Gaasi agregeeritud oleku omaduste uurimine on tänapäevase füüsika üks olulisi valdkondi. Arvestades gaase mikroskoopilisel skaalal, on võimalik saada kõik süsteemi makroskoopilised parameetrid. See artikkel paljastab gaaside molekulaarkineetilise teooria olulise küsimuse: milline on molekulide Maxwelli jaotus kiiruste järgi.
Ajalooline taust
Idee gaasist kui mikroskoopiliste liikuvate osakeste süsteemist sai alguse Vana-Kreekast. Teadusel kulus selle väljatöötamiseks rohkem kui 1700 aastat.
Gaasi kaasaegse molekulaar-kineetilise teooria (MKT) rajajaks on Daniil Bernoulli aus pidada. 1738. aastal avaldas ta teose "Hüdrodünaamika". Bernoulli tõi selles välja MKT ideed, mida on kasutatud tänaseni. Niisiis uskus teadlane, et gaasid koosnevad osakestest, mis liiguvad juhuslikult igas suunas. Arvukad kokkupõrkedanuma seintega osakesi tajutakse rõhu olemasoluna gaasides. Osakeste kiirused on tihed alt seotud süsteemi temperatuuriga. Teadusringkond ei aktsepteerinud Bernoulli julgeid ideid, sest energia jäävuse seadust polnud veel kehtestatud.
Seejärel tegelesid paljud teadlased gaaside kineetilise mudeli loomisega. Nende hulgas tuleb ära märkida Rudolf Clausius, kes 1857. aastal lõi lihtsa gaasimudeli. Selles pööras teadlane erilist tähelepanu translatsiooni-, pöörlemis- ja vibratsioonivabadusastmete olemasolule molekulides.
1859. aastal sõnastas James Maxwell Clausiuse töid uurides niinimetatud Maxwelli jaotuse molekulide kiiruste järgi. Tegelikult kinnitas Maxwell MKT ideid, toetades neid matemaatilise aparaadiga. Seejärel üldistas Ludwig Boltzmann (1871) Maxwelli jaotuse järeldused. Ta postuleeris molekulide üldisema statistilise jaotuse kiiruste ja energiate järgi. Praegu tuntakse seda Maxwell-Boltzmanni distributsioonina.
Ideaalne gaas. ILC põhipostulaadid
Maxwelli jaotusfunktsiooni mõistmiseks peate selgelt mõistma süsteeme, mille jaoks see funktsioon on rakendatav. Me räägime ideaalsest gaasist. Füüsikas mõistetakse selle mõiste all vedelat ainet, mis koosneb praktiliselt mõõtmeteta osakestest, millel puudub potentsiaalne energia. Need osakesed liiguvad suurel kiirusel, nii et nende käitumise määrab täielikult kineetiline energia. Pealegi on osakeste vahelised kaugused selleks liiga suuredvõrreldes nende suurustega, mistõttu viimased jäetakse tähelepanuta.
Ideaalseid gaase kirjeldatakse MKT-s. Selle peamised postulaadid on järgmised:
- gaasisüsteemid koosnevad suurest hulgast vabadest osakestest;
- osakesed liiguvad juhuslikult erineva kiirusega eri suundades mööda sirgeid trajektoore;
- osakesed põrkuvad veresoonte seintega elastselt (osakeste kokkupõrke tõenäosus on nende väiksuse tõttu väike);
- Süsteemi temperatuuri määrab üheselt osakeste keskmine kineetiline energia, mis säilib ajas, kui süsteemis on saavutatud termodünaamiline tasakaal.
Maxwelli jaotusseadus
Kui inimesel oleks instrument, millega oleks võimalik mõõta üksiku gaasimolekuli kiirust, siis pärast vastava katse läbiviimist oleks ta üllatunud. Katse näitaks, et iga gaasilise süsteemi iga molekul liigub täiesti suvalise kiirusega. Sel juhul tuvastataks ühe keskkonnaga termilises tasakaalus oleva süsteemi raames nii väga aeglased kui ka väga kiired molekulid.
Maxwelli gaasimolekulide kiirusjaotuse seadus on tööriist, mis võimaldab määrata uuritavas süsteemis antud kiirusega v osakeste tuvastamise tõenäosust. Vastav funktsioon näeb välja selline:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Selles avaldises m -osakese (molekuli) mass, k - Boltzmanni konstant, T - absoluutne temperatuur. Seega, kui osakeste keemiline olemus (m väärtus) on teada, on funktsioon f(v) üheselt määratud absoluutse temperatuuriga. Funktsiooni f(v) nimetatakse tõenäosustiheduseks. Kui võtta se alt integraal mingi kiiruspiirangu jaoks (v; v+dv), siis saame osakeste arvu Ni, millel on kiirused määratud intervallis. Seega, kui võtta tõenäosustiheduse f(v) integraal kiiruse piiride 0 kuni ∞ jaoks, saame süsteemis molekulide N koguarvu.
Tõenäosuse tiheduse f(v) graafiline esitus
Tõenäosuse tiheduse funktsioonil on mõnevõrra keeruline matemaatiline kuju, mistõttu pole selle käitumist antud temperatuuril lihtne kujutada. Selle probleemi saab lahendada, kui kujutate seda kahemõõtmelisel graafikul. Maxwelli jaotuse graafiku skemaatiline vaade on näidatud alloleval joonisel.
Näeme, et see algab nullist, kuna molekulide kiirusel v ei saa olla negatiivseid väärtusi. Graafik lõpeb kuskil suurte kiiruste piirkonnas, langedes sujuv alt nulli (f(∞)->0). Silmatorkav on ka järgmine omadus: sujuv kõver on asümmeetriline, väikeste kiiruste korral väheneb see järsem alt.
Tõenäosuse tihedusfunktsiooni f(v) käitumise oluline tunnus on ühe hääldatud maksimumi olemasolu sellel. Funktsiooni füüsikalise tähenduse järgi vastab see maksimum gaasis leiduvate molekulide kiiruste kõige tõenäolisemale väärtuselesüsteem.
Funktsiooni f(v) olulised kiirused
Tõenäosuse tiheduse funktsioon f(v) ja selle graafiline esitus võimaldavad meil määratleda kolm olulist kiiruse tüüpi.
Esimene kiirus, mis on ilmne ja mida eespool mainiti, on kõige tõenäolisem kiirus v1. Graafikul vastab selle väärtus funktsiooni f(v) maksimumile. Just sellel kiirusel ja sellele lähedasel väärtusel on suurem osa süsteemi osakestest. Selle arvutamine pole keeruline, selleks piisab, kui võtta funktsiooni f(v) kiiruse suhtes esimene tuletis ja võrdsustada see nulliga. Nende matemaatiliste toimingute tulemusena saame lõpptulemuse:
v1=√(2RT/M).
Siin R on universaalne gaasikonstant, M on molekulide molaarmass.
Teist tüüpi kiirus on selle keskmine väärtus kõigi N osakeste jaoks. Tähistame seda v2. Seda saab arvutada, integreerides funktsiooni vf(v) kõigi kiiruste peale. Märgitud integratsiooni tulemus on järgmine valem:
v2=√(8RT/(piM)).
Kuna suhe on 8/pi>2, on keskmine kiirus alati veidi suurem kui kõige tõenäolisem.
Igaüks, kes tunneb natuke füüsikat, mõistab, et molekulide keskmine kiirus v2 peab gaasisüsteemis olema väga oluline. See on aga ekslik oletus. Palju olulisem on RMS kiirus. Tähistame sedav3.
Definitsiooni järgi on ruutkeskmine kiirus kõigi osakeste individuaalsete kiiruste ruutude summa, jagatud nende osakeste arvuga ja võetud ruutjuure alla. Seda saab arvutada Maxwelli jaotuse jaoks, kui määratleme funktsiooni v2f(v) kõigi kiiruste integraali. Keskmise ruutkiiruse valem on järgmine:
v3=√(3RT/M).
Võrdsus näitab, et see kiirus on suurem kui v2 ja v1 mis tahes gaasisüsteemi puhul.
Seega asuvad kõik Maxwelli jaotuse graafikul vaadeldud kiiruste tüübid kas ekstreemumil või sellest paremal.
V3 tähtsus
Eespool märgiti, et keskmine ruutkiirus on gaasisüsteemi füüsikaliste protsesside ja omaduste mõistmiseks olulisem kui lihtne keskmine kiirus v2. See on tõsi, kuna ideaalse gaasi kineetiline energia sõltub täpselt v3, mitte v2.
Kui käsitleme monatoomilist ideaalgaasi, siis kehtib selle kohta järgmine avaldis:
mv32/2=3/2kT.
Siin tähistab iga võrrandi osa ühe osakese kineetilist energiat massiga m. Miks sisaldab avaldis täpselt väärtust v3, mitte aga keskmist kiirust v2? Väga lihtne: iga osakese kineetilise energia määramisel ruudustatakse selle individuaalne kiirus v, seejärel kõik kiirusedliidetakse ja jagatakse osakeste arvuga N. See tähendab, et kineetilise energia määramise protseduur viib keskmise ruutkiiruse väärtuseni.
Funktsiooni f(v) sõltuvus temperatuurist
Oleme eespool kindlaks teinud, et molekulaarkiiruste tõenäosustihedus sõltub üheselt temperatuurist. Kuidas funktsioon muutub, kui T suurendatakse või vähendatakse? Allolev tabel aitab sellele küsimusele vastata.
On näha, et suletud süsteemi kuumutamine toob kaasa tipu määrimise ja selle nihkumise suuremate kiiruste suunas. Temperatuuri tõus toob kaasa igat tüüpi kiiruste suurenemise ja igaühe tõenäosustiheduse vähenemise. Tippväärtus väheneb osakeste N arvu säilimise tõttu suletud süsteemis.
Järgmisena lahendame paar ülesannet, et saadud teoreetiline materjal koondada.
Probleem õhus olevate lämmastikumolekulidega
On vaja arvutada kiirused v1, v2 ja v3 õhulämmastiku jaoks temperatuuril 300 K (umbes 27 oC).
Lämmastiku molaarmass N2 on 28 g/mol. Kasutades ül altoodud valemeid, saame:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Hapnikupaagi probleem
Hapnik silindris oli teatud temperatuuril T1. Seejärel pandi õhupall külmemasse ruumi. Kuidas muutub hapnikumolekulide Maxwelli kiirusjaotuse graafik, kui süsteem jõuab termodünaamilisse tasakaalu?
Meenutades teooriat, saame probleemi küsimusele vastata nii: igat tüüpi molekulide kiiruste väärtused vähenevad, funktsiooni f(v) tipp nihkub vasakule, muutuda kitsamaks ja kõrgemaks.
