Tüüpiline geomeetriline probleem on joontevahelise nurga leidmine. Tasapinnal, kui sirgete võrrandid on teada, saab neid joonestada ja nurka mõõta nurgamõõturiga. See meetod on aga töömahukas ja mitte alati võimalik. Nimetatud nurga väljaselgitamiseks pole vaja sirgjooni tõmmata, seda saab arvutada. Sellest artiklist leiate vastused, kuidas seda teha.
Sirge ja selle vektorvõrrand
Iga sirget saab esitada vektorina, mis algab punktist -∞ ja lõpeb punktiga +∞. Sel juhul läbib vektor mõnda ruumipunkti. Seega on kõik vektorid, mida saab tõmmata mis tahes kahe sirge punkti vahele, on üksteisega paralleelsed. See definitsioon võimaldab teil määrata sirgjoone võrrandi vektorkujul:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Siin on vektor koordinaatidega (a; b; c) juhiseks selle punkti läbivale sirgele (x0; y0; z0). Parameeter α võimaldab teil selle rea määratud punkti üle kanda ükskõik millisele teisele punktile. See võrrand on intuitiivne ja seda on lihtne kasutada nii 3D-ruumis kui ka tasapinnal. Tasapinna puhul ei sisalda see z-koordinaate ja kolmandat suunavektori komponenti.
Arvutuste tegemise ja sirgjoonte suhtelise asukoha uurimise mugavus tänu vektorvõrrandi kasutamisele tuleneb sellest, et selle suunav vektor on teada. Selle koordinaate kasutatakse joontevahelise nurga ja nendevahelise kauguse arvutamiseks.
Tasapinna sirge üldvõrrand
Kirjutame kahemõõtmelise juhtumi jaoks selgesõnaliselt üles sirgjoone vektorvõrrandi. See näeb välja selline:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Nüüd arvutame iga võrrandi jaoks parameetri α ja võrdsustame saadud võrrandite õiged osad:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Sulud avades ja kõik tingimused võrdsuse ühele poolele üle kandes saame:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, kus A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Saadud avaldist nimetatakse kahemõõtmelises ruumis antud sirge üldvõrrandiks (kolmemõõtmelises ruumis vastab see võrrand z-teljega paralleelsele tasapinnale, mitte sirgele).
Kui me kirjutame selles avaldises selgelt y kuni x, saame järgmise vormi, mis on teadaiga õpilane:
y=kx + p, kus k=-A/B, p=-C/B
See lineaarvõrrand määratleb üheselt tasapinna sirge. Tuntud võrrandi järgi on seda väga lihtne joonestada, selleks tuleks panna kordamööda x=0 ja y=0, märkida koordinaatsüsteemi vastavad punktid ja tõmmata saadud punkte ühendav sirgjoon.
Jongedevahelise nurga valem
Tasapinnal võivad kaks sirget ristuda või olla paralleelsed. Ruumis lisandub neile võimalustele kaldjoonte olemasolu. Ükskõik millist versiooni nende ühemõõtmeliste geomeetriliste objektide suhtelisest asukohast rakendatakse, saab nendevahelise nurga alati määrata järgmise valemiga:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Kus v1¯ ja v2¯ on vastav alt rea 1 ja 2 juhtvektorid. Lugeja on punktkorrutise moodul, et välistada nürinurgad ja võtta arvesse ainult teravaid nurki.
Vektoreid v1¯ ja v2¯ saab anda kahe või kolme koordinaadiga, samas kui nurga valem φ jääb muutumatuks.
Jongede paralleelsus ja perpendikulaarsus
Kui ül altoodud valemiga arvutatud 2 sirge vaheline nurk on 0o, siis öeldakse, et need on paralleelsed. Et teha kindlaks, kas jooned on paralleelsed või mitte, ei saa te nurka arvutadaφ, piisab, kui näidata, et ühte suunavektorit saab esitada teise sirge sarnase vektori kaudu, see tähendab:
v1¯=qv2¯
Siin q on reaalarv.
Kui joonte võrrandid on esitatud järgmiselt:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
siis on need paralleelsed ainult siis, kui x-i koefitsiendid on võrdsed, see tähendab:
k1=k2
Seda fakti saab tõestada, kui arvestada, kuidas koefitsient k väljendub sirge suunamisvektori koordinaatidena.
Kui sirgete lõikenurk on 90o, siis nimetatakse neid risti. Sirgede perpendikulaarsuse määramiseks ei ole vaja arvutada ka nurka φ, selleks piisab ainult vektorite v1¯ ja v skalaarkorrutise arvutamisest. 2¯. See peab olema null.
Ruumis lõikuvate sirgete korral võib kasutada ka nurga φ valemit. Sel juhul tuleks tulemust õigesti tõlgendada. Arvutatud φ näitab nurka nende sirgete suunavektorite vahel, mis ei lõiku ega ole paralleelsed.
Ülesanne nr 1. Perpendikulaarsed jooned
On teada, et sirge võrrandid on kujul:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Tuleb kindlaks teha, kas need read onristi.
Nagu eespool mainitud, piisab küsimusele vastamiseks, kui arvutada koordinaatidele (1; 2) ja (-4; 2) vastavate juhiste vektorite skalaarkorrutis. Meil on:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Kuna saime 0, tähendab see, et vaadeldavad sirged lõikuvad täisnurga all, st on risti.
Ülesanne nr 2. Joone ristumisnurk
On teada, et kahel sirge võrrandil on järgmine kuju:
y=2x - 1;
y=-x + 3
On vaja leida nurk joonte vahel.
Kuna x-i kordajatel on erinevad väärtused, ei ole need sirged paralleelsed. Nende lõikumisel tekkiva nurga leidmiseks teisendame kõik võrrandid vektorkujule.
Esimese rea jaoks saame:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Võrrandi paremal küljel saime vektori, mille koordinaadid sõltuvad x-st. Esitame selle kahe vektori summana ja esimese koordinaadid sisaldavad muutujat x ja teise koordinaadid koosnevad eranditult numbritest:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Kuna x võtab suvalised väärtused, saab selle asendada parameetriga α. Esimese rea vektorvõrrandiks saab:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Teeme samu toiminguid rea teise võrrandiga, saame:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Kirjutasime algsed võrrandid ümber vektorkujul. Nüüd saate kasutada ristumisnurga valemit, asendades selles joonte suunavektorite koordinaadid:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Seega ristuvad vaadeldavad sirged nurga all 71,565o ehk 1,249 radiaani.
Selle probleemi oleks saanud teisiti lahendada. Selleks oli vaja võtta igast sirgest kaks suvalist punkti, koostada neist otsevektorid ja seejärel kasutada valemit φ.
