Maclaurin seeria ja mõnede funktsioonide laiendamine

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Kõrgema matemaatika õpilased peaksid teadma, et antud jada konvergentsivahemikku kuuluvate mõne astmerea summa osutub pidevaks ja piiramatu arv kordi diferentseeritud funktsiooniks. Tekib küsimus: kas on võimalik väita, et antud suvaline funktsioon f(x) on mõne astmerea summa? See tähendab, millistel tingimustel saab funktsiooni f(x) esitada astmereaga? Selle küsimuse tähtsus seisneb selles, et funktsiooni f(x) on võimalik ligikaudu asendada astmerea paari esimese liikme summaga, st polünoomiga. Funktsiooni selline asendamine üsna lihtsa avaldisega - polünoomiga - on mugav ka mõne matemaatilise analüüsi ülesande lahendamisel, nimelt: integraalide lahendamisel, diferentsiaalvõrrandite arvutamisel jne.

On tõestatud, et mõne funktsiooni f(х) puhul, kus saab naabruses arvutada tuletisi kuni (n+1) järguni, sealhulgas viimane (α _{- R; x}0 _{+ R) mingi punkti x=α valem kehtib:}

See valem on oma nime saanud kuulsa teadlase Brook Taylori järgi. Sarja, mis on saadud eelmisest, nimetatakse Maclaurini seeriaks:

Reegel, mis võimaldab Maclaurini sarjas laiendada:

1. Määrake esimese, teise, kolmanda… järjekorra tuletised.
2. Arvutage välja, millega on x=0 tuletised võrdsed.
3. Salvestage selle funktsiooni jaoks Maclaurini seeria ja seejärel määrake selle konvergentsi intervall.
4. Määrake intervall (-R;R), kus Maclaurini valemi jääk

R (x) -> 0 n jaoks -> lõpmatus. Kui see on olemas, peab selles sisalduv funktsioon f(x) ühtima Maclaurini seeria summaga.

Nüüd kaaluge üksikute funktsioonide jaoks Maclaurini seeriat.

1. Niisiis, esimene on f(x)=e^x. Loomulikult on sellisel funktsioonil vastav alt oma omadustele erinevat järku tuletisi ja f^(k)(x)=e^x, kus k on kõik naturaalarvud. Asendame x=0. Saame f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{näeks välja selline:}

2. Maclaurini seeria funktsiooni f(x)=sin x jaoks. Selgitage kohe, et kõigi tundmatute funktsioonil on tuletised, peale f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), kus k on võrdne mis tahes naturaalarvuga. See tähendab, et pärast lihtsate arvutuste tegemist võime jõuda järeldusele, et jada f(x)=sin x näeb välja järgmine:}

3. Nüüd proovime vaadelda funktsiooni f(x)=cos x. Ta on kõige tundmatu jaoksomab suvalises järjekorras tuletisi ja |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Pärast mõningaid arvutusi saame jällegi, et seeria f(x)=cos x näeb välja järgmine:

Niisiis panime kirja kõige olulisemad funktsioonid, mida saab Maclaurini seerias laiendada, kuid mõne funktsiooni puhul on neid täiendatud Taylori seeriaga. Nüüd loetleme need. Samuti väärib märkimist, et Taylori ja Maclaurini seeriad on oluline osa kõrgema matemaatika seeriate lahendamise praktikast. Niisiis, Taylori sari.

1. Esimene on jada f-ii jaoks f(x)=ln(1+x). Nagu eelmistes näidetes, saame f (x)=ln (1 + x) korral lisada seeria, kasutades Maclaurini seeria üldkuju. selle funktsiooni jaoks saab aga Maclaurini seeriat saada palju lihtsam alt. Pärast teatud geomeetrilise jada integreerimist saame selle valimi jaoks rea f(x)=ln(1+x):

2. Ja teine, mis on meie artiklis lõplik, on seeria f (x) u003d arctg x jaoks. Intervalli [-1;1] kuuluva x puhul kehtib laiendus:

See on kõik. Selles artiklis vaadeldi kõige sagedamini kasutatavaid Taylori ja Maclaurini seeriaid kõrgemas matemaatikas, eriti majandus- ja tehnikaülikoolides.