Teema "aritmeetiline progressioon" õpitakse koolide algebra üldkursuses 9. klassis. See teema on oluline arvuridade matemaatika edasiseks süvendamiseks. Selles artiklis tutvume nii aritmeetilise progressiooni, selle erinevuse kui ka tüüpiliste ülesannetega, millega koolilapsed silmitsi võivad tulla.
Algebralise progressiooni mõiste
Arvuline progressioon on arvude jada, milles iga järgnev element on mõne matemaatilise seaduse rakendamisel saadud eelmisest. On kaks lihtsat progressiooni tüüpi: geomeetriline ja aritmeetiline, mida nimetatakse ka algebraliseks. Peatume sellel üksikasjalikum alt.
Kujutame ette mõnd ratsionaalset arvu, tähistame seda sümboliga a1, kus indeks näitab selle järjekorranumbrit vaadeldavas jadas. Lisame a1 mõne muu arvu, tähistame seda d. Siis teinejada elementi saab kajastada järgmiselt: a2=a1+d. Nüüd lisage uuesti d, saame: a3=a2+d. Seda matemaatilist toimingut jätkates saate terve rea arve, mida nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Nagu ül altoodust võib aru saada, tuleb selle jada n-nda elemendi leidmiseks kasutada valemit: a =a1+ (n -1)d. Tõepoolest, asendades avaldises n=1, saame a1=a1, kui n=2, siis valem eeldab: a2=a1 + 1d ja nii edasi.
Näiteks kui aritmeetilise progressiooni erinevus on 5 ja a1=1, siis see tähendab, et kõnealuse tüübi arvuseeria näeb välja selline: 1, 6, 11, 16, 21, … Nagu näete, on iga selle liige eelmisest 5 võrra suurem.
Aritmeetilise progressiooni erinevuse valemid
Eespool toodud vaadeldava arvujada definitsioonist järeldub, et selle määramiseks peate teadma kahte arvu: a1 ja d. Viimast nimetatakse selle progresseerumise erinevuseks. See määrab ainulaadselt kogu seeria käitumise. Tõepoolest, kui d on positiivne, siis arvuseeria kasvab pidev alt, vastupidi, negatiivse d korral kasvavad arvud reas ainult mooduli järgi, samas kui nende absoluutväärtus väheneb arvu n suurenemisega.
Mis vahe on aritmeetilisel progressioonil? Mõelge kahele peamisele valemile, mida selle väärtuse arvutamiseks kasutatakse:
- d=an+1-a , see valem tuleneb otseselt kõnealuse numbrirea definitsioonist.
- d=(-a1+a)/(n-1), see avaldis saadakse d väljendamisel antud valemist artikli eelmises lõigus. Pange tähele, et see avaldis muutub määramatuks (0/0), kui n=1. See on tingitud asjaolust, et selle erinevuse kindlakstegemiseks on vaja teada vähem alt 2 seeria elementi.
Neid kahte põhivalemit kasutatakse progresseerumise erinevuse leidmise probleemide lahendamiseks. Siiski on veel üks valem, mille kohta peate samuti teadma.
Esimeste elementide summa
Valemi, mida saab kasutada algebralise progressiooni mis tahes arvu liikmete summa määramiseks ajalooliste tõendite kohaselt, sai esmakordselt 18. sajandi matemaatika "prints" Carl Gauss. Saksa teadlane, kes käis külakooli algklassides, märkas, et naturaalarvude liitmiseks reas 1–100 tuleb esm alt summeerida esimene ja viimane element (saadud väärtus on võrdne eelviimase ja teise, eelviimase ja kolmanda elemendi summa ja nii edasi) ning seejärel tuleks see arv korrutada nende summade arvuga, st 50-ga.
Valemit, mis kajastab konkreetse näite puhul märgitud tulemust, saab üldistada suvaliseks juhtumiks. See näeb välja selline: S =n/2(a +a1). Pange tähele, et määratud väärtuse leidmiseks ei ole vaja teada erinevust d,kui on teada progressiooni kaks liiget (a ja a1).
Näide 1. Määrake erinevus, teades seeria a1 ja an
kahte tingimust
Näitame, kuidas rakendada artiklis ülalmainitud valemeid. Toome lihtsa näite: aritmeetilise progressiooni erinevus on teadmata, tuleb määrata, millega see võrdub, kui a13=-5, 6 ja a1 =-12, 1.
Kuna me teame arvjada kahe elemendi väärtusi ja üks neist on esimene number, saame erinevuse d määramiseks kasutada valemit nr 2. Meil on: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Avaldises kasutasime väärtust n=13, kuna selle seerianumbriga liige on teada.
Saadud erinevus näitab, et progresseerumine suureneb, hoolimata asjaolust, et ülesande tingimuses antud elementide väärtus on negatiivne. On näha, et a13>a1, kuigi |a13|<|a 1 |.
Näide 2. Progressiooni positiivsed liikmed näites 1
Kasutame eelmises näites saadud tulemust uue ülesande lahendamiseks. See on sõnastatud järgmiselt: millisest järjekorranumbrist alates hakkavad näites 1 olevad progressi elemendid võtma positiivseid väärtusi?
Nagu näidatud, progresseerumine, milles a1=-12, 1 ja d=0. 54167 kasvab, nii et mõnest arvust hakkavad numbrid võtma ainult positiivseid väärtused. Selle arvu n määramiseks tuleb lahendada lihtne võrratus, mis onmatemaatiliselt kirjutatud järgmiselt: a >0 või kirjutame vastava valemi abil võrratuse ümber: a1 + (n-1)d>0. On vaja leida tundmatu n, väljendame seda: n>-1a1/d + 1. Nüüd jääb üle asendada erinevuse ja esimese liikme teadaolevad väärtused järjestusest. Saame: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 või n>23, 338. Kuna n saab võtta ainult täisarvulisi väärtusi, järeldub saadud ebavõrdsusest, et kõik seeria liikmed, mis kui number on suurem kui 23, on positiivne.
Kontrollige oma vastust, kasutades ül altoodud valemit, et arvutada selle aritmeetilise progressiooni 23. ja 24. element. Meil on: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negatiivne arv); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (positiivne väärtus). Seega on saadud tulemus õige: alates n=24 on kõik arvurea liikmed suuremad kui null.
Näide 3. Mitu palki mahub?
Toome välja ühe kurioosse probleemi: raie käigus otsustati saetud palgid üksteise peale laduda nagu alloleval joonisel näha. Kui palju palke saab sel viisil laduda, teades, et kokku mahub 10 rida?
Sellise palkide virnastamise viisi puhul võib märgata üht huvitavat asja: iga järgmine rida sisaldab ühe logi vähem kui eelmine, see tähendab, et toimub algebraline progressioon, mille erinevus on d=1. Eeldades, et logide arv igas reas on selle progressi liige,ja arvestades ka seda, et a1=1 (ainult üks palk mahub päris ülaossa), leiame arvu a10. Meil on: a10=1 + 1(10-1)=10. See tähendab, et 10. reas, mis asub maapinnal, on 10 palki.
Selle "püramiidse" konstruktsiooni kogumahu saab saada Gaussi valemi abil. Saame: S10=10/2(10+1)=55 logi.
