Meetodid sirge võrrandite seadmiseks tasapinnas ja kolmemõõtmelises ruumis

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Sirge on peamine geomeetriline objekt tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis. Just sirgjoontest ehitatakse palju kujundeid, näiteks rööpkülik, kolmnurk, prisma, püramiid jne. Vaatleme artiklis erinevaid joonvõrrandite seadmise viise.

Sirge definitsioon ja võrrandite tüübid selle kirjeldamiseks

Igal õpilasel on hea ettekujutus sellest, millisest geomeetrilisest objektist ta räägib. Sirge võib kujutada punktide kogumina ja kui ühendada igaüks neist kordamööda kõigi teistega, siis saame paralleelsete vektorite hulga. Teisisõnu, sirge igasse punkti on võimalik jõuda ühest selle fikseeritud punktist, kandes selle üle mõnele reaalarvuga korrutatud ühikuvektorile. Seda sirgjoone definitsiooni kasutatakse vektori võrdsuse määratlemiseks selle matemaatiliseks kirjeldamiseks nii tasapinnas kui ka kolmemõõtmelises ruumis.

Sirge saab matemaatiliselt esitada järgmist tüüpi võrranditega:

üldine;
vektor;
parameetriline;
lõikudes;
sümmeetriline (kanooniline).

Järgmisena käsitleme kõiki nimetatud tüüpe ja näitame probleemide lahendamise näidete abil, kuidas nendega töötada.

Sirge vektor- ja parameetriline kirjeldus

Alustuseks määratleme sirge läbi tuntud vektori. Oletame, et ruumis M(x₀; y₀; z_{0) on fikseeritud punkt. On teada, et sirge läbib seda ja on suunatud piki vektorlõiku v¯(a; b; c). Kuidas nende andmete põhjal leida joone suvaline punkt? Vastus sellele küsimusele annab järgmise võrdsuse:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Kus λ on suvaline arv.

Sarnase avaldise saab kirjutada ka kahemõõtmelise juhtumi jaoks, kus vektorite ja punktide koordinaadid on esindatud kahe arvuga:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Kirjutatud võrrandeid nimetatakse vektorvõrranditeks ja suunatud segment v¯ ise on sirge suunavektor.

Kirjutatud avaldistest saadakse vastavad parameetrilised võrrandid lihts alt, piisab nende selgesõnalisest ümberkirjutamisest. Näiteks ruumijuhtumi puhul saame järgmise võrrandi:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Parameetriliste võrranditega on mugav töötada, kui teil on vaja käitumist analüüsidaiga koordinaat. Pange tähele, et kuigi parameeter λ võib võtta suvalisi väärtusi, peab see olema kõigis kolmes võrdsuses sama.

Üldvõrrand

Teine viis sirge määratlemiseks, mida sageli kasutatakse vaadeldava geomeetrilise objektiga töötamiseks, on kasutada üldvõrrandit. Kahemõõtmelise korpuse puhul näeb see välja järgmine:

Ax + By + C=0

Siin tähistavad suured ladina tähed konkreetseid arvväärtusi. Selle võrdsuse mugavus ülesannete lahendamisel seisneb selles, et see sisaldab selgesõnaliselt sirgjoonega risti olevat vektorit. Kui tähistame seda n¯-ga, võime kirjutada:

n¯=[A; B]

Lisaks on avaldist mugav kasutada sirgjoone ja mingi punkti kauguse määramiseks P(x₁; y_{1). Kauguse d valem on:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Lihtne on näidata, et kui väljendada muutuja y selgesõnaliselt üldvõrrandist, saame järgmise tuntud sirge kirjutamise vormi:

y=kx + b

Kus k ja b on üheselt määratud numbritega A, B, C.

Võrrand segmentides ja kanooniline

Segmentides olevat võrrandit on kõige lihtsam saada üldvaatest. Näitame teile, kuidas seda teha.

Oletame, et meil on järgmine rida:

Ax + By + C=0

Liigutage vaba liige võrdsuse paremale poolele, seejärel jagage kogu võrrand sellega, saame:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, kus q=-C / A, p=-C / B

Saime nn võrrandi segmentides. Oma nime sai see tänu sellele, et nimetaja, millega iga muutuja jagatakse, näitab sirge ja vastava telje lõikepunkti koordinaadi väärtust. Seda on mugav kasutada sirgjoone kujutamiseks koordinaatsüsteemis, samuti selle suhtelise asukoha analüüsimiseks teiste geomeetriliste objektide (sirgete, punktide) suhtes.

Nüüd liigume edasi kanoonilise võrrandi hankimise juurde. Seda on lihtsam teha, kui arvestada parameetrilist valikut. Lennuki juhtumi jaoks on meil:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Avaldame parameetri λ igas võrrandis, siis võrdsustame need, saame:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

See on soovitud võrrand, mis on kirjutatud sümmeetrilisel kujul. Nii nagu vektoravaldis, sisaldab see selgesõnaliselt suunavektori koordinaate ja ühe joonele kuuluva punkti koordinaate.

On näha, et selles lõigus oleme andnud võrrandid kahemõõtmelise juhtumi jaoks. Samamoodi saate kirjutada ruumis sirge võrrandi. Siinkohal tuleb märkida, et kui kanooniline vormkirjetel ja avaldistel segmentides on sama vorm, siis on sirgjoone ruumiline üldvõrrand kujutatud kahe võrrandisüsteemiga lõikuvate tasandite jaoks.

Sirgevõrrandi konstrueerimise probleem

Geomeetria põhjal teab iga õpilane, et läbi kahe punkti saab tõmmata ühe joone. Oletame, et koordinaattasandil on antud järgmised punktid:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Tuleb leida sirge võrrand, kuhu mõlemad punktid kuuluvad, lõikudes, vektorites, kanoonilises ja üldkujus.

Esm alt saame vektorvõrrandi. Selleks määrake otsesuunavektori jaoks M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Nüüd saate luua vektorvõrrandi, võttes ühe kahest ülesande avalduses määratud punktist, näiteks M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Kanoonilise võrrandi saamiseks piisab, kui teisendada leitud võrdus parameetriliseks vormiks ja välistada parameeter λ. Meil on:

x=-1 - 2λ, seega λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, siis saame λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Ülejäänud kaks võrrandit (üld- ja segmentide kaupa) leiate kanoonilisest võrrandist, teisendades selle järgmiselt:

x + 1=-2y + 6;

üldvõrrand: x + 2y - 5=0;

segmentide võrrand: x / 5 + y / 2, 5=1

Saadud võrrandid näitavad, et vektor (1; 2) peab olema sirgega risti. Tõepoolest, kui leiate selle skalaarkorrutise suunavektoriga, on see võrdne nulliga. Lõikevõrrand ütleb, et joon lõikub x-teljega punktis (5; 0) ja y-teljega punktis (2, 5; 0).

Sirgede lõikepunkti määramise probleem

Kaks sirget on antud tasapinnal järgmiste võrranditega:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

On vaja määrata nende sirgete ristumispunkti koordinaadid.

Probleemi lahendamiseks on kaks võimalust:

Teisenda vektorvõrrand üldkujuks, seejärel lahendage kahe lineaarvõrrandi süsteem.
Ärge tehke mingeid teisendusi, vaid lihts alt asendage esimese võrrandiga parameetri λ kaudu väljendatud lõikepunkti koordinaat. Seejärel leidke parameetri väärtus.

Teeme teistmoodi. Meil on: