Vektor on oluline geomeetriline objekt, mille omaduste abil on mugav lahendada paljusid ülesandeid tasapinnal ja ruumis. Selles artiklis me defineerime selle, kaalume selle põhiomadusi ja näitame ka, kuidas ruumivektorit saab kasutada tasapindade määratlemiseks.
Mis on vektor: kahemõõtmeline juhtum
Kõigepe alt on vaja selgelt aru saada, millisest objektist me räägime. Geomeetrias nimetatakse suunatud lõiku vektoriks. Nagu iga segmenti, iseloomustab seda kaks põhielementi: algus- ja lõpp-punkt. Nende punktide koordinaadid määravad üheselt kõik vektori omadused.
Vaatleme vektori näidet tasapinnal. Selleks joonistame kaks vastastikku risti olevat telge x ja y. Märgime suvalise punkti P(x, y). Kui ühendame selle punkti lähtepunktiga (punkt O) ja määrame seejärel suuna punktile P, saame vektori OP¯ (hilisemas artiklis näitab sümboli kohal olev riba, et me käsitleme vektorit). Vektorjoonistus tasapinnal on näidatud allpool.
Siin on näidatud ka teine vektor AB¯ ja näete, et selle omadused on täpselt samad, mis OP¯, kuid see asub koordinaatsüsteemi teises osas. Paralleeltõlke OP¯ abil saate saada lõpmatu arvu samade omadustega vektoreid.
Vektor ruumis
Kõik meid ümbritsevad reaalsed objektid on kolmemõõtmelises ruumis. Kolmemõõtmeliste kujundite geomeetriliste omaduste uurimine tegeleb stereomeetriaga, mis opereerib kolmemõõtmeliste vektorite mõistega. Need erinevad kahemõõtmelistest ainult selle poolest, et nende kirjeldamiseks on vaja lisakoordinaati, mida mõõdetakse piki kolmandat risti x- ja y-telge z.
Altoodud joonisel on kujutatud vektorit ruumis. Selle otsa koordinaadid piki iga telge on tähistatud värviliste segmentidega. Vektori algus asub kõigi kolme koordinaattelje lõikepunktis, see tähendab, et sellel on koordinaadid (0; 0; 0).
Kuna vektor tasapinnal on ruumiliselt suunatud lõigu erijuht, käsitleme artiklis ainult kolmemõõtmelist vektorit.
Vektori koordinaadid põhinevad selle alguse ja lõpu teadaolevatel koordinaatidel
Oletame, et on kaks punkti P(x1; y1; z1) ja Q(x2; y2; z2). Kuidas määrata vektori PQ¯ koordinaate. Esiteks tuleb kokku leppida, milline punktidest on vektori algus ja milline lõpp. Matemaatikas on tavaks kirjutada kõnealune objekt selle suunas, st P on algus, Q- lõpp. Teiseks arvutatakse vektori PQ¯ koordinaadid lõpu ja alguse vastavate koordinaatide erinevusena, see tähendab:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Pange tähele, et vektori suuna muutmisel muudavad selle koordinaadid märki järgmiselt:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
See tähendab, et PQ¯=-QP¯.
Oluline on mõista veel üht asja. Eespool öeldi, et tasapinnas on lõpmatu arv vektoreid, mis on võrdsed antud vektoriga. See fakt kehtib ka ruumilise juhtumi puhul. Tegelikult, kui arvutasime ül altoodud näites PQ¯ koordinaadid, teostasime selle vektori paralleeltranslatsiooni operatsiooni nii, et selle algus kattus alguspunktiga. Vektori PQ¯ saab joonistada suunatud segmendina lähtepunktist punkti M((x2 - x1; y2 – y; z2 – z1).
Vektori omadused
Nagu igal geomeetriaobjektil, on ka vektoril mõned omased omadused, mida saab kasutada probleemide lahendamiseks. Loetleme need lühid alt.
Vektori moodul on suunatud segmendi pikkus. Teades koordinaate, on seda lihtne arvutada. Ül altoodud näites vektori PQ¯ puhul on moodul:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektormoodul sisse lülitatudtasapind arvutatakse sarnase valemiga, ainult ilma kolmanda koordinaadi osaluseta.
Vektorite summa ja erinevus arvutatakse kolmnurga reegli järgi. Alloleval joonisel on näidatud, kuidas neid objekte liita ja lahutada.
Summavektori saamiseks lisage teise algus esimese vektori lõppu. Soovitud vektor algab esimese algusest ja lõpeb teise vektori lõpus.
Erinevus sooritatakse, võttes arvesse asjaolu, et lahutatud vektor asendatakse vastupidise vektoriga ja seejärel sooritatakse ülalkirjeldatud liitmise toiming.
Peale liitmise ja lahutamise on oluline osata vektorit arvuga korrutada. Kui arv on võrdne k-ga, saadakse vektor, mille moodul erineb algsest k korda ja suund on kas sama (k>0) või vastupidine algsele (k<0).
Määratletakse ka vektorite omavahelise korrutamise operatsioon. Toome selle jaoks artiklis välja eraldi lõigu.
Skalaar- ja vektorkorrutis
Oletame, et on kaks vektorit u¯(x1; y1; z1) ja v¯(x2; y2; z2). Vektorit vektorite kaupa saab korrutada kahel erineval viisil:
- Skalaar. Sel juhul on tulemuseks arv.
- Vektor. Tulemuseks on uus vektor.
Vektorite u¯ ja v¯ skalaarkorrutis arvutatakse järgmiselt:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Kus α on antud vektorite vaheline nurk.
Võib näidata, et teades koordinaate u¯ ja v¯, saab nende punktkorrutise arvutada järgmise valemi abil:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skalaarkorrutist on mugav kasutada vektori kaheks risti suunatud segmendiks jagamisel. Seda kasutatakse ka vektorite paralleelsuse või ortogonaalsuse arvutamiseks ja nendevahelise nurga arvutamiseks.
U¯ ja v¯ ristkorrutis annab uue vektori, mis on algsete vektoritega risti ja mille moodul on:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Uue vektori suund alla või üles määratakse parema käe reegliga (parema käe neli sõrme on suunatud esimese vektori lõpust teise lõppu ja pöial jääb ülespoole näitab uue vektori suunda). Allolev joonis näitab suvalise a¯ ja b¯ ristkorrutise tulemust.
Ristkorrutist kasutatakse nii kujundite pindala arvutamiseks kui ka antud tasapinnaga risti oleva vektori koordinaatide määramiseks.
Vektoreid ja nende omadusi on mugav kasutada tasapinna võrrandi määratlemisel.
Tasapinna normaal- ja üldvõrrand
Tasapinna määratlemiseks on mitu võimalust. Üks neist on tasandi üldvõrrandi tuletamine, mis tuleneb otseselt temaga risti oleva vektori ja mõne teadaoleva punkti teadmisest, mis tasandile kuulub.
Oletame, et on olemas vektor n¯ (A; B; C) ja punkt P (x0; y0; z 0). Milline tingimus rahuldab kõik tasandi punktid Q(x; y; z)? See tingimus seisneb mis tahes vektori PQ¯ perpendikulaarsuses normaalväärtusega n¯. Kahe risti asetseva vektori korral muutub punktkorrutis nulliks (cos(90o)=0), kirjutage see:
(n¯PQ¯)=0 või
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Sulud avades saame:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 või
Ax + By + Cz +D=0 kus D=-Ax0-By0-Cz0.
Seda võrrandit nimetatakse tasapinna üldiseks. Näeme, et koefitsiendid x, y ja z ees on risti vektori n¯ koordinaadid. Seda nimetatakse lennukijuhiks.
Tasapinna vektorparameetriline võrrand
Teine viis tasapinna määratlemiseks on kasutada kahte selles asuvat vektorit.
Oletame, et on vektorid u¯(x1; y1; z1) ja v¯(x2; y2; z2). Nagu öeldud, saab neid kõiki ruumis kujutada lõpmatu arvu identsete suunatud segmentidega, seetõttu on tasapinna üheseks määramiseks vaja veel ühte punkti. Olgu see punkt P(x0;y0; z0). Iga punkt Q(x; y; z) asub soovitud tasapinnal, kui vektorit PQ¯ saab esitada u¯ ja v¯ kombinatsioonina. See tähendab, et meil on:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Kus α ja β on mõned reaalarvud. Sellest võrdsusest tuleneb avaldis:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Seda nimetatakse tasandi parameetriliseks vektorvõrrandiks 2 vektori u¯ ja v¯ suhtes. Asendades suvalised parameetrid α ja β, võib leida kõik sellele tasapinnale kuuluvad punktid (x; y; z).
Sellest võrrandist on lihtne saada tasapinna üldavaldist. Selleks piisab, kui leida suunavektor n¯, mis on risti nii vektoritega u¯ kui ka v¯, st rakendada nende vektorkorrutist.
Tasapinna üldvõrrandi määramise probleem
Näitame, kuidas kasutada ül altoodud valemeid geomeetriliste ülesannete lahendamiseks. Oletame, et tasapinna suunavektor on n¯(5; -3; 1). Peaksite leidma tasandi võrrandi, teades, et punkt P(2; 0; 0) kuulub sellele.
Üldvõrrand kirjutatakse järgmiselt:
Ax + By + Cz +D=0.
Kuna tasapinnaga risti olev vektor on teada, on võrrand järgmisel kujul:
5x - 3y + z +D=0.
Jääb leida vaba liige D. Arvutame selle koordinaatide P teadmisest:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Seega on tasapinna soovitud võrrand järgmine:
5x - 3y + z -10=0.
Allpool olev joonis näitab, kuidas saadud tasapind välja näeb.
Punktide näidatud koordinaadid vastavad tasapinna lõikepunktidele x-, y- ja z-telgedega.
Tasapinna määramise probleem kahe vektori ja punkti kaudu
Oletame nüüd, et eelmine tasand on defineeritud teisiti. Teada on kaks vektorit u¯(-2; 0; 10) ja v¯(-2; -10/3; 0), samuti punkt P(2; 0; 0). Kuidas kirjutada tasapinnaline võrrand vektori parameetrilisel kujul? Kasutades vaadeldavat vastavat valemit, saame:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Pange tähele, et selle tasandi võrrandi definitsioone, vektoreid u¯ ja v¯ võib võtta absoluutselt mis tahes, kuid ühe tingimusega: need ei tohi olla paralleelsed. Vastasel juhul ei saa tasapinda üheselt määrata, kuid tala või tasandite hulga jaoks võib leida võrrandi.
