Pöörlemine on tüüpiline mehaaniline liikumine, mida sageli leidub looduses ja tehnoloogias. Igasugune pöörlemine tekib mingi välise jõu mõjul vaadeldavale süsteemile. See jõud tekitab nn pöördemomendi. Mis see on, millest see sõltub, seda arutatakse artiklis.
Pööramisprotsess
Enne pöördemomendi mõiste käsitlemist iseloomustame süsteeme, mille puhul seda mõistet saab rakendada. Pöörlemissüsteem eeldab, et selles on telg, mille ümber toimub ringliikumine või pöörlemine. Kaugust sellelt teljest süsteemi materiaalsete punktideni nimetatakse pöörderaadiuseks.
Kinemaatika seisukoh alt iseloomustab protsessi kolm nurgaväärtust:
- pöördenurk θ (mõõdetuna radiaanides);
- nurkkiirus ω (mõõdetuna radiaanides sekundis);
- nurkkiirendus α (mõõdetuna radiaanides ruutsekundi kohta).
Need kogused on omavahel seotud järgmiseltvõrdub:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Pöörlemise näideteks looduses on planeetide liikumine nende orbiitidel ja ümber nende telgede, tornaadode liikumine. Igapäevaelus ja tehnikas on kõnealune liikumine tüüpiline mootorimootorite, mutrivõtmete, ehituskraanade, uste avamise jms jaoks.
Jõumomendi määramine
Liigume nüüd edasi artikli tegeliku teema juurde. Füüsikalise definitsiooni järgi on jõumoment jõu rakendumisvektori vektorkorrutis pöörlemistelje suhtes ja jõu enda vektori korrutis. Vastava matemaatilise avaldise saab kirjutada järgmiselt:
M¯=[r¯F¯].
Siin on vektor r¯ suunatud pöördeteljelt jõu F¯ rakenduspunkti.
Selles pöördemomendi valemis M¯ saab jõudu F¯ suunata telje suuna suhtes mis tahes suunas. Teljega paralleelse jõu komponent ei tekita aga pöörlemist, kui telg on jäig alt fikseeritud. Enamiku füüsikaülesannete puhul tuleb arvestada jõududega F¯, mis asuvad pöörlemisteljega risti olevatel tasapindadel. Sellistel juhtudel saab pöördemomendi absoluutväärtuse määrata järgmise valemiga:
|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).
Kus β on nurk vektorite r¯ ja F¯ vahel.
Mis on finantsvõimendus?
Jõu hoob mängib olulist rolli jõumomendi suuruse määramisel. Et mõista, millest me räägime, kaalugejärgmine pilt.
Siin näitame mõnda varda pikkusega L, mis on fikseeritud pöördepunkti ühe otsaga. Teisele otsale mõjub jõud F, mis on suunatud teravnurga φ alla. Jõumomendi definitsiooni järgi võib kirjutada:
M=FLsin(180o-φ).
Nurk (180o-φ) ilmnes, kuna vektor L¯ on suunatud fikseeritud otsast vabasse otsa. Arvestades trigonomeetrilise siinusfunktsiooni perioodilisust, saame selle võrdsuse ümber kirjutada järgmisel kujul:
M=FLsin(φ).
Nüüd pöörame tähelepanu täisnurksele kolmnurgale, mis on ehitatud külgedele L, d ja F. Siinusfunktsiooni definitsiooni järgi annab hüpotenuusi L ja nurga φ siinuse korrutis jala d väärtuse. Siis jõuame võrdsuseni:
M=Fd.
Lineaarset väärtust d nimetatakse jõu hoovaks. See võrdub jõuvektori F¯ ja pöörlemistelje vahelise kaugusega. Nagu valemist näha, on momendi M arvutamisel mugav kasutada jõuhoova mõistet. Saadud valem ütleb, et mingi jõu F maksimaalne pöördemoment tekib ainult siis, kui raadiusvektori pikkus r¯ (L¯ ül altoodud joonisel) on võrdne jõuhoovaga, see tähendab, et r¯ ja F¯ on üksteisega risti.
M¯
suund
Eespool näidati, et pöördemoment on antud süsteemile iseloomulik vektor. Kuhu see vektor on suunatud? Vasta sellele küsimusele nron eriti raske, kui meeles pidada, et kahe vektori korrutise tulemuseks on kolmas vektor, mis asub algvektorite tasapinnaga risti asetseval teljel.
Jääb otsustada, kas jõumoment suunatakse nimetatud tasapinna suhtes üles või alla (lugeja poole või sellest eemale). Saate seda määrata kas sõõri reegli või parema käe reegli abil. Siin on mõlemad reeglid:
- Parema käe reegel. Kui asetate parema käe nii, et selle neli sõrme liiguvad vektori r¯ algusest selle lõpuni ja seejärel vektori F algusest selle lõpuni, siis näitab väljaulatuv pöial hetke suund M¯.
- Gimleti reegel. Kui kujuteldava gimleti pöörlemise suund langeb kokku süsteemi pöörlemissuunaga, siis ristmiku translatsiooniline liikumine näitab vektori M¯ suunda. Tuletage meelde, et see pöörleb ainult päripäeva.
Mõlemad reeglid on võrdsed, nii et igaüks saab kasutada seda, mis talle mugavam on.
Praktiliste ülesannete lahendamisel arvestatakse pöördemomendi erinevat suunda (üles-alla, vasakule-paremale) kasutades "+" või "-" märke. Tuleb meeles pidada, et momendi M¯ positiivseks suunaks loetakse seda, mis viib süsteemi vastupäeva pöörlemiseni. Seega, kui mingi jõud viib süsteemi pöörlemiseni kella suunas, siis on selle tekitatud hetk negatiivse väärtusega.
Füüsiline tähenduskogused M¯
Pöörlemisfüüsikas ja -mehaanikas määrab väärtus M¯ jõu või jõudude summa pöörlemisvõime. Kuna suuruse M¯ matemaatiline definitsioon ei sisalda mitte ainult jõudu, vaid ka selle rakendamise raadiuse vektorit, määrab see viimane suuresti ära märgitud pöörlemisvõime. Et oleks selgem, millisest võimest me räägime, on siin mõned näited:
- Iga inimene püüdis vähem alt korra elus ust avada, mitte käepidemest kinni hoides, vaid seda hingede lähedale surudes. Viimasel juhul peate soovitud tulemuse saavutamiseks tegema märkimisväärseid jõupingutusi.
- Mutri poldi küljest lahti keeramiseks kasutage spetsiaalseid mutrivõtmeid. Mida pikem on mutrivõti, seda lihtsam on mutrit lahti keerata.
- Jõuhoova olulisuse tunnetamiseks kutsume lugejaid tegema järgmist eksperimenti: võtke tool ja proovige seda ühe käega raskusel hoida, ühel juhul toetage käsi vastu keha, teine sooritage ülesanne sirgel käel. Viimane osutub paljudele üle jõu käivaks ülesandeks, kuigi tooli kaal on jäänud samaks.
Jõumomendi ühikud
Paar sõna tuleks öelda ka SI-ühikute kohta, milles pöördemomenti mõõdetakse. Selle jaoks kirjutatud valemi järgi mõõdetakse seda njuutonites meetri kohta (Nm). Kuid need ühikud mõõdavad tööd ja energiat ka füüsikas (1 Nm=1 džaul). Momendi M¯ džaul ei kehti, kuna töö on skalaarsuurus, samas kui M¯ on vektor.
Sellegipoolestjõumomendi ühikute kokkulangemine energia ühikutega ei ole juhuslik. Momendiks M tehtud töö süsteemi pöörlemisel arvutatakse järgmise valemiga:
A=Mθ.
Kui saame, et M-i saab väljendada ka džaulides radiaani kohta (J/rad).
Pöörlemise dünaamika
Artikli alguses panime kirja kinemaatilised omadused, mida kasutatakse pöörlemise liikumise kirjeldamiseks. Pöörlemisdünaamikas on neid omadusi kasutav põhivõrrand:
M=Iα.
Momendi M toime inertsmomendiga I süsteemile toob kaasa nurkkiirenduse α.
Seda valemit kasutatakse tehnoloogias pöörlemise nurksageduste määramiseks. Näiteks teades asünkroonmootori pöördemomenti, mis sõltub staatori poolis oleva voolu sagedusest ja muutuva magnetvälja suurusest, samuti teades pöörleva rootori inertsiaalseid omadusi, on võimalik kindlaks teha millisele pöörlemiskiirusele ω pöörleb mootori rootor teadaoleva aja t jooksul.
Näide probleemi lahendamisest
Kaaluta hooval, pikkusel 2 meetrit, on tugi keskel. Millise raskusega tuleks kanda kangi ühele otsale, et see oleks tasakaalus, kui toe teisel küljel, sellest 0,5 meetri kaugusel, on 10 kg mass?
Ilmselt tuleb kangi tasakaal siis, kui koormustest tekitatud jõudude momendid on absoluutväärtuses võrdsed. Jõud, mis loobhetk selles probleemis esindab keha kaalu. Jõuhoovad on võrdsed raskuste ja toe vahekaugustega. Kirjutame vastava võrdsuse:
M1=M2=>
m1gd1=m2gd 2 =>
P2=m2g=m1gd 1/d2.
Kaal P2 saame, kui asendame väärtused m1=10 kg probleemseisundist, d 1=0,5 m, d2=1 m. Vastuse annab kirja pandud võrrand: P2=49,05 njuutonit.
