Jõu projektsioon teljel ja tasapinnal. Füüsika

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Võim on füüsikas üks olulisemaid mõisteid. See põhjustab muutusi mis tahes objektide olekus. Selles artiklis vaatleme, mis see väärtus on, millised jõud sellel on, ning näitame ka, kuidas leida jõu projektsioon teljel ja tasapinnal.

Võim ja selle füüsiline tähendus

Füüsikas on jõud vektorsuurus, mis näitab keha impulsi muutumist ajaühikus. See määratlus käsitleb jõudu dünaamilise omadusena. Staatika seisukoh alt on jõud füüsikas kehade elastse või plastilise deformatsiooni mõõt.

Rahvusvaheline SI-süsteem väljendab jõudu njuutonites (N). Mis on 1 njuuton, lihtsaim viis klassikalise mehaanika teise seaduse näite mõistmiseks. Selle matemaatiline tähistus on järgmine:

F¯=ma¯

Siin F¯ on mingi välisjõud, mis mõjub kehale massiga m ja mille tulemuseks on kiirendus a¯. Ühe njuutoni kvantitatiivne definitsioon tuleneb valemist: 1 N on selline jõud, mis toob kaasa 1 kg massiga keha kiiruse muutumise 1 m/s võrra iga sekundi kohta.

Dünaamika näitedjõu ilmingud on auto või vab alt langeva keha kiirendus Maa gravitatsiooniväljas.

Jõu staatiline ilming, nagu märgitud, on seotud deformatsiooninähtustega. Siin tuleks esitada järgmised valemid:

F=PS

F=-kx

Esimene avaldis seostab jõudu F rõhuga P, mida see avaldab mõnele alale S. Selle valemi abil saab 1 N määratleda kui 1 pasali suurust rõhku, mis rakendatakse 1 m alale. 2^{. Näiteks surub atmosfääriõhu sammas merepinnal kohale 1 m}2 ^{jõuga 10}5^N!

Teine väljend on Hooke'i seaduse klassikaline vorm. Näiteks vedru venitamine või kokkusurumine lineaarse väärtuse x võrra viib vastasjõu F tekkeni (avaldises k on proportsionaalsustegur).

Millised jõud on olemas

Eespool on juba näidatud, et jõud võivad olla staatilised ja dünaamilised. Siin ütleme, et lisaks sellele funktsioonile võivad need olla kontakt- või kaugjõud. Näiteks hõõrdejõud, toetusreaktsioonid on kontaktjõud. Nende ilmumise põhjuseks on Pauli printsiibi kehtivus. Viimane väidab, et kaks elektroni ei saa asuda samas olekus. Sellepärast viib kahe aatomi puudutus nende tõrjumiseni.

Kaugmaa jõud ilmnevad kehade vastasmõju tulemusena teatud kandevälja kaudu. Näiteks on sellised gravitatsioonijõud või elektromagnetiline vastastikmõju. Mõlemal võimsusel on lõpmatu ulatus,nende intensiivsus aga langeb kauguse ruuduna (Coulombi seadused ja gravitatsioon).

Võimsus on vektorsuurus

Olles käsitletud vaadeldava füüsikalise suuruse tähendust, võime jätkata teljele jõu projektsiooni küsimuse uurimisega. Kõigepe alt märgime, et see suurus on vektor, see tähendab, et seda iseloomustab moodul ja suund. Näitame, kuidas arvutada jõumoodulit ja selle suunda.

On teada, et iga vektorit saab antud koordinaatsüsteemis üheselt defineerida, kui on teada selle alguse ja lõpu koordinaatide väärtused. Oletame, et on olemas mingi suunatud segment MN¯. Seejärel saab selle suuna ja mooduli määrata järgmiste avaldiste abil:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Siin vastavad koordinaadid indeksitega 2 punktile N, indeksiga 1 vastavad punktile M. Vektor MN¯ on suunatud punktist M punktile N.

Üldisuse huvides oleme näidanud, kuidas leida kolmemõõtmelises ruumis vektori moodulit ja koordinaate (suunda). Sarnased valemid ilma kolmanda koordinaadita kehtivad ka juhtumi korral tasapinnal.

Seega on jõumoodul selle absoluutväärtus, mida väljendatakse njuutonites. Geomeetria seisukoh alt on mooduliks suunatud lõigu pikkus.

Millele on jõu projektsioontelg?

Kõige mugavam on rääkida suunatud lõikude projektsioonidest koordinaattelgedele ja tasapindadele, kui asetate vastava vektori esm alt lähtepunkti ehk punkti (0; 0; 0). Oletame, et meil on mingi jõuvektor F¯. Asetame selle alguse punkti (0; 0; 0), siis saab vektori koordinaadid kirjutada järgmiselt:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Vektor F¯ näitab jõu suunda ruumis antud koordinaatsüsteemis. Nüüd joonistame risti olevad lõigud F¯ lõpust igale teljele. Kaugust risti ja vastava telje lõikepunktist alguspunktini nimetatakse jõu projektsiooniks teljele. Pole raske arvata, et jõu F¯ korral on selle projektsioonid telgedel x, y ja z x₁, y_{1 ja z 1} vastav alt. Pange tähele, et need koordinaadid näitavad jõu projektsioonide mooduleid (lõikude pikkust).

Nurgad jõu ja selle projektsioonide vahel koordinaattelgedel

Nende nurkade arvutamine pole keeruline. Selle lahendamiseks on vaja ainult teadmisi trigonomeetriliste funktsioonide omadustest ja Pythagorase teoreemi rakendamise oskust.

Näiteks määratleme nurga jõu suuna ja selle projektsiooni vahel x-teljel. Vastava täisnurkse kolmnurga moodustavad hüpotenuus (vektor F¯) ja jalg (lõik x₁). Teine jalg on kaugus vektori F¯ otsast x-teljeni. Nurk α F¯ ja x-telje vahel arvutatakse järgmise valemiga:

α=kaared(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

Nagu näete, on telje ja vektori vahelise nurga määramiseks vajalik ja piisav teada suunatava lõigu lõpu koordinaate.

Teiste telgedega (y ja z) nurkade puhul saate kirjutada sarnaseid avaldisi:

β=kaared(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=kaared(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Pange tähele, et kõigis valemites on lugejates moodulid, mis välistab nüri nurkade ilmumise. Jõu ja selle aksiaalprojektsioonide vahelised nurgad on alati väiksemad või võrdsed 90^o.

Jõud ja selle projektsioonid koordinaattasandil

Tasapinnale suunatud jõu projektsiooni määratlus on sama, mis telje puhul, ainult sel juhul tuleks risti langetada mitte teljele, vaid tasapinnale.

Ruumilise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi puhul on meil kolm vastastikku risti olevat tasapinda xy (horisontaalne), yz (eesmine vertikaalne), xz (külgne vertikaalne). Vektori lõpust nimetatud tasanditele langetatud perpendikulaaride lõikepunktid on:

(x₁; y₁; 0) xy jaoks;

(x₁; 0; z₁) xz jaoks;

(0; y₁; z₁) zy.

jaoks

Kui kõik märgitud punktid on seotud lähtepunktiga, siis saame jõu F¯ projektsiooni vastavale tasapinnale. Mis on jõumoodul, me teame. Iga projektsiooni mooduli leidmiseks peate rakendama Pythagorase teoreemi. Tähistame projektsioonid tasapinnal kui F_xy, F_xz ja F_zy. Siis kehtivad võrdsused nende moodulite jaoks:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Tasapinna projektsioonide ja jõuvektori vahelised nurgad

Eelmises lõigus on antud valemid vaadeldava vektori F¯ tasapinnale projektsioonide moodulite jaoks. Need projektsioonid koos lõigu F¯ ja kaugusega selle otsast tasapinnani moodustavad täisnurksed kolmnurgad. Seetõttu saate kõnealuste nurkade arvutamiseks kasutada trigonomeetriliste funktsioonide määratlust, nagu ka telje projektsioonide puhul. Võite kirjutada järgmised võrdsused:

α=kaared(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=kaared(F_xz/|F¯|)=kaared(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

Oluline on mõista, et nurk jõu F¯ suuna ja selle tasapinnale vastava projektsiooni vahel on võrdne nurgaga F¯ ja selle tasandi vahel. Kui vaadelda seda probleemi geomeetria seisukoh alt, siis võime öelda, et suunatud segment F¯ on tasandite xy, xz ja zy suhtes kaldu.

Kus kasutatakse jõuprojektsioone?

Ül altoodud valemid jõu projektsioonide kohta koordinaattelgedel ja tasapinnal ei paku ainult teoreetiliselt huvi. Neid kasutatakse sageli füüsiliste probleemide lahendamisel. Projektsioonide leidmise protsessi nimetatakse jõu lagunemiseks selle komponentideks. Viimased on vektorid, mille summa peaks andma algse jõuvektori. Üldjuhul on võimalik jõudu lagundada suvalisteks komponentideks, kuid ülesannete lahendamiseks on mugav kasutada projektsioone risti asetsevatele telgedele ja tasapindadele.

Probleemid, mille puhul rakendatakse jõu projektsioonide kontseptsiooni, võivad olla väga erinevad. Näiteks sama Newtoni teine seadus eeldab, et kehale mõjuv välisjõud F¯ peab olema suunatud samamoodi nagu kiirusvektor v¯. Kui nende suunad erinevad mingi nurga võrra, siis selleks, et võrdus kehtiks, tuleks sellesse asendada mitte jõud F¯ ise, vaid selle projektsioon suunale v¯.

Järgmisena toome paar näidet, kus näitame, kuidas salvestatudvalemid.

Jõu projektsioonide määramine tasapinnal ja koordinaattelgedel

Oletame, et eksisteerib mingi jõud F¯, mida esindab vektor, millel on järgmised lõpu- ja alguskoordinaadid:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Tuleb kindlaks määrata jõu moodul, samuti kõik selle projektsioonid koordinaattelgedel ja tasanditel ning nurgad F¯ ja iga selle projektsiooni vahel.

Alustame ülesande lahendamist vektori F¯ koordinaatide arvutamisega. Meil on:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Siis on jõumoodul:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Projektid koordinaatide telgedele on võrdsed vektori F¯ vastavate koordinaatidega. Arvutame nende ja F¯-suuna vahelised nurgad. Meil on:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

Kuna vektori F¯ koordinaadid on teada, on võimalik arvutada jõu projektsioonide mooduleid koordinaattasandil. Kasutades ül altoodud valemeid, saame:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Lõpuks jääb üle arvutada tasapinnal leitud projektsioonide ja jõuvektori vahelised nurgad. Meil on:

α=kaared(F_xy/|F¯|)=kaared (5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=kaared(F_zy/|F¯|)=kaared(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Seega on vektor F¯ xy koordinaattasandile kõige lähemal.

Probleem kaldtasandil libiseva ribaga

Nüüd lahendame füüsilise probleemi, kus on vaja rakendada jõu projektsiooni mõistet. Olgu antud puidust kaldtasand. Selle kaldenurk horisondi suhtes on 45^o. Lennukil on puidust klots massiga 3 kg. Tuleb määrata, millise kiirendusega see latt tasapinnast allapoole liigub, kui on teada, et libisemishõõrdetegur on 0,7.

Esm alt koostame keha liikumisvõrrandi. Kuna sellele mõjuvad ainult kaks jõudu (raskusjõu projektsioon tasapinnale ja hõõrdejõud), on võrrand järgmisel kujul: