Isegi koolis õppisime igaüks võrrandeid ja kindlasti võrrandisüsteeme. Kuid vähesed inimesed ei tea, et nende lahendamiseks on mitu võimalust. Täna analüüsime üksikasjalikult kõiki meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks, mis koosnevad enam kui kahest võrdsusest.
Ajalugu
Tänapäeval on teada, et võrrandite ja nende süsteemide lahendamise kunst sai alguse Vana-Babülonist ja Egiptusest. Võrdsused oma tavapärasel kujul tekkisid aga pärast võrdusmärgi "=" ilmumist, mille 1556. aastal võttis kasutusele inglise matemaatik Record. Muide, see märk valiti põhjusega: see tähendab kahte paralleelset võrdset segmenti. Tõepoolest, võrdsuse kohta pole paremat näidet.
Tundmatute ja kraadimärkide kaasaegsete tähttähiste asutaja on prantsuse matemaatik Francois Viet. Tema nimetused erinesid aga oluliselt tänapäevastest. Näiteks tähistas ta tundmatu arvu ruutu tähega Q (lat. "quadratus") ja kuubikut tähega C (lat. "cubus"). Need nimetused tunduvad nüüd ebamugavad, aga siissee oli kõige arusaadavam viis lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide kirjutamiseks.
Toonaste lahendusmeetodite puuduseks oli aga see, et matemaatikud pidasid ainult positiivseid juuri. Võib-olla on see tingitud asjaolust, et negatiivsetel väärtustel polnud praktilist kasu. Nii või teisiti olid just Itaalia matemaatikud Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ja Rafael Bombelli need, kes 16. sajandil esimesena mõtlesid negatiivsetele juurtele. Ja kaasaegne välimus, peamine ruutvõrrandite lahendamise meetod (diskriminandi kaudu), loodi alles 17. sajandil tänu Descartes'i ja Newtoni tööle.
18. sajandi keskel leidis Šveitsi matemaatik Gabriel Cramer uue viisi lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise lihtsamaks muutmiseks. See meetod sai hiljem tema nime ja kasutame seda tänapäevani. Kuid Crameri meetodist räägime veidi hiljem, kuid praegu käsitleme lineaarvõrrandeid ja nende lahendamise meetodeid süsteemist eraldi.
Lineaarvõrrandid
Lineaarvõrrandid on kõige lihtsamad muutuja(te)ga võrrandid. Neid klassifitseeritakse algebralisteks. Lineaarvõrrandid kirjutatakse üldkujul järgmiselt: 2+…a x =b. Vajame nende esitust sellisel kujul süsteemide ja maatriksite edasisel koostamisel.
Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid
Selle mõiste määratlus on järgmine: see on võrrandite kogum, millel on ühised tundmatud ja ühine lahendus. Koolis otsustasid reeglina kõik süsteemidkahe või isegi kolme võrrandiga. Kuid on süsteeme, millel on neli või enam komponenti. Mõelgem esm alt välja, kuidas need kirja panna, et hiljem oleks mugav neid lahendada. Esiteks näevad lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid paremad välja, kui kõik muutujad on kirjutatud kui x ja vastava indeksiga: 1, 2, 3 jne. Teiseks tuleks kõik võrrandid taandada kanoonilisele kujule: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Pärast kõiki neid samme võime hakata rääkima sellest, kuidas leida lahendus lineaarvõrrandisüsteemidele. Maatriksid on selleks väga kasulikud.
Maatriksid
Maatriks on tabel, mis koosneb ridadest ja veergudest ning selle elemendid asuvad nende ristumiskohas. Need võivad olla kas konkreetsed väärtused või muutujad. Kõige sagedamini paigutatakse elementide tähistamiseks nende alla alaindeksid (näiteks a11 või a23). Esimene indeks tähendab rea numbrit ja teine veeru numbrit. Maatriksitel, nagu ka mis tahes muul matemaatilisel elemendil, saate teha erinevaid toiminguid. Nii et saate:
1) Lahutage ja lisage sama suurusega tabelid.
2) Korrutage maatriks mõne arvu või vektoriga.
3) Transponeerimine: muutke maatriksiread veergudeks ja veerud ridadeks.
4) Korrutage maatriksid, kui ühe ridade arv on võrdne teise veergude arvuga.
Arutame kõiki neid tehnikaid üksikasjalikum alt, kuna need on meile tulevikus kasulikud. Maatriksite lahutamine ja liitmine on väga lihtne. Niisiiskui me võtame ühesuurused maatriksid, siis vastab ühe tabeli iga element teise tabeli igale elemendile. Seega liidame (lahutame) need kaks elementi (oluline on, et nad asuksid oma maatriksites samades kohtades). Maatriksi korrutamisel arvu või vektoriga peate lihts alt iga maatriksi elemendi selle arvu (või vektoriga) korrutama. Ülevõtmine on väga huvitav protsess. Väga huvitav on seda mõnikord päriselus näha, näiteks tahvelarvuti või telefoni orientatsiooni muutes. Töölaual olevad ikoonid on maatriks ja kui muudate asukohta, siis see transponeerub ja muutub laiemaks, kuid väheneb kõrguselt.
Vaatame veel kord sellist protsessi nagu maatrikskorrutamine. Kuigi see ei ole meile kasulik, on siiski kasulik seda teada. Kahte maatriksi saab korrutada ainult siis, kui ühe tabeli veergude arv on võrdne teise tabeli ridade arvuga. Nüüd võtame ühe maatriksi rea elemendid ja teise maatriksi vastava veeru elemendid. Korrutame need üksteisega ja liidame siis (see on näiteks elementide a11 ja a12 korrutis b 12ja b22 on võrdne: a11b12 + a 12 b22). Nii saadakse üks tabeli element ja see täidetakse edasi sarnasel meetodil.
Nüüd saame hakata uurima, kuidas lineaarvõrrandisüsteem lahendatakse.
Gaussi meetod
See teema hakkab läbi saama isegi koolis. Teame hästi mõistet "kahe lineaarvõrrandi süsteem" ja teame, kuidas neid lahendada. Aga mis siis, kui võrrandite arv on suurem kui kaks? Gaussi meetod aitab meid selles.
Muidugi on seda meetodit mugav kasutada, kui teete süsteemist maatriksi. Kuid te ei saa seda muuta ja seda puhtaimal kujul lahendada.
Kuidas see meetod lahendab Gaussi lineaarsete võrrandite süsteemi? Muide, kuigi see meetod on nime saanud tema järgi, avastati see iidsetel aegadel. Gauss pakub välja järgmise: sooritada võrranditega tehteid, et lõpuks taandada kogu hulk astmelisele kujule. See tähendab, et on vaja, et ül alt alla (kui see on õigesti paigutatud) esimesest võrrandist viimaseni väheneks üks tundmatu. Teisisõnu peame veenduma, et saame näiteks kolm võrrandit: esimeses - kolm tundmatut, teises - kaks, kolmandas - üks. Seejärel leiame viimasest võrrandist esimese tundmatu, asendame selle väärtuse teise või esimese võrrandiga ja seejärel leiame ülejäänud kaks muutujat.
Crameri meetod
Selle meetodi valdamiseks on ülim alt oluline omandada maatriksite liitmise ja lahutamise oskus ning samuti tuleb osata leida determinante. Seega, kui teete seda kõike halvasti või ei tea, kuidas üldse, peate õppima ja harjutama.
Mis on selle meetodi olemus ja kuidas seda teha nii, et saadakse lineaarsete Crameri võrrandite süsteem? Kõik on väga lihtne. Peame konstrueerima maatriksi lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi arvulistest (peaaegu alati) kordajatest. Selleks võtke lihts alt numbrid tundmatute ees ja järjestage need sissetabelit nende süsteemi salvestamise järjekorras. Kui arvule eelneb märk "-", siis kirjutame üles negatiivse koefitsiendi. Niisiis oleme koostanud esimese maatriksi tundmatute koefitsientidest, välja arvatud võrdusmärkide järel olevad arvud (loomulikult tuleks võrrand taandada kanoonilisele kujule, kui paremal on ainult arv ja kõik tundmatud koos koefitsiendid vasakul). Seejärel tuleb luua veel mitu maatriksit – üks iga muutuja jaoks. Selleks asendame kordamööda iga koefitsientide veeru esimeses maatriksis arvude veeruga pärast võrdusmärki. Seega saame mitu maatriksit ja seejärel leiame nende determinandid.
Pärast seda, kui oleme määrajad leidnud, on asi väike. Meil on esialgne maatriks ja seal on mitu saadud maatriksit, mis vastavad erinevatele muutujatele. Süsteemi lahenduste saamiseks jagame saadud tabeli determinandi algtabeli determinandiga. Saadud arv on ühe muutuja väärtus. Samamoodi leiame kõik tundmatud.
Muud meetodid
Lineaarvõrrandisüsteemide lahenduse leidmiseks on veel mitu meetodit. Näiteks nn Gaussi-Jordani meetod, mida kasutatakse ruutvõrrandisüsteemi lahenduste leidmiseks ja mida seostatakse ka maatriksite kasutamisega. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks on olemas ka Jacobi meetod. Seda on kõige lihtsam arvutiga kohandada ja seda kasutatakse andmetöötluses.
Rasked juhtumid
Keerukus tekib tavaliselt siis, kui võrrandite arv on väiksem kui muutujate arv. Siis võime kindl alt väita, et kas süsteem on ebajärjekindel (st tal puuduvad juured) või kipub selle lahenduste arv lõpmatuseni. Kui meil on teine juhtum, siis peame kirja panema lineaarvõrrandisüsteemi üldlahenduse. See sisaldab vähem alt ühte muutujat.
Järeldus
Siin jõuame lõpuni. Kokkuvõtteks: oleme analüüsinud, mis on süsteem ja maatriks, oleme õppinud, kuidas leida lineaarvõrrandisüsteemile üldist lahendust. Lisaks kaaluti muid variante. Saime teada, kuidas on lahendatud lineaarvõrrandi süsteem: Gaussi meetod ja Crameri meetod. Rääkisime keerulistest juhtumitest ja muudest lahenduste leidmise võimalustest.
Tegelikult on see teema palju ulatuslikum ja kui soovite seda paremini mõista, soovitame teil lugeda rohkem erialakirjandust.
