Kolmnurk, ruut, kuusnurk – neid kujundeid teavad peaaegu kõik. Kuid mitte kõik ei tea, mis on tavaline hulknurk. Kuid need on kõik samad geomeetrilised kujundid. Tavaline hulknurk on selline, mille nurgad ja küljed on võrdsed. Selliseid arve on palju, kuid neil kõigil on samad omadused ja neile kehtivad samad valemid.
Tavaliste hulknurkade omadused
Iga korrapärase hulknurga, olgu see ruut või kaheksanurk, saab kirjutada ringi. Seda põhiomadust kasutatakse sageli figuuri koostamisel. Lisaks saab hulknurga sisse kirjutada ka ringi. Sel juhul on puutepunktide arv võrdne selle külgede arvuga. On oluline, et korrapärasesse hulknurka kirjutatud ringil oleks sellega ühine keskpunkt. Nendele geomeetrilistele kujunditele kehtivad samad teoreemid. Ükskõik milline poolkorrapärase n-nurga nurk on seotud selle ümber oleva ringi raadiusega R. Seetõttu saab selle arvutada järgmise valemi abil: a=2R ∙ sin180°. Ringi raadiuse kaudu ei leia mitte ainult hulknurga külgi, vaid ka ümbermõõt.
Kuidas leida tavalise hulknurga külgede arvu
Iga tavaline n-nurk koosneb teatud arvust üksteisega võrdsetest lõikudest, mis ühendamisel moodustavad suletud joone. Sel juhul on moodustatud figuuri kõik nurgad sama väärtusega. Hulknurgad jagunevad lihtsateks ja keerukateks. Esimesse rühma kuuluvad kolmnurk ja ruut. Komplekssetel hulknurkadel on rohkem külgi. Nende hulka kuuluvad ka tähekujulised kujundid. Keeruliste korrapäraste hulknurkade puhul leitakse küljed, kirjutades need ringikujuliseks. Anname tõestuse. Joonistage korrapärane hulknurk suvalise arvu külgedega n. Kirjeldage selle ümber olevat ringi. Määrake raadius R. Kujutage nüüd ette, et antud on mingi n-nurk. Kui selle nurkade punktid asetsevad ringil ja on üksteisega võrdsed, saab küljed leida valemiga: a=2R ∙ sinα: 2.
Sissekirjutatud korrapärase kolmnurga külgede arvu leidmine
Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk. Selle kohta kehtivad samad valemid, mis ruudu ja n-nurga puhul. Kolmnurka peetakse õigeks, kui selle küljed on sama pikkusega. Sel juhul on nurgad 60⁰. Koostage kolmnurk antud külje pikkusega a. Teades selle mediaani ja kõrgust,leiate selle külgede väärtuse. Selleks kasutame valemi a \u003d x: cosα leidmise meetodit, kus x on mediaan või kõrgus. Kuna kolmnurga kõik küljed on võrdsed, saame a=b=c. Siis on tõene järgmine väide a=b=c=x: cosα. Samamoodi leiate võrdhaarse kolmnurga külgede väärtused, kuid x on antud kõrgus. Samal ajal tuleks see projitseerida rangelt figuuri alusele. Seega, teades kõrgust x, leiame võrdhaarse kolmnurga külje a, kasutades valemit a \u003d b \u003d x: cosα. Pärast a väärtuse leidmist saate arvutada aluse c pikkuse. Rakendame Pythagorase teoreemi. Otsime poole aluse c väärtust: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Siis c=2xtanα. Siin on lihtne viis mis tahes sisse kirjutatud hulknurga külgede arvu leidmiseks.
Arvutage ringi sisse kirjutatud ruudu küljed
Nagu iga teinegi kirjutatud korrapärane hulknurk, on ka ruudul võrdsed küljed ja nurgad. Selle kohta kehtivad samad valemid, mis kolmnurga puhul. Diagonaali väärtuse abil saate arvutada ruudu küljed. Vaatleme seda meetodit üksikasjalikum alt. On teada, et diagonaal poolitab nurga. Algselt oli selle väärtus 90 kraadi. Seega pärast jagamist moodustub kaks täisnurkset kolmnurka. Nende aluse nurgad on 45 kraadi. Sellest lähtuv alt on ruudu mõlemad küljed võrdsed, see tähendab: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kus e on ruudu diagonaal või ruudu alus pärast jagamist tekkinud täisnurkne kolmnurk. See pole ainus viisruudu külgede leidmine. Kirjutame selle kujundi ringi. Teades selle ringi R raadiust, leiame ruudu külje. Arvutame selle järgmiselt a4=R√2. Regulaarsete hulknurkade raadiused arvutatakse valemiga R=a: 2tg (360o: 2n), kus a on külje pikkus.
Kuidas arvutada n-nurga ümbermõõt
N-nurga ümbermõõt on selle kõigi külgede summa. Seda on lihtne arvutada. Selleks peate teadma kõigi külgede väärtusi. Teatud tüüpi hulknurkade jaoks on olemas spetsiaalsed valemid. Need võimaldavad teil perimeetrit palju kiiremini leida. On teada, et igal korrapärasel hulknurgal on võrdsed küljed. Seetõttu piisab selle perimeetri arvutamiseks vähem alt ühe neist teadmisest. Valem sõltub joonise külgede arvust. Üldiselt näeb see välja järgmine: P \u003d an, kus a on külje väärtus ja n on nurkade arv. Näiteks tavalise kaheksanurga ümbermõõdu leidmiseks, mille külg on 3 cm, peate selle korrutama 8-ga, see tähendab, et P=3 ∙ 8=24 cm. Kuusnurga puhul, mille külg on 5 cm, arvutame järgmiselt: P=5 ∙ 6=30 cm. Ja nii iga hulknurga puhul.
Rööpküliku, ruudu ja rombi perimeetri leidmine
Sõltuv alt sellest, mitu külge on tavalisel hulknurgal, arvutatakse selle ümbermõõt. See muudab ülesande palju lihtsamaks. Tõepoolest, erinev alt teistest kujunditest ei ole sel juhul vaja otsida selle kõiki külgi, piisab ühest. Samal põhimõttel leiame perimeetri atnelinurgad, see tähendab ruut ja romb. Hoolimata asjaolust, et tegemist on erinevate arvudega, on nende valem sama P=4a, kus a on külg. Võtame näite. Kui rombi või ruudu külg on 6 cm, siis leiame perimeetri järgmiselt: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Rööpkülikul on ainult vastasküljed. Seetõttu leitakse selle ümbermõõt erineva meetodi abil. Seega peame teadma joonise pikkust a ja laiust b. Seejärel rakendame valemit P=(a + c) ∙ 2. Rööpkülikut, mille kõik küljed ja nendevahelised nurgad on võrdsed, nimetatakse rombiks.
Võrdkülgse ja täisnurkse kolmnurga perimeetri leidmine
Regulaarse võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt on leitav valemiga P=3a, kus a on külje pikkus. Kui see pole teada, saab selle leida mediaani kaudu. Täisnurksel kolmnurgal on ainult kaks külge võrdsed. Aluse saab leida Pythagorase teoreemi kaudu. Pärast kõigi kolme külje väärtuste selgumist arvutame perimeetri. Selle saab leida, rakendades valemit P \u003d a + b + c, kus a ja b on võrdsed küljed ning c on alus. Tuletame meelde, et võrdhaarses kolmnurgas a \u003d b \u003d a, seega a + b \u003d 2a, siis P \u003d 2a + c. Näiteks võrdhaarse kolmnurga külg on 4 cm, leidke selle alus ja ümbermõõt. Hüpotenuusi väärtuse arvutame Pythagorase teoreemi abil c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Nüüd arvutame ümbermõõdu Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Kuidas leida tavalise hulknurga nurki
Tavaline hulknurkesineb meie elus iga päev, näiteks tavaline ruut, kolmnurk, kaheksanurk. Näib, et pole midagi lihtsamat kui selle kuju ise üles ehitada. Kuid see on ainult esmapilgul. Mis tahes n-nurga konstrueerimiseks peate teadma selle nurkade väärtust. Aga kuidas neid leida? Isegi antiikaja teadlased püüdsid ehitada korrapäraseid hulknurki. Nad arvasid, et mahuvad need ringidesse. Ja siis märgiti sellele vajalikud punktid, mis olid ühendatud sirgjoontega. Lihtsate kujundite puhul on ehitusprobleem lahendatud. Valemid ja teoreemid on saadud. Näiteks tegeles Euclid oma kuulsas teoses "Algus" 3-, 4-, 5-, 6- ja 15-goni ülesannete lahendamisega. Ta leidis viise nende konstrueerimiseks ja nurkade leidmiseks. Vaatame, kuidas seda 15-gonilise jaoks teha. Kõigepe alt peate arvutama selle sisenurkade summa. On vaja kasutada valemit S=180⁰(n-2). Seega antakse meile 15-nurkne, mis tähendab, et arv n on 15. Asendame meile teadaolevad andmed valemiga ja saame S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Oleme leidnud 15-goonilise sisenurkade summa. Nüüd peame saama neist igaühe väärtuse. Nurki on kokku 15. Teeme arvutuse 2340⁰: 15=156⁰. See tähendab, et iga sisenurk on 156⁰, nüüd saate joonlaua ja sirkli abil ehitada tavalise 15-gonilise. Aga kuidas on lood keerukamate n-nurkadega? Teadlased on sajandeid võidelnud selle probleemi lahendamise nimel. Carl Friedrich Gauss leidis selle alles 18. sajandil. Ta suutis ehitada 65537-goni. Sellest ajast alates loetakse probleem ametlikult täielikult lahendatuks.
N-nurkade nurkade arvutamineradiaanides
Muidugi on hulknurkade nurkade leidmiseks mitu võimalust. Enamasti arvutatakse need kraadides. Kuid võite neid väljendada ka radiaanides. Kuidas seda teha? On vaja toimida järgmiselt. Esiteks selgitame välja tavalise hulknurga külgede arvu, seejärel lahutame sellest 2. Seega saame väärtuse: n - 2. Korrutage leitud erinevus arvuga n (“pi”=3, 14). Nüüd jääb üle vaid saadud korrutis jagada n-nurga nurkade arvuga. Mõelge nendele arvutustele sama viieteistkümne külje näitel. Seega on arv n 15. Rakendage valemit S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. See muidugi ei ole ainus viis nurga arvutamiseks radiaanides. Nurga suuruse kraadides saate lihts alt jagada arvuga 57, 3. Lõppude lõpuks on see mitu kraadi samaväärne ühe radiaaniga.
Arvutage nurkade väärtus kraadides
Lisaks kraadidele ja radiaanidele võite proovida leida tavalise hulknurga nurkade väärtust gradides. Seda tehakse järgmisel viisil. Lahutage nurkade koguarvust 2, jagage saadud vahe tavalise hulknurga külgede arvuga. Leitud tulemuse korrutame 200-ga. Muide, sellist nurkade mõõtühikut nagu raheterad praktiliselt ei kasutata.
N-nurkade välisnurkade arvutamine
Iga tavalise hulknurga jaoks, välja arvatud sisemine, saate arvutada ka välisnurga. Selle väärtus leitakse samamoodi nagu teiste arvude puhul. Nii et tavalise hulknurga välisnurga leidmiseks on vajateavad sisemise tähendust. Lisaks teame, et nende kahe nurga summa on alati 180 kraadi. Seetõttu teeme arvutused järgmiselt: 180⁰ miinus sisenurga väärtus. Leiame erinevuse. See võrdub sellega külgneva nurga väärtusega. Näiteks ruudu sisenurk on 90 kraadi, nii et välisnurk on 180⁰ - 90⁰=90⁰. Nagu näeme, pole seda raske leida. Välisnurga väärtus võib olla vastav alt +180⁰ kuni -180⁰.
