Polünoom ehk polünoom – üks algebralisi põhistruktuure, mida leidub koolis ja kõrgemas matemaatikas. Polünoomi uurimine on algebrakursuse kõige olulisem teema, kuna ühest küljest on polünoomid võrreldes teist tüüpi funktsioonidega üsna lihtsad ja teis alt kasutatakse neid laialdaselt matemaatilise analüüsi ülesannete lahendamisel.. Mis on polünoom?
Definitsioon
Polünoommõiste definitsiooni saab anda monomiaali või monomiaali mõiste kaudu.
Monoom on avaldis kujul cx1i1x2 i2 …x in. Siin с on konstant, x1, x2, … x - muutujad, i1, i2, … in - muutujate eksponendid. Siis on polünoom mis tahes lõplik monooomide summa.
Et mõista, mis polünoom on, võite vaadata konkreetseid näiteid.
Ruudne trinoom, millest räägiti üksikasjalikult 8. klassi matemaatikakursuses, on polünoom: ax2+bx+c.
Kahe muutujaga polünoom võib välja näha selline: x2-xy+y2. Sellisedpolünoomi nimetatakse ka x ja y vahelise erinevuse mittetäielikuks ruuduks.
Polünoomide klassifikatsioonid
Polünoomkraad
Leia iga polünoomi monomiidi jaoks eksponentide summa i1+i2+…+in. Suurimat summat nimetatakse polünoomi eksponendiks ja sellele summale vastavat monomi suurimaks liikmeks.
Muide, iga konstanti võib pidada nullastme polünoomiks.
Tahandatud ja taandamata polünoomid
Kui koefitsient c on kõrgeima liikme puhul võrdne 1-ga, siis on antud polünoom, vastasel juhul mitte.
Näiteks avaldis x2+2x+1 on vähendatud polünoom ja 2x2+2x+1 ei ole redutseeritud.
Homogeensed ja ebahomogeensed polünoomid
Kui polünoomi kõigi liikmete astmed on võrdsed, siis ütleme, et selline polünoom on homogeenne. Kõik teised polünoomid loetakse mittehomogeenseteks.
Homogeensed polünoomid: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogeenne: x+1, x2+y.
Kahe- ja kolmeliikmelistel polünoomidel on spetsiaalsed nimed: vastav alt binoom ja trinoom.
Ühe muutuja polünoomid jaotatakse eraldi kategooriasse.
Ühe muutuja polünoomi rakendamine
Ühe muutuja polünoomid lähendavad hästi pidevaid, erineva keerukusega funktsioone ühest argumendist.
Fakt on see, et selliseid polünoome võib pidada astmeridade osasummadeks ja pidevat funktsiooni saab esitada suvaliselt väikese veaga jadana. Funktsiooni laiendusridu nimetatakse Taylori seeriateks ja nendeksosasummad polünoomide kujul – Taylori polünoomid.
Funktsiooni käitumise graafiline uurimine, lähendades seda mõne polünoomiga, on sageli lihtsam kui sama funktsiooni otse uurimine või seeria kasutamine.
Polünoomide tuletisi on lihtne otsida. 4. ja madalama astme polünoomide juurte leidmiseks on olemas valmisvalemid, kõrgemate astmetega töötamiseks kasutatakse ülitäpseid ligikaudseid algoritme.
Samuti on kirjeldatud polünoomide üldistus mitme muutuja funktsioonide jaoks.
Newtoni binoom
Kuulsad polünoomid on Newtoni polünoomid, mille teadlased tuletasid avaldise (x + y) koefitsientide leidmiseks.
Piisab binoomdekompositsiooni paari esimese astme vaatamisest veendumaks, et valem pole triviaalne:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Iga koefitsiendi jaoks on avaldis, mis võimaldab teil seda arvutada. Tülikate valemite päheõppimine ja iga kord vajalike aritmeetiliste toimingute sooritamine oleks aga äärmiselt ebamugav neile matemaatikutele, kes selliseid laiendusi sageli vajavad. Pascali kolmnurk tegi nende elu palju lihtsamaks.
Figuur on ehitatud järgmise põhimõtte järgi. Kolmnurga ülaossa kirjutatakse 1 ja igal järgmisel real muutub see veel ühe numbri võrra, äärtesse pannakse 1 ja rea keskosa täidetakse kahe eelmisest kõrvuti asetseva arvu summadega.
Kui vaatate illustratsiooni, saab kõik selgeks.
Muidugi ei piirdu polünoomide kasutamine matemaatikas ainult toodud näidetega, vaid kõige laiem alt tuntud.
