Sõna "lõpmatus" juures on igal inimesel oma assotsiatsioonid. Paljud joonistavad oma ettekujutuses silmapiiri taha ulatuvat merd, teistel aga silme ees pilt lõputust tähistaevast. Matemaatikud, kes on harjunud arvudega opereerima, kujutavad lõpmatust ette hoopis teistmoodi. Aastasadu on nad püüdnud leida mõõtmiseks vajalikest füüsikalistest suurustest suurimaid. Üks neist on Grahami number. Sellest artiklist saate teada, kui palju nulle selles on ja milleks seda kasutatakse.
Lõpmatult suur arv
Matemaatikas on see sellise muutuja nimi x , kui iga positiivse arvu M jaoks saab määrata naturaalarvu N nii, et kõigi arvude puhul n on suurem kui N ebavõrdsus |x | > M. Siiski ei saa näiteks täisarvu Z pidada lõpmatult suureks, kuna see on alati väiksem kui (Z + 1).
Paar sõna "hiiglaste" kohta
Suurimateks numbriteks, millel on füüsiline tähendus, loetakse:
- 1080. Seda arvu, mida tavaliselt nimetatakse kvinkvavigintiljoniks, kasutatakse kvarkide ja leptonite (kõige väiksemate osakeste) ligikaudse arvu tähistamiseks universumis.
- 1 Google. Selline arv kümnendsüsteemis kirjutatakse 100 nulliga ühikuna. Mõnede matemaatiliste mudelite kohaselt peaks suurest paugust kuni kõige massiivsema musta augu plahvatuseni mööduma 1–1,5 googoli aastat, misjärel liigub meie universum oma eksisteerimise viimasesse etappi, st me saame oletame, et sellel arvul on teatud füüsiline tähendus.
- 8, 5 x 10185. Plancki konstant on 1,616199 x 10-35 m, st kümnendsüsteemis näeb see välja nagu 0,000000000000000000000000000000616199 m. Seal on umbes 1 googoli Plancki pikkus tollis. Hinnanguliselt mahub kogu meie universumisse umbes 8,5 x 10185 Plaanipikkused.
- 277 232 917 – 1. See on suurim teadaolev algarv. Kui selle binaarne tähistus on üsna kompaktse kujuga, kulub selle kümnendkujul kujutamiseks vähem alt 13 miljonit tähemärki. See leiti 2017. aastal Mersenne'i numbrite otsimise projekti raames. Kui entusiastid jätkavad tööd selles suunas, siis arvutitehnoloogia praegusel arengutasemel ei suuda nad lähitulevikus tõenäoliselt leida Mersenne'i numbrit, mis on suurusjärgus suurem kui 277 232 917- 1, kuigi sellineõnnelik võitja saab 150 000 USA dollarit.
- Hugoplex. Siin võtame lihts alt 1 ja lisame selle järele nullid summas 1 googoli. Selle numbri saate kirjutada kujul 10^10^100. Kümnendvormis seda esitada on võimatu, sest kui kogu Universumi ruum on täidetud paberitükkidega, millest igaühele kirjutataks 0 kirjasuurusega “Word” 10, siis sel juhul vaid pool kõik 0 pärast 1 saadakse googolplexi arvu jaoks.
- 10^10^10^10^10^1,1. See on arv, mis näitab aastate arvu, mille möödudes naaseb meie universum Poincaré teoreemi kohaselt juhuslike kvantkõikumiste tulemusena tänasele lähedasesse olekusse.
Kuidas Grahami numbrid tekkisid
1977. aastal avaldas tuntud teaduse populariseerija Martin Gardner ajakirjas Scientific American artikli Grahami tõestuse kohta Ramse'i teooria ühe probleemi kohta. Selles nimetas ta teadlase seatud piiri suurimaks arvuks, mida kunagi tõsistes matemaatilistes arutlustes kasutatud.
Kes on Ronald Lewis Graham
Praegu 80. eluaastates teadlane sündis Californias. 1962. aastal sai ta Berkeley ülikoolist doktorikraadi matemaatikas. Ta töötas Bell Labsis 37 aastat ja kolis hiljem AT&T Labsi. Teadlane tegi aktiivselt koostööd 20. sajandi ühe suurima matemaatiku Pal Erdősiga ja on paljude mainekate auhindade laureaat. Grahami teadusbibliograafia sisaldab rohkem kui 320 teadusartiklit.
70ndate keskel tundis teadlast huvi teooriaga seotud probleemRamsey. Selle tõestuses määrati lahenduse ülempiir, mis on väga suur arv, mis sai hiljem nime Ronald Grahami järgi.
Hüperkuubi probleem
Grahami numbri olemuse mõistmiseks peate esm alt mõistma, kuidas see saadi.
Teadlane ja tema kolleeg Bruce Rothschild lahendasid järgmise probleemi:
On olemas n-mõõtmeline hüperkuub. Kõik selle tippude paarid on ühendatud nii, et saadakse täielik graaf 2tipuga. Iga selle serv on värvitud kas siniseks või punaseks. Tuli leida minimaalne tippude arv, mis hüperkuubil peaks olema, et iga selline värvimine sisaldaks täielikku monokromaatilist alamgraafi 4 tipuga, mis asuvad samal tasapinnal.
Otsus
Graham ja Rothschild tõestasid, et probleemil on lahendus N', mis vastab tingimusele 6 ⩽ N' ⩽N, kus N on täpselt määratletud väga suur arv.
N-i alumist piiri täpsustasid hiljem teised teadlased, kes tõestasid, et N peab olema suurem kui 13 või sellega võrdne. Seega sai ül altoodud tingimustele vastava hüperkuubi väikseima tippude arvu avaldis. 13 ⩽ N'⩽ N.
Knuthi noolemärk
Enne Grahami arvu defineerimist tuleks tutvuda selle sümboolse esitusviisiga, sest ei kümnend- ega kahendmärk ei sobi selleks absoluutselt.
Praegu kasutatakse selle koguse tähistamiseks Knuthi noolemärki. Tema sõnul:
ab=a "ülesnool" b.
Mitmekordse astendamise jaoks lisati kirje:
a "ülesnool" "ülesnool" b=ab="torn, mis koosneb b tükist a."
Ja pentatsiooniks, st eelmise operaatori korduva astendamise sümboolseks tähistamiseks, kasutas Knuth juba 3 noolt.
Kasutades seda Grahami numbri tähistust, on üksteise sisse pesastatud noolejadad 64 tk.
Skaala
Nende kuulsa arvu, mis erutab kujutlusvõimet ja laiendab inimteadvuse piire, viies selle universumi piiridest kaugemale, said Graham ja tema kolleegid selle hüperkuubi tõestuses arvu N ülemiseks piiriks. ül altoodud probleem. Tavainimesel on äärmiselt raske ette kujutada, kui suur on selle mastaap.
Küsimus märkide arvust või nagu mõnikord ekslikult öeldakse, nullid Grahami numbris, huvitab peaaegu kõiki, kes sellest väärtusest esimest korda kuulevad.
Piisab, kui öelda, et tegemist on kiiresti kasvava jadaga, mis koosneb 64 liikmest. Isegi selle esimest liiget on võimatu ette kujutada, kuna see koosneb n "tornist", mis koosneb 3-st. Juba selle "alumine korrus" 3 kolmik võrdub 7 625 597 484 987, st ületab 7 miljardit ehk 64. korruse kohta (mitte liige!). Seega on praegu võimatu täpselt öelda, mis Grahami arv on, kuna selle arvutamiseks ei piisa.kõigi praegu Maal eksisteerivate arvutite kombineeritud võimsus.
Rekord on katki?
Kruskali teoreemi tõestamise käigus "visati pjedestaalilt maha" Grahami number. Teadlane pakkus välja järgmise probleemi:
Seal on lõpmatu jada piiratud puid. Kruskal tõestas, et mingist graafist on alati olemas lõik, mis on nii osa suuremast graafist kui ka selle täpne koopia. See väide ei tekita kahtlusi, sest on ilmne, et lõpmatuses on alati täpselt korduv kombinatsioon
Hiljem ahendas Harvey Friedman seda probleemi mõnevõrra, võttes arvesse ainult selliseid atsüklilisi graafikuid (puid), et konkreetsel koefitsiendiga i on kõige rohkem (i + k) tippe. Ta otsustas välja selgitada, milline peaks olema atsükliliste graafikute arv, et selle ülesande meetodi abil oleks alati võimalik leida alampuu, mis oleks põimitud teise puusse.
Selle teema uurimise tulemusena leiti, et N kasvab sõltuv alt k-st tohutu kiirusega. Täpsem alt, kui k=1, siis N=3. Kuid kui k=2, jõuab N juba 11-ni. Kõige huvitavam algab siis, kui k=3. Sel juhul N "tõuseb kiiresti õhku" ja jõuab väärtuseni, mis on mitu korda suurem kui Grahami arv. Et kujutada ette, kui suur see on, piisab, kui kirjutada üles Ronald Grahami arvutatud arv G64 kujul (3). Siis on Friedmani-Kruskali väärtus (rev. FinKraskal(3)) suurusjärgus G(G(187196)). Ehk siis saadakse megaväärtus, mis on lõpmatult suuremkujuteldamatult suur Grahami number. Samal ajal on isegi see hiiglaslik arv kordi väiksem kui lõpmatus. Sellest kontseptsioonist on mõistlik rääkida üksikasjalikum alt.
Lõpmatus
Nüüd, kui oleme selgitanud, mis on Grahami number sõrmedel, peaksime mõistma tähendust, mida sellesse filosoofilisse kontseptsiooni investeeritakse ja mida praegu investeeritakse. Võib ju "lõpmatust" ja "lõpmatult suurt arvu" teatud kontekstis pidada identseteks.
Suurima panuse selle probleemi uurimisse andis Aristoteles. Antiikaja suur mõtleja jagas lõpmatuse potentsiaalseks ja tegelikuks. Viimase all pidas ta silmas lõpmatute asjade olemasolu reaalsust.
Aristotelese sõnul on selle põhikontseptsiooni ideede allikad järgmised:
- aeg;
- väärtuste eraldamine;
- piiri mõiste ja millegi väljaspool seda eksisteerimine;
- loova olemuse ammendamatus;
- mõtlemine, millel pole piire.
Lõpmatuse tänapäevases tõlgenduses ei saa te kvantitatiivset mõõdet määrata, nii et suurima arvu otsimine võib kesta igavesti.
Järeldus
Kas metafoori "Pilk lõpmatusse" ja Grahami numbrit saab mõnes mõttes pidada sünonüümiks? Pigem jah ja ei. Mõlemat on võimatu ette kujutada, isegi kõige tugevama kujutlusvõimega. Kuid nagu juba mainitud, ei saa seda pidada "kõige, kõige rohkem". Teine asi on see, et hetkel ei ole Grahami numbrist suurematel väärtustel kindlaks tehtudfüüsiline meel.
Samuti ei ole sellel lõpmatu arvuomadusi, näiteks:
- ∞ + 1=∞;
- nii paarituid kui paarisarve on lõpmatu arv;
- ∞ - 1=∞;
- paaritute arvude arv on täpselt pool kõigist arvudest;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Kokkuvõtteks: Guinnessi rekordite raamatu järgi on Grahami arv matemaatilise tõestamise praktikas suurim arv. Siiski on numbreid, mis on sellest väärtusest mitu korda suuremad.
Tõenäoliselt on tulevikus vajadus veelgi suuremate "hiiglaste" järele, eriti kui inimene läheb meie päikesesüsteemist kaugemale või mõtleb välja midagi, mis meie teadvuse praegusel tasemel mõeldamatu.
