Geomeetrias on pärast punkti sirgjoon võib-olla kõige lihtsam element. Seda kasutatakse mistahes keerukate kujundite ehitamisel tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis. Selles artiklis käsitleme sirgjoone üldist võrrandit ja lahendame selle abil paar ülesannet. Alustame!
Geomeetria sirgjoon
Kõik teavad, et sellised kujundid nagu ristkülik, kolmnurk, prisma, kuup ja nii edasi tekivad sirgjoonte lõikumisel. Sirge geomeetrias on ühemõõtmeline objekt, mille saab saada teatud punkti ülekandmisel sama või vastupidise suunaga vektorisse. Selle määratluse paremaks mõistmiseks kujutage ette, et ruumis on mingi punkt P. Võtke selles ruumis suvaline vektor u¯. Siis saab joone mis tahes punkti Q saada järgmiste matemaatiliste tehtetega:
Q=P + λu¯.
Siin λ on suvaline arv, mis võib olla positiivne või negatiivne. Kui võrdsuskirjutage ülal koordinaatidena, siis saame järgmise sirge võrrandi:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Seda võrdsust nimetatakse vektorkujulise sirgjoone võrrandiks. Ja vektorit u¯ nimetatakse juhendiks.
Tasapinna sirge üldvõrrand
Iga õpilane saab selle raskusteta üles kirjutada. Kuid enamasti kirjutatakse võrrand järgmiselt:
y=kx + b.
Kus k ja b on suvalised arvud. Arvu b nimetatakse vabaliikmeks. Parameeter k on võrdne nurga puutujaga, mille moodustab sirge ja x-telje ristumiskoht.
Ül altoodud võrrand on väljendatud muutuja y suhtes. Kui esitame selle üldisemal kujul, saame järgmise tähise:
Ax + By + C=0.
Lihtne on näidata, et see sirgjoone üldvõrrandi tasapinnale kirjutamise vorm on kergesti teisendatav eelmisele kujule. Selleks tuleks vasak ja parem osa jagada teguriga B ja väljendada y.
Ül altoodud joonis näitab kahte punkti läbivat sirget.
Joon 3D-ruumis
Jätkame oma uurimistööd. Vaatlesime küsimust, kuidas esitatakse tasapinnal sirgjoone võrrand üldkujul. Kui rakendame ruumilise käände jaoks artikli eelmises lõigus antud tähistust, siis mida me saame? Kõik on lihtne – mitte enam sirge, vaid tasapind. Tõepoolest, järgmine avaldis kirjeldab tasapinda, mis on paralleelne z-teljega:
Ax + By + C=0.
Kui C=0, siis selline tasapind läbibläbi z-telje. See on oluline funktsioon.
Kuidas olla siis sirge üldvõrrandiga ruumis? Et mõista, kuidas seda küsida, peate midagi meeles pidama. Kaks tasapinda lõikuvad mööda teatud sirgjoont. Mida see tähendab? Ainult et üldvõrrand on tasandite kahe võrrandisüsteemi lahendamise tulemus. Kirjutame selle süsteemi:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
See süsteem on ruumi sirgjoone üldvõrrand. Pange tähele, et tasapinnad ei tohi olla üksteisega paralleelsed, st nende normaalvektorid peavad olema üksteise suhtes mingi nurga all kaldu. Vastasel juhul pole süsteemil lahendusi.
Eespool esitasime võrrandi vektorkuju sirge jaoks. Seda on mugav kasutada selle süsteemi lahendamisel. Selleks tuleb esm alt leida nende tasandite normaalide vektorkorrutis. Selle toimingu tulemuseks on sirge suunavektor. Seejärel tuleks arvutada mis tahes joonele kuuluv punkt. Selleks tuleb määrata mis tahes muutujatest võrdne teatud väärtusega, ülejäänud kaks muutujat leiate vähendatud süsteemi lahendamisel.
Kuidas tõlkida vektorvõrrandit üldiseks? Nüansid
See on tegelik probleem, mis võib tekkida, kui peate kirjutama sirge üldvõrrandi, kasutades kahe punkti teadaolevaid koordinaate. Näitame näite abil, kuidas see probleem lahendatakse. Olgu teada kahe punkti koordinaadid:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Vektorvormis võrrandit on üsna lihtne koostada. Suunavektori koordinaadid on:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Pange tähele, et kui lahutame punkti P koordinaatidest Q-koordinaadid, siis vektor muudab oma suunda ainult vastupidiseks. Nüüd peaksite võtma suvalise punkti ja kirjutama üles vektorvõrrand:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Sirge üldvõrrandi kirjutamiseks tuleks mõlemal juhul väljendada parameetrit λ. Ja siis võrrelda tulemusi. Meil on:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Jääb vaid avada sulud ja kanda kõik võrrandi liikmed võrrandi ühele küljele, et saada üldavaldis kahte teadaolevat punkti läbivale sirgele.
Kolmemõõtmelise ülesande puhul säilib lahendusalgoritm, ainult selle tulemuseks on tasandite kahe võrrandi süsteem.
Ülesanne
On vaja koostada üldvõrrandsirgjoon, mis lõikab x-telge punktis (-3, 0) ja on paralleelne y-teljega.
Alustame ülesande lahendamist, kirjutades võrrandi vektorkujul. Kuna joon on paralleelne y-teljega, on selle suunavektor järgmine:
u¯=(0, 1).
Seejärel kirjutatakse soovitud rida järgmiselt:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Tõlgime nüüd selle avaldise üldkujule, selleks väljendame parameetrit λ:
- x=-3;
- y=λ.
Seega kuulub reale iga muutuja y väärtus, kuid sellele vastab ainult muutuja x üksik väärtus. Seetõttu on üldvõrrand järgmine:
x + 3=0.
Probleem ruumi sirgjoonega
On teada, et kaks ristuvat tasandit on antud järgmiste võrranditega:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Tuleb leida sirge vektorvõrrand, mida mööda need tasandid ristuvad. Alustame.
Nagu öeldud, on sirge üldvõrrand kolmemõõtmelises ruumis juba antud kahe tundmatu süsteemi kujul. Kõigepe alt määrame suunavektori, mida mööda tasapinnad ristuvad. Normaalide vektorkoordinaadid tasapindadega korrutades saame:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Kuna vektori korrutamine negatiivse arvuga muudab selle suuna vastupidiseks, võime kirjutada:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Kunisirgele vektoravaldise leidmiseks peaks lisaks suunavektorile teadma selle sirge mõnda punkti. Leidke, kuna selle koordinaadid peavad ülesande tingimuses rahuldama võrrandisüsteemi, siis leiame need. Näiteks paneme x=0, siis saame:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Seega on soovitud sirgele kuuluva punkti koordinaadid:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Siis saame sellele ülesandele vastuse, soovitud rea vektorvõrrand näeb välja selline:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Lahenduse õigsust saab hõlpsasti kontrollida. Selleks peate valima parameetri λ suvalise väärtuse ja asendama saadud sirge punkti koordinaadid mõlema tasandi võrrandiga, mõlemal juhul saate identiteedi.
