Laia valikut seoseid hulkade näitel saadab suur hulk mõisteid, alustades nende definitsioonidest ja lõpetades paradokside analüütilise analüüsiga. Komplekti käsitlevas artiklis käsitletud kontseptsiooni mitmekesisus on lõputu. Kuigi kahest tüüpidest rääkides tähendab see mitme väärtuse vahelisi binaarsuhteid. Ja ka objektide või väidete vahel.
Reeglina tähistatakse binaarsuhteid sümboliga R, see tähendab, et kui xRx väljast R mis tahes väärtuse x korral, nimetatakse sellist omadust refleksiivseks, milles x ja x on aktsepteeritud mõtteobjektid, ja R on märk üksikisikutevahelise suhte olemasolust või muust vormist. Samal ajal, kui väljendate xRy® või yRx, siis see näitab sümmeetriaseisundit, kus ® on implikatsioonimärk, mis sarnaneb ühendusega "kui … siis …". Ja lõpuks, dekodeerimine kiri (xRy Ùy Rz) ®xRz räägib transitiivsest seosest ja märk Ù on sidesõna.
Binaarset seost, mis on nii refleksiivne, sümmeetriline kui ka transitiivne, nimetatakse ekvivalentsuheteks. Seos f on funktsioon ja Î f ja Î f tuleneb võrdus y=z. Lihtsat kahendfunktsiooni saab hõlpsasti rakendadakahele lihtsale argumendile kindlas järjekorras ja ainult sel juhul annab see neile kahele konkreetsel juhul võetud väljendile suunatud tähenduse.
Tuleb öelda, et f vastendab x-i y-ga,
kui f on funktsioon vahemikuga x ja vahemikuga y. Kui aga f ekstrapoleerib x-i y-ks ja y Í z-ks, näitab see x-i z-s. Lihtne näide: kui f(x)=2x on tõene mis tahes täisarvu x korral, siis väidetav alt vastendab f kõigi teadaolevate täisarvude märgistatud hulga samade täisarvude, kuid seekord paarisarvude hulgaga. Nagu eespool mainitud, on binaarsuhted, mis on nii refleksiivsed, sümmeetrilised kui ka transitiivsed, samaväärsussuhted.
Eelpool öeldu põhjal määratakse binaarsuhete ekvivalentsuhted omadustega:
- peegeldusvõime - suhe (M ~ N);
- sümmeetriad - kui võrdsus on M ~ N, siis on N ~ M;
- transitiivsus - kui kaks võrdsust M ~ N ja N ~ P, siis selle tulemusena M ~ P.
Vaatleme binaarsuhete deklareeritud omadusi üksikasjalikum alt. Refleksiivsus on teatud seoste üks tunnuseid, kus iga uuritava hulga element on iseendaga etteantud võrdsuses. Näiteks arvude a=c ja a³ c vahel on refleksiivsed seosed, kuna alati a=a, c=c, a³ a, c³ c. Samas on ebavõrdsuse a>c seos refleksivastane, kuna ebavõrdsus a>a on võimatu. Selle omaduse aksioom on kodeeritud märkidega: aRc®aRa Ù cRc, siin tähendab sümbol ® sõna "kaasab" (või "kaasab") ja märk Ù - on liit "ja" (või side). Sellest väitest järeldub, et kui otsus aRc on tõene, on tõesed ka avaldised aRa ja cRc.
Sümmeetria eeldab suhte olemasolu isegi siis, kui vaimseid objekte vahetatakse, st sümmeetrilise suhte korral ei too objektide ümberpaigutamine kaasa "binaarsete suhete" tüüpi transformatsiooni. Näiteks võrdsuse a=c seos on sümmeetriline seose c=a samaväärsuse tõttu; propositsioon a¹c on samuti sama, kuna see vastab ühendusele ¹a.
Transitiivne hulk on omadus, mis vastab järgmisele nõudele: y н x, z н y ® z н x, kus ® on märk, mis asendab sõnu: "kui …, siis …". Valem loetakse verbaalselt järgmiselt: "Kui y sõltub x-st, z kuulub y-le, siis z sõltub ka x-st".
