Need geomeetrilised kujundid ümbritsevad meid kõikjal. Kumerad hulknurgad võivad olla looduslikud, näiteks kärgstruktuuriga, või tehislikud (tehislikud). Neid kujundeid kasutatakse erinevat tüüpi katete tootmisel, maalimisel, arhitektuuris, dekoratsioonides jne. Kumeratel hulknurkadel on omadus, et kõik nende punktid asuvad samal pool sirgjoont, mis läbib selle geomeetrilise kujundi kõrvuti asetsevate tippude paari. On ka teisi määratlusi. Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui see asub ühel pooltasandil mis tahes sirgjoone suhtes, mis sisaldab selle ühte külge.
Kumerad hulknurgad
Elementaargeomeetria käigus arvestatakse alati ainult lihtsaid hulknurki. Et mõista selle kõiki omadusigeomeetrilisi kujundeid, on vaja mõista nende olemust. Alustuseks tuleks mõista, et mis tahes rida nimetatakse suletud, mille otsad langevad kokku. Lisaks võib selle moodustatud kujundil olla mitmesuguseid konfiguratsioone. Hulknurk on lihtne suletud katkendjoon, mille naaberlülid ei asu samal sirgel. Selle lingid ja tipud on vastav alt selle geomeetrilise kujundi küljed ja tipud. Lihtsal polüliinil ei tohi olla iselõikusi.
Hulknurga tippe nimetatakse külgnevateks, kui need tähistavad selle ühe külje lõppu. Geomeetrilist kujundit, millel on n-s tippude arv ja seega ka n-s arv külgi, nimetatakse n-nurgaks. Katkendjoont ennast nimetatakse selle geomeetrilise kujundi piiriks või kontuuriks. Hulknurkset tasapinda või tasapinnalist hulknurka nimetatakse iga sellega piiratud tasandi otsaosaks. Selle geomeetrilise kujundi külgnevaid külgi nimetatakse ühest tipust lähtuva katkendjoone segmentideks. Need ei ole kõrvuti, kui need pärinevad hulknurga erinevatest tippudest.
Muud kumera hulknurkade määratlused
Elementaargeomeetrias on veel mitu samaväärset definitsiooni, mis näitavad, millist hulknurka nimetatakse kumeraks. Kõik need väited on võrdselt tõesed. Hulknurk loetakse kumeraks, kui:
• iga segment, mis ühendab selle mis tahes kahte punkti, asub täielikult selles;
• selle seeskõik selle diagonaalid asuvad;
• ükski sisenurk ei ületa 180°.
Hulknurk jagab tasapinna alati kaheks osaks. Üks neist on piiratud (seda saab ümbritseda ringiga) ja teine on piiramatu. Esimest nimetatakse sisemiseks piirkonnaks ja teist nimetatakse selle geomeetrilise kujundi välimiseks piirkonnaks. See hulknurk on mitme pooltasandi ristumiskoht (teisisõnu ühine komponent). Veelgi enam, iga segment, mille otsad on hulknurgale kuuluvates punktides, kuuluvad sellele täielikult.
Kumerate hulknurkade variatsioonid
Kumera hulknurga määratlus ei näita, et neid on palju. Ja igal neist on teatud kriteeriumid. Seega nimetatakse kumeraid hulknurki, mille sisenurk on 180°, nõrg alt kumerateks. Kumerat geomeetrilist kujundit, millel on kolm tippu, nimetatakse kolmnurgaks, neljaks - nelinurgaks, viieks - viisnurgaks jne. Iga kumer n-nurk vastab järgmisele olulisele nõudele: n peab olema võrdne 3-ga või suurem. kolmnurgad on kumerad. Seda tüüpi geomeetrilist kujundit, mille kõik tipud asuvad samal ringil, nimetatakse ringi sissekirjutatuks. Kumerat hulknurka nimetatakse piiritletuks, kui kõik selle ringi lähedal olevad küljed puudutavad seda. Kaht hulknurka peetakse võrdseks ainult siis, kui neid saab superpositsiooni abil katta. Tasapinnalist hulknurka nimetatakse hulknurktasandiks.(tasapinna osa), mis on piiratud selle geomeetrilise kujundiga.
Regulaarsed kumerad hulknurgad
Regulaarsed hulknurgad on võrdsete nurkade ja külgedega geomeetrilised kujundid. Nende sees on punkt 0, mis on igast selle tipust samal kaugusel. Seda nimetatakse selle geomeetrilise kujundi keskpunktiks. Lõike, mis ühendavad keskpunkti selle geomeetrilise kujundi tippudega, nimetatakse apoteemideks ja neid, mis ühendavad punkti 0 külgedega, nimetatakse raadiuseks.
Regulaarne nelinurk on ruut. Võrdkülgset kolmnurka nimetatakse võrdkülgseks kolmnurgaks. Selliste kujundite puhul kehtib järgmine reegel: kumera hulknurga iga nurk on 180°(n-2)/n, kus n on selle kumera geomeetrilise kujundi tippude arv.
Iga korrapärase hulknurga pindala määratakse järgmise valemiga:
S=ph, kus p on pool antud hulknurga kõikide külgede summast ja h on apoteemi pikkus.
Kumerate hulknurkade omadused
Kumeratel hulknurkadel on teatud omadused. Niisiis, segment, mis ühendab sellise geomeetrilise kujundi mis tahes kahte punkti, asub selles tingimata. Tõestus:
Oletame, et P on antud kumer hulknurk. Võtame 2 suvalist punkti, näiteks A, B, mis kuuluvad P-sse. Kumera hulknurga olemasoleva definitsiooni järgi asuvad need punktid samal pool joont, mis sisaldab P suvalist külge. Seetõttu on ka AB-l see omadus ja see sisaldub P-s. Kumera hulknurga saab alati jagada mitmeks kolmnurgaks absoluutselt kõigi selle ühest tipust tõmmatud diagonaalidega.
Kumerate geomeetriliste kujundite nurgad
Kumera hulknurga nurgad on nurgad, mille moodustavad selle küljed. Sisenurgad asuvad antud geomeetrilise kujundi sisemises piirkonnas. Nurka, mille moodustavad selle ühes tipus koonduvad küljed, nimetatakse kumera hulknurga nurgaks. Antud geomeetrilise kujundi sisenurkadega külgnevaid nurki nimetatakse välisteks. Kumera hulknurga iga nurk selle sees on:
180° – x, kus x on välisnurga väärtus. See lihtne valem töötab kõigi seda tüüpi geomeetriliste kujundite puhul.
Üldiselt kehtib välisnurkade puhul järgmine reegel: kumera hulknurga iga nurk võrdub 180° ja sisenurga väärtuse vahega. Selle väärtused võivad olla vahemikus -180° kuni 180°. Seega, kui sisenurk on 120°, on välisnurk 60°.
Kumerate hulknurkade nurkade summa
Kumera hulknurga sisenurkade summa määratakse järgmise valemiga:
180°(n-2), kus n on n-nurga tippude arv.
Kumera hulknurga nurkade summat on üsna lihtne arvutada. Mõelge mis tahes sellisele geomeetrilisele joonisele. Kumera hulknurga sees olevate nurkade summa määramiseks on vajalikühendada üks selle tippudest teiste tippudega. Selle tegevuse tulemusena saadakse (n-2) kolmnurka. Teame, et iga kolmnurga nurkade summa on alati 180°. Kuna nende arv mis tahes hulknurgal on (n-2), on sellise kujundi sisenurkade summa 180° x (n-2).
Kumera hulknurga, nimelt kahe sisemise ja külgneva välisnurga nurkade summa antud kumera geomeetrilise kujundi korral on alati võrdne 180°-ga. Selle põhjal saate määrata selle kõigi nurkade summa:
180 x n.
Sisenurkade summa on 180°(n-2). Selle põhjal määratakse selle joonise kõigi välisnurkade summa valemiga:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Iga kumera hulknurga välisnurkade summa on alati 360° (sõltumata külgede arvust).
Kumera hulknurga välisnurka esindab üldiselt erinevus 180° ja sisenurga väärtuse vahel.
Muud kumera hulknurga omadused
Lisaks nende geomeetriliste kujundite põhiomadustele on neil ka teisi, mis tekivad nendega manipuleerimisel. Seega võib mis tahes hulknurga jagada mitmeks kumeraks n-nurgaks. Selleks on vaja jätkata iga selle külge ja lõigata see geomeetriline joonis mööda neid sirgeid jooni. Samuti on võimalik mistahes hulknurka jagada mitmeks kumeraks osaks nii, et iga tüki tipud langevad kokku kõigi selle tippudega. Sellisest geomeetrilisest kujundist saab kolmnurgad teha väga lihts alt, joonistades kõikdiagonaalid ühest tipust. Seega saab iga hulknurga lõpuks jagada teatud arvuks kolmnurkadeks, mis osutub väga kasulikuks mitmesuguste selliste geomeetriliste kujunditega seotud probleemide lahendamisel.
Kumera hulknurga ümbermõõt
Katkejoone lõigud, mida nimetatakse hulknurga külgedeks, tähistatakse kõige sagedamini järgmiste tähtedega: ab, bc, cd, de, ea. Need on geomeetrilise kujundi küljed, mille tipud on a, b, c, d, e. Selle kumera hulknurga kõigi külgede pikkuste summat nimetatakse selle ümbermõõduks.
Polügooni ümbermõõt
Kumeraid hulknurki saab sisse kirjutada ja piiritleda. Ringi, mis puudutab selle geomeetrilise kujundi kõiki külgi, nimetatakse sellesse sisse kirjutatud. Sellist hulknurka nimetatakse piiritletuks. Hulknurgale kantud ringi keskpunkt on antud geomeetrilise kujundi kõigi nurkade poolitajate lõikepunkt. Sellise hulknurga pindala on:
S=pr, kus r on sisse kirjutatud ringi raadius ja p on antud hulknurga poolperimeeter.
Ringi, mis sisaldab hulknurga tippe, nimetatakse selle ümber piiritletuks. Veelgi enam, seda kumerat geomeetrilist kujundit nimetatakse sisse kirjutatud. Ringi keskpunkt, mis on sellise hulknurga ümber piiratud, on kõigi külgede nn risti poolitajate lõikepunkt.
Kumerate geomeetriliste kujundite diagonaalid
Kumera hulknurga diagonaalid on segmendid, misühendada mittekülgnevad tipud. Igaüks neist asub selle geomeetrilise kujundi sees. Sellise n-nurga diagonaalide arv määratakse järgmise valemiga:
N=n (n – 3)/ 2.
Kumera hulknurga diagonaalide arv mängib elementaargeomeetrias olulist rolli. Kolmnurkade arv (K), milleks on võimalik iga kumer hulknurk jagada, arvutatakse järgmise valemiga:
K=n – 2.
Kumera hulknurga diagonaalide arv sõltub alati selle tippude arvust.
Kumera hulknurga lagunemine
Mõnel juhul on geomeetriliste ülesannete lahendamiseks vaja kumer hulknurk jagada mitmeks mittelõikuvate diagonaalidega kolmnurgaks. Selle probleemi saab lahendada konkreetse valemi tuletamisega.
Ülesande definitsioon: nimetame kumera n-nurga õige jaotuse mitmeks kolmnurgaks diagonaalidega, mis lõikuvad ainult selle geomeetrilise kujundi tippudes.
Lahendus: oletame, et Р1, Р2, Р3 …, Pn on selle n-nurga tipud. Arv Xn on selle partitsioonide arv. Mõelgem hoolik alt geomeetrilise kujundi Pi Pn saadud diagonaalile. Mistahes tavalistes partitsioonides kuulub P1 Pn teatud kolmnurka P1 Pi Pn, millel on 1<i<n. Sellest lähtudes ja eeldades, et i=2, 3, 4 …, n-1, saame (n-2) nende partitsioonide rühmad, mis hõlmavad kõiki võimalikke erijuhtumeid.
Olgu i=2 üks tavaliste partitsioonide rühm, mis sisaldab alati diagonaali Р2 Pn. Sellesse sisestatavate partitsioonide arv on sama kui partitsioonide arv(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Teisisõnu, see on võrdne Xn-1.
Kui i=3, siis see teine vaheseinte rühm sisaldab alati diagonaale Р3 Р1 ja Р3 Pn. Sel juhul langeb selles rühmas sisalduvate tavaliste partitsioonide arv kokku (n-2)-goni P3 P4 … Pn partitsioonide arvuga. Teisisõnu võrdub see Xn-2.
Olgu i=4, siis kolmnurkade hulgast sisaldab tavaline vahesein kindlasti kolmnurka P1 P4 Pn, millega külgneb nelinurk P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn. Sellise nelinurga korrapäraste partitsioonide arv on X4 ja (n-3)-nurga vaheseinte arv on Xn-3. Eelneva põhjal võime öelda, et selles rühmas sisalduvate õigete partitsioonide koguarv on Xn-3 X4. Teised rühmad, mille i=4, 5, 6, 7… sisaldavad Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … tavalisi partitsioone.
Olgu i=n-2, siis on õigete jaotuste arv selles rühmas sama, mis jaotuste arv rühmas, kus i=2 (teisisõnu võrdub Xn-1).
Kuna X1=X2=0, X3=1, X4=2…, siis on kumera hulknurga kõigi partitsioonide arv:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Näide:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Õigete vaheseinte arv, mis lõikuvad ühe diagonaali sees
Erijuhtude kontrollimisel võib jõuda sellenieeldusel, et kumerate n-nurkade diagonaalide arv on võrdne selle joonise kõigi partitsioonide korrutisega (n-3).
Selle eelduse tõestus: kujutage ette, et P1n=Xn(n-3), siis saab iga n-nurga jagada (n-2)-kolmnurkadeks. Lisaks võib neist koosneda (n-3)-nelinurk. Koos sellega on igal nelinurgal diagonaal. Kuna sellel kumeral geomeetrilisel joonisel saab tõmmata kaks diagonaali, tähendab see, et mis tahes (n-3)-nelinurka saab joonestada täiendavaid (n-3) diagonaale. Selle põhjal võime järeldada, et igas tavalises partitsioonis on võimalik joonistada (n-3)-diagonaali, mis vastavad selle ülesande tingimustele.
Kumerate hulknurkade pindala
Sageli on elementaarse geomeetria erinevate ülesannete lahendamisel vaja määrata kumera hulknurga pindala. Oletame, et (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n on hulknurga, millel ei ole iselõikepunkte, kõigi naabertippude koordinaatide jada. Sel juhul arvutatakse selle pindala järgmise valemi abil:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), kus (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
