastasel juhul, kuigi õpilane ei pruugi sellest aru saada, on kõik arvutused valed, ükskõik kui usutavad need ka ei tunduks.
Jah, kõrgelt motiveeritud õppijal on kiusatus igal võimalusel uusi teadmisi kasutada. Kuid sel juhul tuleks veidi aeglustada ja kohaldamisala rangelt välja tuua.
Tõenäosusteooria käsitleb juhuslikke sündmusi, mis empiirilises mõttes on katsete tulemused: saame veeretada kuuepoolset täringut, tõmmata kaardipakist kaarti, ennustada vigaste osade arvu partiis. Mõnes küsimuses on aga kategooriliselt võimatu kasutada selle matemaatika osa valemeid. Sündmuse tõenäosuste arvestamise iseärasusi, sündmuste liitmise ja korrutamise teoreeme käsitleme artikli lõpus, kuid nüüd pöördume näidete poole.
Põhimõisted
Juhuslik sündmus tähendab mingit protsessi või tulemust, mis võib või ei pruugi ilmudaeksperimendi tulemusena. Näiteks viskame võileiba – see võib kukkuda võiga üles või alla. Kumbki tulemus on juhuslik ja me ei tea ette, kumb neist aset leiab.
Tõenäosuste liitmise ja korrutamise uurimisel vajame veel kahte mõistet.
Ühissündmused on sellised sündmused, millest ühe toimumine ei välista teise toimumist. Oletame, et kaks inimest tulistavad korraga märklauda. Kui üks neist sooritab eduka lasu, ei mõjuta see teise võimet tabada või mööda lüüa.
Ebajärjekindlad on sellised sündmused, mille toimumine on samaaegselt võimatu. Näiteks tõmmates karbist välja ainult ühe palli, ei saa te korraga nii sinist kui ka punast.
Nimetus
Tõenäosuse mõistet tähistatakse ladina suure tähega P. Järgmisena on sulgudes argumendid, mis tähistavad mõnda sündmust.
Lindamisteoreemi, tingimusliku tõenäosuse, korrutusteoreemi valemites näete sulgudes avaldisi, näiteks: A+B, AB või A|B. Neid arvutatakse mitmel viisil, nüüd pöördume nende poole.
Lisamine
Vaatleme juhtumeid, kus kasutatakse liitmis- ja korrutamisvalemeid.
Ühildumatute sündmuste puhul on asjakohane lihtsaim liitmisvalem: mis tahes juhusliku tulemuse tõenäosus võrdub kõigi nende tulemuste tõenäosuste summaga.
Oletame, et seal on kast 2 sinise, 3 punase ja 5 kollase õhupalliga. Kokku on karbis 10 eset. Kui suur protsent vastab väitele, et loosime sinise või punase palli? See võrdub 2/10 + 3/10, st viiskümmend protsenti.
Ühildumatute sündmuste korral muutub valem keerulisemaks, kuna lisandub täiendav termin. Pöördume selle juurde tagasi ühes lõigus pärast veel ühe valemi kaalumist.
Korrutamine
Erinevatel juhtudel kasutatakse sõltumatute sündmuste tõenäosuste liitmist ja korrutamist. Kui oleme katse tingimuste kohaselt rahul ühega kahest võimalikust tulemusest, arvutame summa; kui tahame saada kaks kindlat tulemust üksteise järel, kasutame teist valemit.
Pöördudes tagasi eelmise jaotise näite juurde, tahame kõigepe alt joonistada sinise ja seejärel punase palli. Esimene number, mida me teame, on 2/10. Mis järgmisena juhtub? Jäänud on 9 palli, punaseid on veel sama palju - kolm tükki. Arvutuste järgi saad 3/9 või 1/3. Aga mida nüüd kahe numbriga peale hakata? Õige vastus on korrutada, et saada 2/30.
Ühisüritused
Nüüd saame ühisürituste summavalemi uuesti üle vaadata. Miks me teemast kõrvale kaldume? Et õppida, kuidas tõenäosusi korrutatakse. Nüüd tulevad need teadmised kasuks.
Me juba teame, millised on kaks esimest liiget (sama, mis varem vaadeldud liitmisvalemis), nüüd peame lahutamatõenäosuste korrutis, mida oleme just õppinud arvutama. Selguse huvides kirjutame valemi: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Selgub, et ühes avaldises kasutatakse nii tõenäosuste liitmist kui ka korrutamist.
Oletame, et krediidi saamiseks peame lahendama ühe kahest probleemist. Esimese saame lahendada tõenäosusega 0,3 ja teise - 0,6. Lahendus: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Pange tähele, et siin ei piisa lihts alt arvude liitmisest.
Tingimuslik tõenäosus
Lõpuks on tingimusliku tõenäosuse mõiste, mille argumendid on näidatud sulgudes ja eraldatud vertikaalse ribaga. Kirje P(A|B) kõlab järgmiselt: "sündmuse A tõenäosus antud sündmuse B".
Vaatleme näidet: sõber annab sulle seadme, olgu selleks telefon. See võib olla katki (20%) või hea (80%). Tõenäosusega 0,4 või sa ei suuda seda teha (0,6) oled võimeline parandama iga seadme, mis satub sinu kätte. Lõpuks, kui seade on töökorras, võite jõuda õige inimeseni tõenäosusega 0,7.
Sel juhul on lihtne näha, kuidas tingimuslik tõenäosus töötab: kui telefon on katki, ei saa te inimeseni läbi ja kui see on hea, pole vaja seda parandada. Seega, et saada "teisel tasemel" tulemusi, peate teadma, milline sündmus sooritati esimesel.
Arvutused
Vaatleme näiteid tõenäosuste liitmise ja korrutamise probleemide lahendamisest, kasutades eelmise lõigu andmeid.
Esm alt leiame tõenäosuse, et teieparandage teile antud seade. Selleks peab see esiteks olema vigane ja teiseks peate remondiga hakkama saama. See on tüüpiline korrutamisülesanne: saame 0,20,4=0,08.
Kui suur on tõenäosus, et jõuate kohe õige inimeseni? Lihtsast lihtsam: 0,80,7=0,56. Sel juhul avastasite, et telefon töötab, ja helistasite eduk alt.
Lõpuks mõelge järgmisele stsenaariumile: saite katkise telefoni, parandasite selle, seejärel valisite numbri ja vastaspool asuv inimene vastas telefonile. Siin on juba vajalik kolme komponendi korrutamine: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Ja mis siis, kui teil on korraga kaks mittetöötavat telefoni? Kui suure tõenäosusega suudate vähem alt ühe neist parandada? See on tõenäosuste liitmise ja korrutamise probleem, kuna kasutatakse ühissündmusi. Lahendus: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Hoolikas kasutamine
Nagu artikli alguses mainitud, peaks tõenäosusteooria kasutamine olema tahtlik ja teadlik.
Mida suurem on katsete seeria, seda lähemal on teoreetiliselt ennustatav väärtus praktilisele. Näiteks viskame münti. Teoreetiliselt, teades tõenäosuste liitmise ja korrutamise valemite olemasolu, saame ennustada, mitu korda kukuvad pead ja sabad välja, kui teeme katse 10 korda. Tegime katse jaJuhuslikult oli langenud külgede suhe 3:7. Kui aga sooritada 100, 1000 või enama katse seeriat, selgub, et jaotusgraafik läheneb teoreetilisele järjest lähemale: 44 kuni 56, 482 kuni 518 ja nii edasi.
Kujutage nüüd ette, et seda katset ei tehta mitte mündiga, vaid mingi uue keemilise aine tootmisega, mille tõenäosust me ei tea. Tegime 10 katset ja kui me ei saanud edukat tulemust, võiksime üldistada: "ainet ei saa saada." Aga kes teab, kas me oleksime üheteistkümnenda katse teinud või mitte?
Nii et kui te lähete tundmatusse, uurimata valdkonda, ei pruugi tõenäosusteooria kehtida. Iga järgnev katse võib sel juhul olla edukas ja üldistused nagu "X ei eksisteeri" või "X on võimatu" on ennatlikud.
Lõppsõna
Seega oleme vaatlenud kahte tüüpi liitmist, korrutamist ja tingimuslikke tõenäosusi. Selle valdkonna edasisel uurimisel on vaja õppida eristama olukordi, kui kasutatakse iga konkreetset valemit. Lisaks peate mõistma, kas tõenäosuslikud meetodid on teie probleemi lahendamiseks üldiselt kasutatavad.
Kui harjutate, hakkate mõne aja pärast kõiki vajalikke toiminguid läbi viima ainult oma mõtetes. Need, kes armastavad kaardimänge, võivad seda oskust kaaludaäärmiselt väärtuslik – suurendate oluliselt oma võiduvõimalusi, kui arvutate välja konkreetse kaardi või masti väljalangemise tõenäosuse. Omandatud teadmisi saab aga hõlpsasti rakendada ka muudes tegevusvaldkondades.
