Füüsikas kaalutakse tasakaalus olevate pöörlevate kehade või süsteemidega seotud probleeme kasutades mõistet "jõumoment". Selles artiklis käsitletakse jõumomendi valemit ja selle kasutamist seda tüüpi probleemide lahendamisel.
Jõu hetk füüsikas
Nagu sissejuhatuses märgitud, keskendub see artikkel süsteemidele, mis võivad pöörata kas ümber telje või punkti ümber. Vaatleme sellise mudeli näidet, mis on näidatud alloleval joonisel.
Näeme, et hall hoob on fikseeritud pöörlemisteljele. Kangi otsas on mingi massiga must kuubik, millele mõjub jõud (punane nool). On intuitiivselt selge, et selle jõu tulemuseks on hoova pöörlemine ümber telje vastupäeva.
Jõumoment on füüsikas suurus, mis võrdub pöörlemistelge ja jõu rakenduspunkti ühendava raadiuse vektorkorrutisega (joonisel roheline vektor) ja välisjõuga ise. See tähendab, et telje suhtes kehtiva jõumomendi valem on kirjutatudjärgmiselt:
M¯=r¯F¯
Selle toote tulemuseks on vektor M¯. Selle suund määratakse kordajavektorite, st r¯ ja F¯ teadmiste põhjal. Ristkorrutise definitsiooni kohaselt peab M¯ olema risti vektorite r¯ ja F¯ moodustatud tasapinnaga ning olema suunatud parema käe reegli järgi (kui parema käe neli sõrme asetatakse piki esimest korrutatud sõrme vektor sekundi lõpu poole, siis pöial näitab, kuhu soovitud vektor on suunatud). Joonisel on näha, kuhu vektor M¯ on suunatud (sinine nool).
Skalaarmärkus M¯
Eelmise lõigu joonisel mõjub jõud (punane nool) kangile nurga all 90o. Üldjuhul saab seda rakendada absoluutselt iga nurga all. Vaadake allolevat pilti.
Siit näeme, et jõud F mõjub kangile L juba teatud nurga Φ all. Selle süsteemi puhul on punkti suhtes kehtiva jõumomendi valem (näidatud noolega) skalaarses vormis järgmiselt:
M=LFsin(Φ)
Avaldisest järeldub, et jõumoment M on seda suurem, mida lähemal on jõu F toime suund nurgale 90o L suhtes. Ja vastupidi, kui F toimib piki L, siis sin(0)=0 ja jõud ei loo momenti (M=0).
Võttes arvesse jõumomenti skalaarses vormis, kasutatakse sageli mõistet "jõu hoob". See väärtus on telje vaheline kaugus (punktpöörlemine) ja vektor F. Rakendades seda definitsiooni ül altoodud joonisele, võime öelda, et d=Lsin(Φ) on jõu kang (võrdsus tuleneb trigonomeetrilise funktsiooni "siinus" definitsioonist). Jõuhoova abil saab hetke M valemi ümber kirjutada järgmiselt:
M=dF
M
füüsiline tähendus
Arvestatud füüsikaline suurus määrab välisjõu F võime avaldada süsteemile pöörlevat mõju. Keha pöördliikumisele viimiseks on vaja seda teavitada mingist hetkest M.
Selle protsessi suurepärane näide on ruumi ukse avamine või sulgemine. Käepidemest kinni hoides pingutab inimene ja keerab ukse hingedele. Igaüks saab sellega hakkama. Kui proovite ust avada, toimides sellele hingede lähedal, peate selle liigutamiseks tegema suuri jõupingutusi.
Teine näide on mutri lahti keeramine mutrivõtmega. Mida lühem see klahv on, seda keerulisem on ülesannet täita.
Näidatud tunnused on demonstreeritud eelmises lõigus toodud jõumomendi valemiga üle õla. Kui M loetakse konstantseks väärtuseks, siis mida väiksem d, seda suuremat F tuleb rakendada antud jõumomendi loomiseks.
Süsteemis on mitu toimivat jõudu
Eespool vaadeldi juhtumeid, kui pöörlemisvõimelisele süsteemile mõjub ainult üks jõud F, aga mis siis, kui selliseid jõude on mitu? Tõepoolest, see olukord on sagedasem, kuna jõud võivad süsteemile mõjudaerineva iseloomuga (gravitatsiooniline, elektriline, hõõrdumine, mehaaniline ja teised). Kõigil neil juhtudel saab tulemuseks oleva jõumomendi M¯ saada kõigi momentide Mi¯ vektorsumma abil, st:
M¯=∑i(Mi¯), kus i on tugevusarv Fi
Momentide liitlikkuse omadusest tuleneb oluline järeldus, mida nimetatakse Varignoni teoreemiks, mis sai nime 17. sajandi lõpu – 18. sajandi alguse matemaatiku – prantslase Pierre Varignoni järgi. See kõlab: "Kõigi vaadeldavale süsteemile mõjuvate jõudude momentide summat saab esitada ühe jõu momendina, mis on võrdne kõigi teiste summaga ja rakendatakse teatud punktile." Matemaatiliselt saab teoreemi kirjutada järgmiselt:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Seda olulist teoreemi kasutatakse praktikas sageli kehade pöörlemise ja tasakaalu probleemide lahendamiseks.
Kas jõumoment mõjub?
Analüüsides ül altoodud valemeid skalaar- või vektorkujul, võime järeldada, et M väärtus on mingi töö. Tõepoolest, selle mõõde on Nm, mis SI-s vastab džaulile (J). Tegelikult ei ole jõumoment töö, vaid ainult suurus, mis on võimeline seda tegema. Selleks on vaja süsteemis ringliikumist ja pikaajalist tegevust M. Seetõttu kirjutatakse jõumomendi töö valem järgmiselt:
A=Mθ
BSelles avaldises on θ nurk, mille kaudu jõumomendi M mõjul pöörlemine toimus. Selle tulemusena saab tööühiku kirjutada kujul Nmrad või Jrad. Näiteks väärtus 60 Jrad näitab, et kui pöörata 1 radiaani võrra (ligikaudu 1/3 ringist), siis jõud F, mis loob hetke M, tegi 60 džauli tööd. Seda valemit kasutatakse sageli probleemide lahendamisel süsteemides, kus toimivad hõõrdejõud, nagu allpool näidatud.
Jõu- ja tõukemoment
Nagu näidatud, põhjustab hetke M mõju süsteemile pöörleva liikumise ilmnemise selles. Viimast iseloomustab suurus, mida nimetatakse "hooguks". Seda saab arvutada järgmise valemi abil:
L=Iω
Siin I on inertsimoment (väärtus, mis mängib pöörlemisel sama rolli kui mass keha lineaarsel liikumisel), ω on nurkkiirus, see on seotud joonkiirusega valemiga ω=v/r.
Mõlemad hetked (moment ja jõud) on omavahel seotud järgmise väljendiga:
M=Iα, kus α=dω / dt on nurkiirendus.
Toome välja veel ühe ülesannete lahendamisel olulise valemi jõumomentide tööks. Selle valemi abil saate arvutada pöörleva keha kineetilise energia. Ta näeb välja selline:
Ek=1/2Iω2
Järgmisena esitame kaks ülesannet koos lahendustega, kus näitame, kuidas vaadeldavaid füüsikalisi valemeid kasutada.
Mitme keha tasakaal
Esimene ülesanne on seotud süsteemi tasakaaluga, milles toimivad mitmed jõud. pealAlloleval joonisel on kujutatud süsteem, millele mõjuvad kolm jõudu. Tuleb välja arvutada, millise massiga tuleb objekt selle kangi külge riputada ja millisel hetkel seda teha, et see süsteem oleks tasakaalus.
Ülesande tingimustest saame aru, et selle lahendamiseks tuleks kasutada Varignoni teoreemi. Probleemi esimesele osale saab kohe vastuse, kuna kangi külge riputatava eseme kaal on:
P=F1 - F2 + F3=20–10 + 25=35 H
Siinsed märgid on valitud võttes arvesse, et jõud, mis pöörab kangi vastupäeva, tekitab negatiivse momendi.
Punkti d asukoht, kuhu see raskus tuleks riputada, arvutatakse järgmise valemiga:
M1 - M2 + M3=dP=720–510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Pange tähele, et gravitatsioonimomendi valemit kasutades arvutasime kolme jõu tekitatud väärtuse M ekvivalentväärtuse. Selleks, et süsteem oleks tasakaalus, on vaja 35 N kaaluv kere riputada punktis 4, 714 m kaugusel kangi teisel pool asuvast teljest.
Ketta teisaldamise probleem
Järgmise ülesande lahendus põhineb hõõrdejõu momendi ja pöördekeha kineetilise energia valemi kasutamisel. Ülesanne: Antud on ketas raadiusega r=0,3 meetrit, mis pöörleb kiirusega ω=1 rad/s. Tuleb arvutada, kui kaugele see võib pinnal liikuda, kui veerehõõrdetegur on Μ=0,001.
Seda probleemi on kõige lihtsam lahendada, kui kasutate energia jäävuse seadust. Meil on ketta esialgne kineetiline energia. Kui see hakkab veerema, kulub kogu see energia hõõrdejõu toimel pinna soojendamiseks. Võrdsustades mõlemad kogused, saame avaldise:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Valemi esimene osa on ketta kineetiline energia. Teine osa on ketta servale (M=Fr) rakendatud hõõrdejõu F=ΜN/r momendi töö.
Arvestades, et N=mg ja I=1/2mr2, arvutame θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Kuna 2pi radiaani vastab pikkusele 2pir, siis saame, et nõutav vahemaa, mille ketas läbib, on:
s=θr=2,293580,3=0,688 m ehk umbes 69 cm
Pange tähele, et ketta mass seda tulemust ei mõjuta.
