Sirge prisma pindala: valemid ja probleemi näide

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Maht ja pindala on iga keha kaks olulist omadust, millel on kolmemõõtmelises ruumis piiratud mõõtmed. Selles artiklis käsitleme tuntud polüheedrite klassi - prismasid. Eelkõige selgub küsimus, kuidas leida sirge prisma pindala.

Mis on prisma?

Prisma on mis tahes hulktahukas, mis on piiratud mitme rööpküliku ja kahe identse hulknurgaga, mis paiknevad paralleelsetel tasapindadel. Neid hulknurki peetakse joonise alusteks ja selle rööpkülikuteks on küljed. Aluse külgede (nurkade) arv määrab kujundi nime. Näiteks alloleval joonisel on kujutatud viisnurkne prisma.

Aluste vahelist kaugust nimetatakse joonise kõrguseks. Kui kõrgus on võrdne mis tahes külgserva pikkusega, on selline prisma sirge. Teine piisav omadus sirge prisma jaoks on see, et selle kõik küljed on ristkülikud või ruudud. Kui agaKui üks külg on üldine rööpkülik, on joonis kaldu. Allpool on näha, kuidas sirged ja kaldus prismad visuaalselt erinevad nelinurksete kujundite näitel.

Sirge prisma pindala

Kui geomeetrilisel kujundil on n-nurkne alus, siis koosneb see n+2 tahust, millest n on ristkülikud. Tähistame aluse külgede pikkused a_i, kus i=1, 2, …, n ja tähistame joonise kõrgust, mis on võrdne joonise pikkusega. külgserv, nagu h. Kõigi tahkude pindala (S) määramiseks lisage iga aluse pindala S_{o ja külgede (ristkülikud) kõik alad. Seega saab S valemi üldkujul kirjutada järgmiselt:}

S=2S_o+ S_b

Kus S_{b on külgpindala.}

Kuna sirge prisma alus võib olla absoluutselt iga tasane hulknurk, siis ei saa anda ühtset valemit S_{oarvutamiseks ja selle väärtuse määramiseks üldiselt Sellisel juhul tuleks läbi viia geomeetriline analüüs. Näiteks kui alus on tavaline n-nurk, mille külg on a, siis arvutatakse selle pindala järgmise valemiga:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Mis puudutab S_{b väärtust, siis selle arvutamise avaldise saab anda. Sirge prisma külgpindala on:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

See tähendab, väärtusS_{b arvutatakse kujundi kõrguse ja selle aluse perimeetri korrutisena.}

Näide probleemi lahendamisest

Rakendame omandatud teadmisi järgmise geomeetrilise ülesande lahendamiseks. Antud prisma, mille alus on täisnurkne kolmnurk, mille küljed on täisnurga all 5 cm ja 7 cm. Joonise kõrgus on 10 cm. Tuleb leida täisnurkse kolmnurkse prisma pindala.

Esm alt arvutame kolmnurga hüpotenuusi. See on võrdne:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Nüüd teeme veel ühe ettevalmistava matemaatilise tehte – arvutame aluse ümbermõõt. See on:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Joonise külgpinna pindala arvutatakse väärtuse P ja kõrguse h=10 cm korrutisena, st S_b=206 cm ^2.

Kogu pinna pindala leidmiseks tuleks leitud väärtusele lisada kaks aluspinda. Kuna täisnurkse kolmnurga pindala määrab pool jalgade korrutist, saame:

2S_o=257/2=35 cm²

Siis saame, et sirge kolmnurkse prisma pindala on 35 + 206=241 cm2.