Üks stereomeetria levinumaid probleeme on sirgete ja tasandite ületamise ning nendevaheliste nurkade arvutamise ülesanded. Vaatleme selles artiklis üksikasjalikum alt nn koordinaatmeetodit ning sirge ja tasandi vahelisi nurki.
Sirge ja tasapind geomeetrias
Enne koordinaatmeetodi ning sirge ja tasapinna vahelise nurga kaalumist tuleks tutvuda nimetatud geomeetriliste objektidega.
Sirge on selline punktide kogum ruumis või tasapinnal, millest igaüks on võimalik saada eelneva lineaarse ülekandmisega teatud vektorisse. Järgnev alt tähistame seda vektorit sümboliga u¯. Kui see vektor korrutada mis tahes arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saame u¯-ga paralleelse vektori. Joon on lineaarne lõpmatu objekt.
Tasand on ka punktide kogum, mis paiknevad nii, et kui moodustada neist suvalised vektorid, siis on need kõik risti mingi vektoriga n¯. Viimast nimetatakse normaalseks või lihts alt normaalseks. Tasand, erinev alt sirgjoonest, on kahemõõtmeline lõpmatu objekt.
Geomeetriaülesannete lahendamise koordinaatide meetod
Meetodi enda nimetuse põhjal võime järeldada, et tegemist on ülesannete lahendamise meetodiga, mis põhineb analüütiliste järjestikuste arvutuste sooritamisel. Teisisõnu võimaldab koordinaatmeetod lahendada geomeetrilisi ülesandeid universaalsete algebra tööriistade abil, millest peamised on võrrandid.
Tuleb märkida, et vaadeldav meetod ilmus kaasaegse geomeetria ja algebra koidikul. Suure panuse selle arengusse andsid 17.–18. sajandil Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton ja Leibniz.
Meetodi olemus on teadaolevate punktide koordinaatide põhjal arvutada geomeetriliste elementide kaugused, nurgad, pindalad ja ruumalad. Pange tähele, et saadud lõppvõrrandite vorm sõltub koordinaatsüsteemist. Kõige sagedamini kasutatakse ülesannete lahendamisel ristkülikukujulist Descartes'i süsteemi, kuna sellega on kõige mugavam töötada.
Jonevõrrand
Võttes arvesse koordinaatmeetodit ning sirge ja tasandi vahelisi nurki, alustame sirge võrrandi seadmisega. Joonte algebralisel kujul esitamiseks on mitu võimalust. Siin käsitleme ainult vektorvõrrandit, kuna selle saab sellest hõlpsasti mis tahes muul kujul ja sellega on lihtne töötada.
Oletame, et on kaks punkti: P ja Q. On teada, et läbi nende saab tõmmata joone ja seejääb ainukeseks. Elemendi vastav matemaatiline esitus näeb välja selline:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Kus PQ¯ on vektor, mille koordinaadid saadakse järgmiselt:
PQ¯=Q - P.
Sümbol λ tähistab parameetrit, mis võib võtta absoluutselt suvalise arvu.
Kirjatavas avaldises saate muuta vektori suunda ja asendada punkti P asemel koordinaadid Q. Kõik need teisendused ei too kaasa sirge geomeetrilise asukoha muutumist.
Pange tähele, et ülesannete lahendamisel tuleb mõnikord esitada kirjutatud vektorvõrrand selgesõnalisel (parameetrilisel) kujul.
Tasapinna seadmine kosmosesse
Lisaks sirgele, on ka tasapinna jaoks mitut tüüpi matemaatilisi võrrandeid. Nende hulgas märgime ära vektori, võrrandi segmentides ja üldise vormi. Selles artiklis pöörame erilist tähelepanu viimasele vormile.
Suvalise tasandi üldvõrrandi saab kirjutada järgmiselt:
Ax + By + Cz + D=0.
Ladina suurtähed on teatud numbrid, mis määratlevad tasapinna.
Selle tähise mugavus seisneb selles, et see sisaldab selgesõnaliselt tasapinna suhtes normaalset vektorit. See on võrdne:
n¯=(A, B, C).
Selle vektori tundmine võimaldab lühid alt tasandi võrrandit vaadates ette kujutada viimase asukohta koordinaatsüsteemis.
Vastastikune kokkulepe sissejoone ja tasapinna ruum
Artikli järgmises lõigus liigume edasi koordinaatide meetodi ning sirge ja tasandi vahelise nurga käsitlemise juurde. Siin vastame küsimusele, kuidas vaadeldavad geomeetrilised elemendid ruumis paiknevad. On kolm võimalust:
- Sirge lõikub tasapinnaga. Koordinaatide meetodit kasutades saate arvutada, millises ühes punktis sirge ja tasapind ristuvad.
- Sirge tasapind on paralleelne. Sel juhul pole geomeetriliste elementide võrrandisüsteemil lahendust. Paralleelsuse tõestamiseks kasutatakse tavaliselt sirge suunamisvektori skalaarkorrutise ja tasapinna normaalkorrutise omadust.
- Lennukil on joon. Sel juhul võrrandisüsteemi lahendades jõuame järeldusele, et parameetri λ mis tahes väärtuse korral saadakse õige võrdus.
Teisel ja kolmandal juhul on määratud geomeetriliste objektide vaheline nurk võrdne nulliga. Esimesel juhul on see vahemikus 0 kuni 90o.
Jongede ja tasandite vaheliste nurkade arvutamine
Lähme nüüd otse artikli teema juurde. Iga sirge ja tasapinna lõikepunkt toimub mingi nurga all. Selle nurga moodustavad sirge ise ja selle projektsioon tasapinnale. Projektsiooni on võimalik saada, kui mis tahes sirge punktist langetatakse risti tasapinnale ning seejärel läbi saadud tasandi ja ristsirge lõikepunkti ning tasandi ja algjoone lõikepunkti joonestada sirgjoon, mis on projektsioon.
Jongede ja tasapindade vaheliste nurkade arvutamine ei ole keeruline ülesanne. Selle lahendamiseks piisab vastavate geomeetriliste objektide võrrandite tundmisest. Oletame, et need võrrandid näevad välja järgmised:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Soovitud nurk on kergesti leitav skalaarvektorite u¯ ja n¯ korrutise omaduse abil. Lõplik valem näeb välja selline:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
See valem ütleb, et sirge ja tasandi vahelise nurga siinus on võrdne märgitud vektorite skalaarkorrutise mooduli ja nende pikkuste korrutise suhtega. Et mõista, miks koosinuse asemel ilmus siinus, vaatame allolevat joonist.
On näha, et kui rakendame koosinusfunktsiooni, saame vektorite u¯ ja n¯ vahelise nurga. Soovitud nurk θ (joonisel α) saadakse järgmiselt:
θ=90o- β.
Siinus ilmub redutseerimisvalemite rakendamise tulemusena.
Näidisprobleem
Liikume omandatud teadmiste praktilise kasutamise juurde. Lahendame tüüpilise ülesande sirge ja tasandi vahelise nurga kohta. Antud on järgmised nelja punkti koordinaadid:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
On teada, et läbi punktide PQMseda läbib tasapind ja MN läbib sirge. Koordinaatide meetodil tuleb arvutada tasapinna ja sirge vaheline nurk.
Esm alt paneme kirja sirge ja tasandi võrrandid. Sirge joone jaoks on seda lihtne koostada:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Tasapinna võrrandi koostamiseks leiame kõigepe alt selle normaalväärtuse. Selle koordinaadid on võrdsed kahe antud tasapinnal asuva vektori vektorkorrutisega. Meil on:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Asendame nüüd mis tahes selles asuva punkti koordinaadid üldtasandi võrrandis, et saada vaba liikme D väärtus:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Tasapinnaline võrrand on:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Üleülesandele vastuse saamiseks jääb üle rakendada sirge ja tasapinna ristumiskohas moodustatud nurga valem. Meil on:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Kasutades seda ülesannet näitena, näitasime, kuidas kasutada koordinaatide meetodit geomeetriliste ülesannete lahendamiseks.
