Ebavõrdsused ja ebavõrdsuse süsteemid on üks teemadest, mida keskkooli algebras õpetatakse. Raskuse poolest pole see kõige raskem, sest sellel on lihtsad reeglid (nende kohta veidi hiljem). Koolilapsed õpivad reeglina ebavõrdsussüsteemide lahendamist üsna lihts alt. See on tingitud ka sellest, et õpetajad lihts alt "koolitavad" oma õpilasi sellel teemal. Ja nad ei saa seda teha, sest seda uuritakse tulevikus teiste matemaatiliste suuruste abil ning seda kontrollitakse ka OGE ja ühtse riigieksami jaoks. Kooliõpikutes on ebavõrdsuse ja ebavõrdsussüsteemide teemat käsitletud väga põhjalikult, nii et kui kavatsete seda uurida, on kõige parem neid kasutada. See artikkel on vaid parafraas suurest materjalist ja võib sisaldada mõningaid väljajätmisi.
Ebavõrdsuse süsteemi mõiste
Kui pöördume teaduskeele poole, saame määratleda mõiste "süsteem".ebavõrdsused". See on selline matemaatiline mudel, mis esindab mitut ebavõrdsust. Muidugi nõuab see mudel lahendust ja see on üldine vastus kõigile ülesandes pakutud süsteemi ebavõrdsustele (tavaliselt kirjutatakse see nii, et näide: "Lahendage võrratuste süsteem 4 x + 1 > 2 ja 30 - x > 6… ").
Väärtussüsteemid ja võrrandisüsteemid
Uue teema õppimise käigus tekib sageli arusaamatusi. Ühest küljest on kõik selge ja pigem hakkan ülesandeid lahendama, aga teisest küljest jäävad mõned hetked "varju", neist ei saada hästi aru. Samuti saab juba omandatud teadmiste mõningaid elemente põimida uutega. Selle kattumise tõttu tekivad sageli vead.
Seetõttu tuleks enne oma teema analüüsi juurde asumist meelde tuletada võrrandite ja võrratuste erinevusi, nende süsteeme. Selleks on vaja veel kord selgeks teha, mis need matemaatilised mõisted on. Võrrand on alati võrdsus ja see on alati võrdne millegagi (matemaatikas tähistatakse seda sõna märgiga "="). Ebavõrdsus on mudel, milles üks väärtus on teisest suurem või väiksem või sisaldab väidet, et need ei ole samad. Seega on esimesel juhul kohane rääkida võrdsusest ja teisel juhul, ükskõik kui ilmselgelt see ka ei kõlaks.nimi ise, algandmete ebavõrdsuse kohta. Võrrandi- ja võrratussüsteemid praktiliselt ei erine üksteisest ning nende lahendamise meetodid on samad. Ainus erinevus on see, et esimene kasutab võrdusi, teine aga ebavõrdsust.
Ebavõrdsuse tüübid
Võrratusi on kahte tüüpi: arvuline ja tundmatu muutujaga. Esimene tüüp on esitatud väärtused (numbrid), mis ei ole üksteisega võrdsed, näiteks 8 > 10. Teine tüüp on ebavõrdsused, mis sisaldavad tundmatut muutujat (tähistatakse mõne ladina tähestiku tähega, enamasti X). See muutuja tuleb leida. Sõltuv alt sellest, kui palju neid on, eristab matemaatiline mudel ebavõrdsust ühega (need moodustavad ühe muutujaga võrratuste süsteemi) või mitut muutujat (need moodustavad mitme muutujaga võrratuste süsteemi).
Viimased kaks tüüpi jagunevad nende ehitusastme ja lahenduse keerukuse astme järgi lihtsateks ja keerukateks. Lihtsaid nimetatakse ka lineaarseteks võrratusteks. Need omakorda jagunevad rangeteks ja mitterangeteks. Rangelt konkreetselt "öelge", et üks väärtus peab olema kas väiksem või suurem, nii et see on puhas ebavõrdsus. Näiteid on mitu: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 jne. Mitteranged hõlmavad ka võrdsust. See tähendab, et üks väärtus võib olla suurem või võrdne teisest väärtusest (märk "≧") või väiksem või võrdne teisest väärtusest (märk "≦"). Ikka rivisEbavõrdsuses ei seisa muutuja juurtes, ruudus, ei jagu millegagi, mistõttu neid nimetatakse "lihtsateks". Keerulised hõlmavad tundmatuid muutujaid, mille leidmine nõuab rohkem matemaatilisi tehteid. Need on sageli ruudus, kuubis või juure all, võivad olla modulaarsed, logaritmilised, murdosalised jne. Aga kuna meie ülesandeks on mõista võrratussüsteemide lahendust, siis räägime lineaarsete võrratuste süsteemist. Enne seda tuleks aga öelda paar sõna nende omaduste kohta.
Ebavõrdsuse omadused
Ebavõrdsuse omadused hõlmavad järgmisi sätteid:
- Ebavõrdsuse märk pööratakse ümber, kui rakendatakse toimingut külgede jada muutmiseks (näiteks kui t1 ≦ t2, siis t 2 ≧ t1).
- Mõlemad ebavõrdsuse osad võimaldavad teil lisada endale sama arvu (näiteks kui t1 ≦ t2, siis t 1 + number ≦ t2 + number).
- Kaks või enam ebavõrdsust sama suuna märgiga võimaldavad lisada nende vasaku ja parema osa (näiteks kui t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, seejärel t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Mõlemad ebavõrdsuse osad võimaldavad end korrutada või jagada sama positiivse arvuga (näiteks kui t1 ≦ t2ja arv ≦ 0, seejärel arv t1 ≧ arv t2).
- Kaks või enam ebavõrdsust, millel on positiivsed terminid ja sama suuna märk, võimaldavadkorrutage üksteist (näiteks kui t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0, siis t1 t3 ≦ t2 t4).
- Mõlemad ebavõrdsuse osad lubavad end korrutada või jagada sama negatiivse arvuga, kuid ebavõrdsuse märk muutub (näiteks kui t1 ≦ t2 ja arv ≦ 0, seejärel number t1 ≧ arv t2).
- Kõik ebavõrdsused on transitiivsed (näiteks kui t1 ≦ t2 ja t2≦ t3, seejärel t1 ≦ t3).
Nüüd, pärast ebavõrdsusega seotud teooria põhisätete uurimist, saame asuda otse nende süsteemide lahendamise reeglite käsitlemise juurde.
Võrratussüsteemide lahendus. Üldine informatsioon. Lahendused
Nagu eespool mainitud, on lahenduseks muutuja väärtused, mis sobivad antud süsteemi kõigi võrratustega. Võrdsussüsteemide lahendus on matemaatiliste tehete rakendamine, mis lõpuks viivad kogu süsteemi lahenduseni või tõestavad, et sellel puuduvad lahendused. Sel juhul öeldakse, et muutuja viitab tühjale arvukomplektile (kirjutatakse järgmiselt: muutujat tähistav täht ∈ (märk "kuulub") ø (märk "tühi hulk"), näiteks x ∈ ø (loetakse nii: "Muutuja "x" kuulub tühja hulka"). Võrrassüsteemide lahendamiseks on mitu võimalust:graafiline, algebraline, asendusmeetod. Väärib märkimist, et need viitavad neile matemaatilistele mudelitele, millel on mitu tundmatut muutujat. Kui neid on ainult üks, sobib vahekaugusmeetod.
Graafiline meetod
Võimaldab lahendada mitme tundmatuga (kahest või enamast) ebavõrdsuste süsteemi. Tänu sellele meetodile lahendatakse lineaarsete võrratuste süsteem üsna lihts alt ja kiiresti, seega on see kõige levinum meetod. Seda seetõttu, et joonistamine vähendab matemaatiliste toimingute kirjutamise mahtu. Eriti meeldivaks muutub pliiatsi juures väike paus teha, joonlauaga pliiats kätte võtta ja nende abiga edasi tegutseda, kui tööd on palju tehtud ja vaheldust tahaks. Mõnele see meetod aga ei meeldi, kuna peate ülesandest lahti murdma ja oma vaimse tegevuse joonistamise vastu vahetama. See on aga väga tõhus viis.
Väärtussüsteemi lahendamiseks graafilise meetodi abil on vaja iga võrratuse kõik liikmed üle kanda nende vasakule küljele. Märgid pööratakse ümber, paremale tuleb kirjutada null, siis tuleb iga ebavõrdsus eraldi kirjutada. Selle tulemusena saadakse funktsioonid ebavõrdsustest. Pärast seda saate pliiatsi ja joonlaua: nüüd peate joonistama iga saadud funktsiooni graafiku. Kogu arvude hulk, mis jääb nende lõikumisvahemikus, on ebavõrdsuse süsteemi lahendus.
Algebraline viis
Võimaldab lahendada kahe tundmatu muutujaga võrratuste süsteemi. Ka ebavõrdsustel peab olema sama ebavõrdsuse märk (st need peavad sisaldama kas ainult "suurem kui" märki või ainult "vähem kui" märki jne) Vaatamata piirangutele on see meetod ka keerulisem. Seda rakendatakse kahes etapis.
Esimene hõlmab ühest tundmatust muutujast vabanemist. Kõigepe alt peate selle valima ja seejärel kontrollima, kas selle muutuja ees on numbrid. Kui neid pole (siis muutuja näeb välja ühe tähena), siis me ei muuda midagi, kui on (muutuja tüüp on näiteks 5a või 12a), siis tuleb veenduda et igas võrratuses on valitud muutuja ees olev arv sama. Selleks peate korrutama iga võrratuse liikme ühise teguriga, näiteks kui esimeses võrratuses on kirjutatud 3y ja teises 5y, siis peate korrutama kõik esimese võrratuse liikmed 5-ga., ja teine 3. Saate vastav alt 15 a ja 15 a.
Otsuse teine etapp. Iga ebavõrdsuse vasak pool on vaja üle kanda nende paremale küljele, muutes iga liikme märki vastupidiseks, paremale kirjutage null. Siis tuleb lõbus osa: valitud muutujast vabanemine (muidu tuntud kui "vähendamine"), lisades samal ajal ebavõrdsuse. Saate ühe muutujaga võrratuse, mis tuleb lahendada. Pärast seda peaksite tegema sama, ainult mõne teise tundmatu muutujaga. Saadud tulemused on süsteemi lahendus.
Asendusmeetod
Võimaldab lahendada ebavõrdsuse süsteemi, kui teil on võimalus sisestada uus muutuja. Tavaliselt kasutatakse seda meetodit, kui ühe võrratuse liikme tundmatu muutuja tõstetakse neljanda astmeni ja teises liikmes on see ruudus. Seega on selle meetodi eesmärk vähendada ebavõrdsuse määra süsteemis. Näidisvõrratus x4 - x2 - 1 ≦ 0 lahendatakse sel viisil järgmiselt. Kasutusele võetakse uus muutuja, näiteks t. Nad kirjutavad: "Olgu t=x2", siis kirjutatakse mudel ümber uuel kujul. Meie puhul saame t2 - t - 1 ≦0. See ebavõrdsus tuleb lahendada intervallmeetodiga (sellest veidi hiljem), seejärel pöörduda tagasi muutuja X juurde, seejärel teha sama teise võrratusega. Saadud vastused otsustab süsteem.
Intervallmeetod
See on lihtsaim viis ebavõrdsussüsteemide lahendamiseks ning samas universaalne ja lai alt levinud. Seda kasutatakse keskkoolis ja isegi keskkoolis. Selle olemus seisneb selles, et õpilane otsib vihikusse tõmmatud numbritel (see pole graafik, vaid tavaline numbritega sirge) ebavõrdsuse intervalle. Seal, kus võrratuste intervallid lõikuvad, leitakse süsteemi lahendus. Vahemeetodi kasutamiseks toimige järgmiselt.
- Kõik iga võrratuse liikmed kantakse vasakule poole, kusjuures märgi muutus vastupidiseks (null kirjutatakse paremale).
- Võrratused kirjutatakse eraldi välja, igaühe lahendus määratakse.
- Arvulise ebavõrdsuse lõikepunktidotse. Lahenduseks on kõik numbrid nendel ristmikel.
Millist viisi kasutada?
Ilmselt see, mis tundub kõige lihtsam ja mugavam, kuid on aegu, mil ülesanded nõuavad teatud meetodit. Enamasti öeldakse, et peate lahendama kas graafiku või intervallmeetodi abil. Algebralist meetodit ja asendust kasutatakse äärmiselt harva või üldse mitte, kuna need on üsna keerulised ja segased ning pealegi kasutatakse neid pigem võrrandisüsteemide kui ebavõrdsuse lahendamiseks, seega tuleks kasutada graafikute ja intervallide joonistamist. Need toovad nähtavuse, mis aitab vaid kaasa matemaatiliste toimingute tõhusale ja kiirele läbiviimisele.
Kui miski ei tööta
Konkreetse teema uurimisel algebras võib loomulikult tekkida probleeme selle mõistmisega. Ja see on normaalne, sest meie aju on loodud nii, et ei suuda ühe hooga keerukast materjalist aru saada. Sageli peate mõne lõigu uuesti läbi lugema, kasutama õpetaja abi või harjutama tüüpiliste probleemide lahendamist. Meie puhul näevad need välja näiteks nii: "Lahendage võrratuste süsteem 3 x + 1 ≧ 0 ja 2 x - 1 > 3". Seega aitab isiklik püüdlus, kõrvalseisjate abi ja praktika mis tahes keeruka teema mõistmisel.
Reshebnik?
Ja lahendusraamat on ka väga hea, aga mitte kodutöö petmiseks, vaid eneseabiks. Nendest leiate lahendusega ebavõrdsuse süsteeme, vaadakeneid (nagu malle), proovige täpselt aru saada, kuidas lahenduse autor ülesandega hakkama sai, ja proovige seda siis ise teha.
Järeldused
Algebra on koolis üks raskemaid aineid. Noh, mida sa saad teha? Matemaatika on alati selline olnud: mõnel tuleb see kergelt, teisel aga raskelt. Kuid igal juhul tuleb meeles pidada, et üldharidusprogramm on koostatud nii, et iga õpilane saab sellega hakkama. Lisaks peate silmas pidama tohutut hulka abilisi. Mõnda neist on eespool mainitud.
