Matrix on matemaatikas eriline objekt. See on kujutatud ristküliku- või ruudukujulise tabeli kujul, mis koosneb teatud arvust ridadest ja veergudest. Matemaatikas on väga erinevaid maatriksitüüpe, mis erinevad suuruse või sisu poolest. Selle ridade ja veergude numbreid nimetatakse järjestusteks. Neid objekte kasutatakse matemaatikas lineaarvõrrandisüsteemide kirjutamise korraldamiseks ja nende tulemuste mugavaks otsimiseks. Maatriksi abil võrrandeid lahendatakse Carl Gaussi, Gabriel Crameri meetodil, minooride ja algebraliste liitmiste ning mitmel muul viisil. Põhioskus maatriksitega töötamisel on viia need standardvormi. Kuid kõigepe alt selgitame välja, millist tüüpi maatrikseid matemaatikud eristavad.
Nulltüüp
Kõik seda tüüpi maatriksi komponendid on nullid. Samal ajal on selle ridade ja veergude arv täiesti erinev.
Ruudu tüüp
Seda tüüpi maatriksi veergude ja ridade arv on sama. Teisisõnu, see on "ruudukujuline" tabel. Selle veergude (või ridade) arvu nimetatakse järjestuseks. Erijuhtudeks on teist järku (maatriks 2x2), neljandat järku (4x4), kümnendat (10x10), seitsmeteistkümnendat (17x17) ja nii edasi maatriksi olemasolu.
Veeruvektor
See on üks lihtsamaid maatriksitüüpe, mis sisaldab ainult ühte veergu, mis sisaldab kolme arvväärtust. See esindab vabade terminite jada (muutujatest sõltumatud numbrid) lineaarvõrrandisüsteemides.
Reavektor
Vaadake sarnaselt eelmisele. Koosneb kolmest numbrilisest elemendist, mis on omakorda korraldatud ühele reale.
Diagona altüüp
Ainult põhidiagonaali (roheline esile tõstetud) komponendid võtavad arvväärtusi maatriksi diagonaali kujul. Põhidiagonaal algab vastav alt vasakpoolses ülanurgas oleva elemendiga ja lõpeb vastav alt all paremas nurgas oleva elemendiga. Ülejäänud komponendid on nullis. Diagona altüüp on vaid teatud järgu ruutmaatriks. Diagonaalvormi maatriksite hulgast võib välja tuua skalaarse. Kõik selle komponendid võtavad samad väärtused.
Identiteedimaatriks
Diagonaalmaatriksi alamliik. Kõik selle arvväärtused on ühikud. Kasutades üht tüüpi maatriksitabeleid, tehke selle põhiteisendused või leidke algsele maatriksile pöördvõrdeline maatriks.
Kanooniline tüüp
Maatriksi kanoonilist vormi peetakse üheks peamiseks; töötamiseks on sageli vaja sellele valamist. Kanoonilise maatriksi ridade ja veergude arv on erinev, see ei pruugi kuuluda ruudu tüüpi. See on mõnevõrra sarnane identiteedimaatriksiga, kuid selle puhul ei võta kõik põhidiagonaali komponendid väärtust ühega. Põhidiagonaalühikuid võib olla kaks või neli (kõik sõltub maatriksi pikkusest ja laiusest). Või ei pruugi ühikuid üldse olla (siis loetakse see nulliks). Ülejäänud kanoonilise tüübi komponendid, samuti diagonaali ja identiteedi elemendid on võrdsed nulliga.
Kolmnurga tüüp
Üks olulisemaid maatriksitüüpe, mida kasutatakse selle determinandi otsimisel ja lihtsate toimingute sooritamisel. Kolmnurkne tüüp pärineb diagona altüübist, seega on maatriks ka ruudukujuline. Maatriksi kolmnurkne vaade on jagatud ülemiseks kolmnurkseks ja alumiseks kolmnurgaks.
Ülemises kolmnurkmaatriksis (joonis 1) saavad ainult põhidiagonaalist kõrgemal asuvad elemendid väärtuse, mis on võrdne nulliga. Diagonaali enda ja selle all oleva maatriksi osa komponendid sisaldavad arvväärtusi.
Alumises kolmnurkmaatriksis (joonis 2), vastupidi, maatriksi alumises osas asuvad elemendid on võrdsed nulliga.
Step Matrix
Vaade on vajalik maatriksi auastme leidmiseks, aga ka elementaartehteteks nendega (koos kolmnurktüübiga). Sammumaatriksit nimetatakse nii, kuna see sisaldab iseloomulikke nullide "samme" (nagu on näidatud joonisel). Astmelises tüübis moodustatakse nullide diagonaal (mitte tingimata peamine) ja kõigil selle diagonaali all olevatel elementidel on ka väärtused, mis on võrdsed nulliga. Eeltingimus on järgmine: kui astmemaatriksis on null rida, siis ei sisalda ka ülejäänud read selle all arvväärtusi.
Seega oleme kaalunud kõige olulisemaid maatriksitüüpe, mida nendega töötamiseks vaja on. Nüüd tegeleme maatriksi vajalikule vormile teisendamise ülesandega.
Tühjenda kolmnurkseks
Kuidas viia maatriks kolmnurkseks? Kõige sagedamini peate ülesannetes teisendama maatriksi kolmnurkseks, et leida selle determinant, mida muidu nimetatakse determinandiks. Selle protseduuri läbiviimisel on äärmiselt oluline "säilitada" maatriksi põhidiagonaal, kuna kolmnurkse maatriksi determinant on täpselt selle põhidiagonaali komponentide korrutis. Tuletan teile meelde ka alternatiivseid meetodeid determinandi leidmiseks. Ruuttüüpi determinant leitakse spetsiaalsete valemite abil. Näiteks võite kasutada kolmnurga meetodit. Teiste maatriksite puhul kasutatakse rea, veeru või nende elementide kaupa jaotamise meetodit. Samuti saate rakendada maatriksi minoorsete ja algebraliste täiendite meetodit.
ÜksikasjadAnalüüsime maatriksi kolmnurkvormi viimise protsessi, kasutades mõne ülesande näiteid.
Ülesanne 1
Esitatava maatriksi determinant on vaja leida, kasutades selle kolmnurkvormi viimise meetodit.
Meile antud maatriks on kolmandat järku ruutmaatriks. Seetõttu peame selle kolmnurkseks teisendamiseks tühistama esimese veeru kaks komponenti ja teise veeru ühe komponendi.
Selle toomiseks kolmnurksele kujule alusta teisendust maatriksi alumisest vasakust nurgast – numbrist 6. Nulliks keeramiseks korruta esimene rida kolmega ja lahuta see viimasest reast.
Tähtis! Ülemine rida ei muutu, vaid jääb samaks nagu algses maatriksis. Te ei pea kirjutama stringi neli korda algsest stringist. Kuid stringide väärtused, mille komponendid tuleb nullida, muutuvad pidev alt.
Järgmiseks tegeleme järgmise väärtusega - esimese veeru teise rea elemendiga, number 8. Korrutage esimene rida neljaga ja lahutage see teisest reast. Saame nulli.
Jääb ainult viimane väärtus – teise veeru kolmanda rea element. See on number (-1). Nulliks muutmiseks lahutage esimesest reast teine.
Kontrollime:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Seega ülesande vastus on -22.
Ülesanne 2
Peame leidma maatriksi determinandi, viies selle kolmnurksele kujule.
Esitatud maatrikskuulub ruudu tüüpi ja on neljandat järku maatriks. See tähendab, et esimese veeru kolm komponenti, teise veeru kaks komponenti ja kolmanda veeru üks komponent tuleb nullida.
Alustame selle vähendamist vasakpoolses alumises nurgas asuvast elemendist - numbrist 4. Peame selle arvu nulliks keerama. Lihtsaim viis seda teha on korrutada ülemine rida neljaga ja seejärel lahutada see neljandast reast. Paneme kirja teisenduse esimese etapi tulemuse.
Niisiis, neljanda rea komponent on seatud nullile. Liigume edasi kolmanda rea esimese elemendi juurde, numbrini 3. Teeme sarnase toimingu. Korrutage esimene rida kolmega, lahutage see kolmandast reast ja kirjutage tulemus.
Järgmisena näeme teisel real numbrit 2. Kordame toimingut: korrutage ülemine rida kahega ja lahutage see teisest.
Meil õnnestus nullida kõik selle ruutmaatriksi esimese veeru komponendid, välja arvatud number 1, põhidiagonaali element, mis ei vaja teisendust. Nüüd on oluline säilitada saadud nullid, seega teostame teisendusi ridade, mitte veergudega. Liigume edasi esitatud maatriksi teise veeru juurde.
Alustame jälle alt – viimase rea teise veeru elemendist. See on number (-7). Kuid sel juhul on mugavam alustada numbriga (-1) - kolmanda rea teise veeru element. Nulliks muutmiseks lahutage teine rida kolmandast reast. Seejärel korrutame teise rea seitsmega ja lahutame selle neljandast. Teise veeru neljandas reas asuva elemendi asemel saime nulli. Liigume nüüd kolmanda juurdeveerus.
Selles veerus peame nulli pöörama ainult ühe numbri – 4. Seda on lihtne teha: lihts alt lisage viimasele reale kolmas ja vaadake vajalikku nulli.
Pärast kõiki teisendusi viisime pakutud maatriksi kolmnurksele kujule. Nüüd peate selle määraja leidmiseks korrutama ainult põhidiagonaali saadud elemendid. Saame: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Seetõttu on lahenduseks arv 160.
Nii, nüüd ei tee maatriksi kolmnurkvormi viimise küsimus teie jaoks raskeks.
Vähendus astmelisele vormile
Maatriksite elementaartehtetes on astmeline vorm vähem "nõutud" kui kolmnurkne. Seda kasutatakse kõige sagedamini maatriksi auastme (st selle nullist erineva ridade arvu) leidmiseks või lineaarselt sõltuvate ja sõltumatute ridade määramiseks. Astmeline maatriksvaade on aga mitmekülgsem, kuna see sobib mitte ainult ruudu tüübi jaoks, vaid ka kõigile teistele.
Maatriksi taandamiseks astmeliseks vormiks peate esm alt leidma selle determinandi. Selleks sobivad ül altoodud meetodid. Determinandi leidmise eesmärk on välja selgitada, kas seda on võimalik teisendada astmemaatriksiks. Kui determinant on suurem või väiksem kui null, võite ülesandega julgelt edasi minna. Kui see on võrdne nulliga, ei õnnestu maatriksit astmeliseks vormiks taandada. Sel juhul peate kontrollima, kas kirjes või maatriksiteisendustes pole vigu. Kui selliseid ebatäpsusi pole, ei saa ülesannet lahendada.
Vaatame, kuidasviige maatriks astmelisele kujule, kasutades mitme ülesande näiteid.
Ülesanne 1. Leidke antud maatriksitabeli auaste.
Meie ees on kolmandat järku ruutmaatriks (3x3). Teame, et auastme leidmiseks on vaja see taandada astmelisele kujule. Seetõttu peame esm alt leidma maatriksi determinandi. Kolmnurga meetodit kasutades: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. See on suurem kui null, mis tähendab, et maatriksi saab taandada astmeliseks. Alustame selle teisendusi.
Alustame kolmanda rea vasaku veeru elemendiga - numbriga 2. Korrutage ülemine rida kahega ja lahutage see kolmandast. Tänu sellele toimingule muudeti nii meile vajalik element kui ka number 4 - kolmanda rea teise veeru element - nulliks.
Järgmisena nullitakse esimese veeru teise rea element - arv 3. Selleks korrutage ülemine rida kolmega ja lahutage see teisest.
Näeme, et vähendamine andis kolmnurkse maatriksi. Meie puhul ei saa teisendust jätkata, kuna ülejäänud komponente ei saa nulliks muuta.
Seega järeldame, et selles maatriksis (või selle järjestuses) arvväärtusi sisaldavate ridade arv on 3. Vastus ülesandele: 3.
Ülesanne 2. Määrake selle maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade arv.
Peame leidma stringid, mida ei saa ühegi teisendusega tagasi pööratanullini. Tegelikult peame leidma nullist erinevate ridade arvu ehk kujutatava maatriksi auastme. Selleks lihtsustame seda.
Näeme maatriksit, mis ei kuulu ruudu tüüpi. Selle mõõtmed on 3x4. Alustame ka heidet alumise vasaku nurga elemendist – numbrist (-1).
Lisage esimene rida kolmandale. Järgmiseks lahutage sellest teine, et muuta number 5 nulliks.
Edasised teisendused on võimatud. Seega järeldame, et lineaarselt sõltumatute ridade arv selles ja ülesande vastus on 3.
Nüüd pole maatriksi viimine astmelisele kujule teie jaoks võimatu ülesanne.
Nende ülesannete näidetel analüüsisime maatriksi redutseerimist kolmnurkseks ja astmeliseks vormiks. Maatriksitabelite soovitud väärtuste tühistamiseks on mõnel juhul vaja näidata kujutlusvõimet ja nende veerge või ridu õigesti teisendada. Edu matemaatikas ja maatriksitega töötamisel!
