Bertrandi paradoks on tõenäosusteooria klassikalises tõlgendamises probleemiks. Joseph tutvustas seda oma töös Calcul des probabilités (1889) näitena, et tõenäosusi ei saa täpselt määratleda, kui mehhanism või meetod tekitab juhusliku muutuja.
Probleemi avaldus
Bertrandi paradoks on järgmine.
Esm alt vaatleme ringi sisse kirjutatud võrdkülgset kolmnurka. Sellisel juhul valitakse läbimõõt juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et see on pikem kui kolmnurga külg?
Bertrand esitas kolm argumenti, mis kõik näivad olevat õiged, kuid annavad erinevaid tulemusi.
Juhuslik lõpp-punkti meetod
Peate valima ringil kaks kohta ja joonistama neid ühendava kaare. Arvutamiseks võetakse arvesse Bertrandi tõenäosusparadoks. Tuleb ette kujutada, et kolmnurka pööratakse nii, et selle tipp langeb kokku kõõlu ühe otspunktiga. Tasub makstapane tähele, et kui teine osa on kahe koha vahelisel kaarel, on ring pikem kui kolmnurga külg. Kaare pikkus on üks kolmandik ringist, seega on tõenäosus, et juhuslik akord on pikem, 1/3.
Valimise meetod
On vaja valida ringi raadius ja punkt sellel. Pärast seda peate selle koha kaudu ehitama akordi, mis on risti läbimõõduga. Tõenäosusteooria Bertrandi vaadeldava paradoksi arvutamiseks tuleb ette kujutada, et kolmnurka pööratakse nii, et külg on raadiusega risti. Kui valitud punkt on ringi keskpunktile lähemal, on kõõl pikem kui jalg. Ja sel juhul poolitab kolmnurga külg raadiuse. Seetõttu on tõenäosus, et akord on pikem kui sisse kirjutatud kujundi külg, 1/2.
Juhuslikud akordid
Keskpunkti meetod. Ringil on vaja valida koht ja luua etteantud keskkohaga akord. Telg on pikem kui sissekirjutatud kolmnurga serv, kui valitud asukoht on kontsentrilises ringis raadiusega 1/2. Väiksema ringi pindala on neljandik suuremast joonisest. Seetõttu on juhusliku kõõlu tõenäosus pikem kui sissekirjutatud kolmnurga külg ja võrdub 1/4.
Nagu eespool kirjeldatud, erinevad valikumeetodid teatud akordidele, milleks on diameetrid, antud raskuse poolest. 1. meetodi puhul saab iga akordi valida täpselt ühel viisil, olenemata sellest, kas see on läbimõõt või mitte.
Meetodi 2 puhul saab iga sirget valida kahel viisil. Samas valitakse mis tahes muu akordainult üks võimalustest.
Meetodi 3 puhul on igal keskpunkti valikul üks parameeter. Välja arvatud ringi keskpunkt, mis on kõigi läbimõõtude keskpunkt. Neid probleeme saab vältida, kui "järjestada" kõik küsimused parameetrite välistamiseks, ilma et see mõjutaks sellest tulenevaid tõenäosusi.
Valitud meetodeid saab visualiseerida ka järgmiselt. Akord, mis ei ole läbimõõduga, tuvastatakse üheselt selle keskpunkti järgi. Kõik kolm ül altoodud valikumeetodit annavad keskmise jaotuse erinev alt. Ja valikud 1 ja 2 pakuvad kahte erinevat ebaühtlast partitsiooni, samas kui meetod 3 annab ühtlase jaotuse.
Bertrandi ülesande lahendamise klassikaline paradoks sõltub meetodist, mille abil akord valitakse "juhuslikult". Selgub, et kui juhusliku valiku meetod on eelnev alt määratud, on probleemil täpselt määratletud lahendus. Seda seetõttu, et igal üksikul meetodil on oma akordide jaotus. Bertrandi näidatud kolm otsust vastavad erinevatele valikuviisidele ja täiendava teabe puudumisel ei ole põhjust üht teisele eelistada. Sellest tulenev alt ei ole esitatud probleemil ühte lahendust.
Näide, kuidas muuta üldine vastus unikaalseks, on määrata, et kõõlu lõpp-punktid on võrdsete vahedega 0 ja c vahel, kus c on ringi ümbermõõt. See jaotus on sama, mis Bertrandi esimeses argumendis ja sellest tulenev kordumatu tõenäosus on 1/3.
See Bertrand Russelli paradoks ja muud klassika unikaalsusedvõimalikkuse tõlgendused õigustavad rangemaid sõnastusi. Kaasa arvatud tõenäosussagedus ja subjektivistlik Bayesi teooria.
Mis on Bertrandi paradoksi aluseks
Oma 1973. aasta artiklis "The Well-posed Problem" pakkus Edwin Jaynes oma ainulaadset lahendust. Ta märkis, et Bertrandi paradoks põhineb eeldusel, mis põhineb "maksimaalse teadmatuse" põhimõttel. See tähendab, et te ei tohiks kasutada teavet, mida probleemi avalduses pole. Jaynes tõi välja, et Bertrandi probleem ei määra ringi asukohta ega suurust. Ja väitis, et seetõttu peab iga kindel ja objektiivne otsus olema suuruse ja asukoha suhtes "ükskõikne".
illustratsiooni eesmärgil
Eeldades, et kõik akordid on paigutatud juhuslikult 2 cm pikkusele ringile, tuleb nüüd kaugelt kõrsi visata.
Siis tuleb võtta teine väiksema läbimõõduga ring (näiteks 1 sentimeeter), mis mahub suuremale figuurile. Siis peaks akordide jaotus sellel väiksemal ringil olema sama, mis maksimaalsel ringil. Kui ka teine kujund liigub esimese sees, ei tohiks tõenäosus põhimõtteliselt muutuda. On väga lihtne näha, et 3. meetodi puhul toimub järgmine muutus: akordide jaotus väikesel punasel ringil on kvalitatiivselt erinev jaotusest suurel ringil.
Sama juhtub 1. meetodi puhul. Kuigi seda on graafilises vaates raskem näha.
2. meetod on ainusmis osutub nii mõõtkavaks kui ka tõlkeinvariantiks.
Meetod number 3 näib olevat lihts alt laiendatav.
1. meetod ei ole kumbki.
Kuid Janes ei kasutanud invariante nende meetodite aktsepteerimiseks ega tagasilükkamiseks. See jätaks võimaluse, et on veel üks kirjeldamata meetod, mis sobiks selle mõistliku tähendusega aspektidega. Jaynes rakendas invariantsusi kirjeldavaid integraalvõrrandeid. Tõenäosuse jaotuse otseseks määramiseks. Tema ülesandes on integraalvõrranditel tõepoolest ainulaadne lahendus ja täpselt seda nimetati ülalpool teiseks juhusliku raadiuse meetodiks.
Alon Drory väidab 2015. aasta artiklis, et Jaynesi põhimõte võib anda ka kaks teist Bertrandi lahendust. Autor kinnitab, et ül altoodud muutumatuse omaduste matemaatiline realiseerimine ei ole ainulaadne, vaid sõltub põhilisest juhusliku valiku protseduurist, mida inimene otsustab kasutada. Ta näitab, et kõiki kolmest Bertrandi lahendusest saab saada rotatsiooni, skaleerimise ja translatsiooni invariantsi abil. Samal ajal järeldades, et Jaynesi põhimõte on samamoodi tõlgendatav kui ükskõiksuse moodus ise.
Füüsilised katsed
Meetod 2 on ainus lahendus, mis rahuldab teisendusinvariante, mis esinevad spetsiifilistes füsioloogilistes kontseptsioonides, nagu statistiline mehaanika ja gaasi struktuur. Ka kavandatavasJanesi katse visata kõrsi väikeselt ringilt.
Siiski saab kavandada ka muid praktilisi katseid, mis annavad vastuseid vastav alt muudele meetoditele. Näiteks esimese juhusliku lõpp-punkti meetodi lahenduseni jõudmiseks saate ala keskele lisada loenduri. Ja laske kahe sõltumatu pöörde tulemustel esile tuua akordi lõplikud kohad. Kolmanda meetodi lahenduseni jõudmiseks võib ringi katta näiteks melassiga ja märkida keskmiseks kõõluks esimene punkt, kuhu kärbes maandub. Mitmed mõtisklejad on koostanud uuringuid erinevate järelduste tegemiseks ja kinnitanud tulemusi empiiriliselt.
Viimased sündmused
Oma 2007. aasta artiklis "Bertrandi paradoks ja ükskõiksuse printsiip" väidab Nicholas Shackel, et enam kui sajand hiljem on probleem endiselt lahendamata. Ta lükkab edasi ükskõiksuse põhimõtte. Veelgi enam, Darrell R. Robottom näitab oma 2013. aasta artiklis "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical", et kõigil väljapakutud otsustel pole tema enda küsimusega mingit pistmist. Nii selgus, et paradoksi on palju keerulisem lahendada, kui seni arvati.
Shackel rõhutab, et seni on paljud teadlased ja teaduskauged inimesed püüdnud Bertrandi paradoksi lahendada. Sellest saab ikkagi üle kahe erineva lähenemise abil.
Need, milles arvestati mitteekvivalentsete ülesannete erinevust, ja need, mille puhul peeti ülesannet alati õigeks. Shackel tsiteerib Louisit oma raamatutesMarinoff (kui tüüpiline eristumisstrateegia eksponent) ja Edwin Jaynes (kui läbimõeldud teooria autor).
Samas usuvad Diederik Aerts ja Massimiliano Sassoli de Bianchi oma hiljutises töös Solving a Complex Problem, et Bertrandi paradoksi lahendamiseks tuleb ruume otsida segastrateegias. Nende autorite sõnul on esimene samm probleemi lahendamiseks, tuues selgelt välja randomiseeritava üksuse olemuse. Ja alles pärast seda, kui see on tehtud, võib kõiki probleeme pidada õigeks. Nii arvab Janes.
Seega saab selle lahendamiseks kasutada maksimaalse teadmatuse põhimõtet. Sel eesmärgil ja kuna probleem ei täpsusta, kuidas akordi valida, rakendatakse põhimõtet mitte erinevate võimaluste tasandil, vaid palju sügavamal.
Osade valik
See osa probleemist nõuab metakeskmise arvutamist kõigil võimalikel viisidel, mida autorid nimetavad universaalseks keskmiseks. Selle lahendamiseks kasutavad nad diskretiseerimismeetodit. Inspireeritud sellest, mida tehakse Wieneri protsesside tõenäosusseaduse määratlemisel. Nende tulemus on kooskõlas Jaynesi arvulise järeldusega, kuigi nende hästi püstitatud probleem erineb algse autori omast.
Majanduses ja kaubanduses kirjeldab selle looja Joseph Bertrandi järgi nime saanud Bertrandi paradoks olukorda, kus kaks mängijat (firmat) jõuavad Nashi tasakaaluni. Kui mõlemad ettevõtted määravad hinna, mis on võrdne piirkuluga(MS).
Bertrandi paradoks põhineb eeldusel. See seisneb selles, et sellistes mudelites nagu Cournot' konkurents on ettevõtete arvu suurenemine seotud hindade lähenemisega piirkuludele. Nendes alternatiivsetes mudelites on Bertrandi paradoks väikese arvu ettevõtete oligopolis, mis teenivad positiivset kasumit, nõudes omahinnast kõrgemaid hindu.
Alustuseks tasub eeldada, et kaks ettevõtet A ja B müüvad homogeenset toodet, millest kummalgi on samad tootmis- ja turustamiskulud. Sellest järeldub, et ostjad valivad toote ainult hinna alusel. See tähendab, et nõudlus on lõputult hinnaelastne. Ei A ega B ei sea teistest kõrgemat hinda, sest see tooks kaasa kogu Bertrandi paradoksi kokkuvarisemise. Üks turuosalistest annab oma konkurendile järele. Kui nad määravad sama hinna, jagavad ettevõtted kasumit.
Teisest küljest, kui mõni ettevõte alandab oma hinda kasvõi veidi, saab ta kogu turu ja oluliselt suurema tulu. Kuna A ja B teavad seda, püüavad nad kumbki konkurenti alla lüüa, kuni toode müüakse nulli majandusliku kasumiga.
Hiljutine töö on näidanud, et Bertrandi segastrateegia paradoksis võib tekkida täiendav tasakaal positiivse majandusliku kasumiga eeldusel, et monopoli summa on lõpmatu. Lõpliku kasumi puhul näidati, et positiivne tõus hinnakonkurentsis on segatasakaalu korral ja isegi üldisemal juhul võimatukorrelatsioonisüsteemid.
Tegelikult kohtab Bertrandi paradoksi majandusteaduses praktikas harva, sest päris tooteid eristatakse peaaegu alati muul viisil kui hind (näiteks sildi eest ülemaksmine). Ettevõtete suutlikkus toota ja turustada on piiratud. Seetõttu on kahel ettevõttel harva samad kulud.
Bertrandi tulemus on paradoksaalne, sest kui ettevõtete arv suureneb ühelt kahele, langeb hind monopolist konkurentsivõimeliseks ja jääb samale tasemele nende ettevõtete arvuga, mis seejärel suurenevad. See ei ole kuigi realistlik, sest tegelikkuses kipuvad turud, kus on vähe turujõuga ettevõtteid, küsima piirkulust kõrgemaid hindu. Empiiriline analüüs näitab, et enamik kahe konkurendiga tööstusharusid toodab positiivset kasumit.
Kaasaegses maailmas püüavad teadlased leida paradoksile lahendusi, mis oleksid paremini kooskõlas Cournot' konkurentsimudeliga. Kui kaks turul tegutsevat ettevõtet teenivad positiivset kasumit, mis jääb täiesti konkurentsivõimelise ja monopoli taseme vahele.
Mõned põhjused, miks Bertrandi paradoks ei ole otseselt majandusega seotud:
- Võimavuse piirangud. Mõnikord ei ole ettevõtetel piisav alt võimsust kogu nõudluse rahuldamiseks. Selle punkti tõstatas esmakordselt Francis Edgeworth ja sellest sündis Bertrand-Edgeworthi mudel.
- Täisarvulised hinnad. MC-st kõrgemad hinnad on välistatud, kuna üks ettevõte võib juhuslikult teisele alla lüüa.väike kogus. Kui hinnad on diskreetsed (näiteks peavad need võtma täisarvulisi väärtusi), peab üks ettevõte teist vähem alt ühe rubla võrra alla lööma. See tähendab, et väikese valuuta väärtus on kõrgem kui MC. Kui mõni teine firma määrab selle hinna kõrgemaks, saab teine firma seda alandada ja kogu turu haarata, Bertrandi paradoks seisneb just selles. See ei too talle tulu. See ettevõte eelistab jagada müüki 50/50 teise ettevõttega ja saada puht alt positiivset tulu.
- Toodete eristamine. Kui erinevate firmade tooted erinevad üksteisest, ei pruugi tarbijad täielikult üle minna madalama hinnaga toodetele.
- Dünaamiline konkurents. Korduv suhtlus või korduv hinnakonkurents võib viia väärtuse tasakaaluni.
- Rohkem kaupu suurema summa eest. See tuleneb korduvast suhtlusest. Kui üks ettevõte määrab oma hinna veidi kõrgemaks, saab ta ikkagi ligikaudu sama palju oste, kuid rohkem kasumit kauba kohta. Seetõttu suurendab teine ettevõte oma juurdehindlust jne (Ainult korduste puhul, muidu läheb dünaamika teises suunas).
Oligopol
Kui kaks ettevõtet suudavad hinnas kokku leppida, on nende pikaajalistes huvides lepingust kinni pidada: tulu väärtuse vähendamisest on alla kahekordse lepingu täitmisest saadava tulu ja kestab ainult seni, kuni teine ettevõte oma summat kärpib. omahinnad.
Teooriatõenäosused (nagu ka ülejäänud matemaatika) on tegelikult hiljutine leiutis. Ja areng pole olnud sujuv. Esimesed katsed formaliseerida tõenäosusarvutust tegi markii de Laplace, kes tegi ettepaneku defineerida seda mõistet tulemuseni viivate sündmuste arvu suhtena.
Sellel on muidugi mõtet ainult siis, kui kõigi võimalike sündmuste arv on piiratud. Ja pealegi on kõik sündmused võrdselt tõenäolised.
Seega tundus, et tol ajal ei olnud neil kontseptsioonidel kindlat alust. Katsed laiendada määratlust lõpmatu arvu sündmuste korral on toonud kaasa veelgi suuremaid raskusi. Bertrandi paradoks on üks selline avastus, mis on muutnud matemaatikuid kogu tõenäosuse kontseptsiooni suhtes ettevaatlikuks.
