Goldbachi probleem on kogu matemaatika ajaloos üks vanimaid ja enim tekitatud probleeme.
See oletus on osutunud tõeseks kõigi täisarvude puhul, mis on väiksemad kui 4 × 1018, kuid vaatamata matemaatikute märkimisväärsetele pingutustele jääb see tõestamata.
Arv
Goldbachi arv on positiivne paarisarv, mis on paaritute algarvude paari summa. Teine Goldbachi oletuse vorm on see, et kõik paarisarvud, mis on suuremad kui neli, on Goldbachi arvud.
Selliste numbrite eraldamist nimetatakse Goldbachi partitsiooniks (või partitsiooniks). Allpool on näited mõne paarisarvu sarnastest jaotistest:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Hüpoteesi avastamine
Goldbachil oli kolleeg nimega Euler, kellele meeldis lugeda, kirjutada keerulisi valemeid ja esitada lahendamatuid teooriaid. Selles sarnanesid nad Goldbachiga. Euler tegi sarnase matemaatilise mõistatuse juba enne Goldbachi, kellega tapidev kirjavahetus. Seejärel pakkus ta oma käsikirja servale välja teise ettepaneku, mille kohaselt võiks täisarvu, mis on suurem kui 2, kirjutada kolme algarvu summana. Ta pidas 1-t algarvuks.
Nüüd on teada, et need kaks hüpoteesi on sarnased, kuid sel ajal ei paistnud see probleem olevat. Goldbachi ülesande kaasaegne versioon väidab, et iga täisarvu, mis on suurem kui 5, saab kirjutada kolme algarvu summana. Euler vastas 30. juuni 1742 kirjas ja tuletas Goldbachile meelde nende varasemat vestlust ("… seega räägime algsest (ja mitte marginaalsest) hüpoteesist, mis tuleneb järgmisest väitest").
Euler-Goldbachi probleem
2 ja selle paarisarvud saab kirjutada kahe algarvu summana, mis on samuti Goldbachi oletus. 30. juuni 1742. aasta kirjas väitis Euler, et iga paarisarv on kahe algarvu liitmise tulemus, mida ta peab täpselt määratletud teoreemiks, kuigi ta ei suuda seda tõestada.
Kolmas versioon
Goldbachi ülesande kolmas versioon (võrdne kahe teise versiooniga) on kuju, milles oletus tänapäeval tavaliselt esitatakse. Seda tuntakse ka kui "tugevat", "paaris" või "binaarset" Goldbachi oletust, et eristada seda nõrgemast hüpoteesist, mida tänapäeval tuntakse kui "nõrk", "veider" või "kolmkomponentne" Goldbachi oletus. Nõrk oletus väidab, et kõik paaritud arvud, mis on suuremad kui 7, on kolme paaritu algarvu summa. Nõrk oletus leidis tõestust 2013. aastal. Nõrk hüpotees ontugeva hüpoteesi tagajärg. Vastupidine tagajärg ja tugev Goldbachi oletus on tänaseni tõestamata.
Kontrolli
N väikeste väärtuste korral saab Goldbachi probleemi (ja seega ka Goldbachi oletuse) kontrollida. Näiteks Nils Pipping kontrollis 1938. aastal hoolik alt hüpoteesi kuni n ≦ 105. Esimeste arvutite tulekuga arvutati välja palju rohkem n väärtusi.
Oliveira Silva teostas hajutatud arvutiotsingu, mis kinnitas 2013. aasta seisuga hüpoteesi n ≦ 4 × 1018 (ja topeltkontrollitud kuni 4 × 1017). Üks selle otsingu kanne on, et 3 325 581 707 333 960 528 on väikseim arv, millel ei ole Goldbachi jaotust algarvuga alla 9781.
Heuristika
Goldbachi oletuse tugeva vormi versioon on järgmine: kuna suurus kipub n kasvades lõpmatuseni, eeldame, et igal suurel paaristäisarvul on kahe algarvu summana rohkem kui üks esitus. Kuid tegelikult on selliseid esitusi palju. Kes lahendas Goldbachi probleemi? Kahjuks mitte keegi.
See heuristiline argument on tegelikult mõnevõrra ebatäpne, kuna eeldab, et m on statistiliselt sõltumatu n-st. Näiteks kui m on paaritu, siis on ka n - m paaritu ja kui m on paaris, siis n - m on paaris ja see on mittetriviaalne (keeruline) seos, sest peale arvu 2 on ainult paaritu numbrid võivad olla algarvud. Samamoodi, kui n jagub 3-ga ja m oli juba mõni muu algarvu kui 3, siis on ka n - m vastastikkualgarv 3-ga, seega on see tõenäolisem alt algarv, mitte koguarv. Seda tüüpi analüüsi hoolikam alt läbi viinud, tegid Hardy ja Littlewood 1923. aastal oma kuulsa Hardy-Littlewoodi lihtsa korteeži oletuse osana kogu teooria ül altoodud täpsustuse. Kuid see pole siiani aidanud probleemi lahendada.
Tugev hüpotees
Tugev Goldbachi oletus on palju keerulisem kui nõrk Goldbachi oletus. Shnirelman tõestas hiljem, et iga naturaalarvu, mis on suurem kui 1, saab kirjutada maksimaalselt C algarvude summana, kus C on efektiivselt arvutatav konstant. Paljud matemaatikud püüdsid seda lahendada, lugedes ja korrutades arve, pakkudes keerulisi valemeid jne. Kuid see neil ei õnnestunud, sest hüpotees on liiga keeruline. Ükski valem ei aidanud.
Aga Goldbachi probleemi tõestamise küsimusest tasub veidi eemalduda. Shnirelmani konstant on selle omadusega väikseim C-arv. Shnirelman ise sai C <800 000. Seda tulemust täiendasid hiljem paljud autorid, näiteks Olivier Ramaret, kes näitas 1995. aastal, et iga paarisarv n ≧ 4 on tegelikult maksimaalselt kuue algarvu summa. Kuulsaim tulemus, mis on praegu seotud Harald Helfgotti Goldbachi teooriaga.
Edasine arendus
Aastal 1924 eeldasid Hardy ja Littlewood G. R. H. näitas, et paarisarvude arv kuni X, mis rikub binaarset Goldbachi ülesannet, on palju väiksem kui väikese c.
Aastal 1973 Chen JingyunÜritasin seda probleemi lahendada, kuid see ei õnnestunud. Ta oli ka matemaatik, mistõttu meeldis talle väga mõistatuste lahendamine ja teoreemide tõestamine.
Aastal 1975 näitasid kaks Ameerika matemaatikut, et on olemas positiivsed konstandid c ja C – need, mille puhul N on piisav alt suur. Eelkõige on paarisarvude hulgal nulltihedus. Kõik see oli kasulik kolmepoolse Goldbachi probleemi lahendamisel, mis leiab aset tulevikus.
Aastal 1951 tõestas Linnik konstandi K olemasolu nii, et iga piisav alt suur paarisarv on ühe algarvu ja teise algarvu liitmise tulemus. Roger Heath-Brown ja Jan-Christoph Schlage-Puchta leidsid 2002. aastal, et K=13 töötab. See on väga huvitav kõigile inimestele, kellele meeldib üksteist liita, erinevaid numbreid liita ja vaadata, mis juhtub.
Goldbachi probleemi lahendus
Nagu paljude matemaatika tuntud oletuste puhul, on ka Goldbachi oletuste kohta mitmeid väidetavaid tõendeid, millest matemaatikaringkond ei aktsepteeri ühtegi.
Kuigi Goldbachi oletus viitab sellele, et iga ühest suurema positiivse täisarvu saab kirjutada maksimaalselt kolme algarvu summana, ei ole alati võimalik sellist summat leida ahne algoritmi abil, mis kasutab suurimat võimalikku algarvu igal sammul. Pillai jada jälgib arve, mis nõuavad oma ahneses esituses kõige rohkem algarvu. Seega lahendus Goldbachi probleemileendiselt küsimärgi all. Sellegipoolest laheneb see varem või hiljem suure tõenäosusega.
On olemas Goldbachi probleemiga sarnaseid teooriaid, mille puhul algarvud asendatakse teiste spetsiifiliste arvukomplektidega, näiteks ruutudega.
Christian Goldbach
Christian Goldbach oli saksa matemaatik, kes õppis ka õigusteadust. Teda mäletatakse täna Goldbachi oletuse tõttu.
Ta töötas terve elu matemaatikuna – talle meeldis väga numbreid liita, uusi valemeid välja mõelda. Ta oskas ka mitmeid keeli, millest igaühes pidas ta oma isiklikku päevikut. Need keeled olid saksa, prantsuse, itaalia ja vene keel. Samuti rääkis ta mõne allika järgi inglise ja ladina keelt. Ta oli oma eluajal tuntud kui üsna tuntud matemaatik. Goldbach oli ka Venemaaga üsna tihed alt seotud, sest tal oli palju vene kolleege ja kuningliku perekonna isiklik soosing.
Ta jätkas tööd 1725. aastal äsja avatud Peterburi Teaduste Akadeemias matemaatikaprofessori ja akadeemia ajaloolasena. 1728. aastal, kui Peeter II sai Venemaa tsaariks, sai Goldbachist tema mentor. 1742. aastal astus ta Venemaa välisministeeriumisse. See tähendab, et ta töötas tegelikult meie riigis. Tol ajal tuli Venemaale palju teadlasi, kirjanikke, filosoofe ja sõjaväelasi, sest Venemaa oli tollal võimaluste maa nagu Ameerika. Paljud on siin karjääri teinud. Ja meie kangelane pole erand.
Christian Goldbach oli mitmekeelne – ta kirjutas päevikut saksa ja ladina keeles, tema kirjadolid kirjutatud saksa, ladina, prantsuse ja itaalia keeles ning ametlike dokumentide jaoks kasutas ta vene, saksa ja ladina keelt.
Ta suri 20. novembril 1764 74-aastaselt Moskvas. Päev, mil Goldbachi probleem lahendatakse, on sobiv austusavaldus tema mälestusele.
Järeldus
Goldbach oli suurepärane matemaatik, kes andis meile selle teaduse ühe suurima saladuse. Kas see kunagi laheneb või mitte, pole teada. Teame vaid seda, et selle oletatav lahendus, nagu Fermat' teoreemi puhul, avab matemaatikale uusi perspektiive. Matemaatikud armastavad seda väga lahendada ja analüüsida. See on heuristilises vaates väga huvitav ja uudishimulik. Isegi matemaatikaõpilastele meeldib Goldbachi ülesannet lahendada. Kuidas muidu? Noori köidab ju pidev alt kõik helge, ambitsioonikas ja lahendamatu, sest raskusi ületades saab end maksma panna. Loodame, et varsti lahendavad selle probleemi noored, ambitsioonikad ja uudishimulikud pead.
