Praktikas tekivad sageli ülesanded, mis nõuavad oskust ehitada erineva kujuga geomeetriliste kujundite lõike ja leida sektsioonide pindala. Selles artiklis vaatleme, kuidas on ehitatud prisma, püramiidi, koonuse ja silindri olulised lõigud ning kuidas arvutada nende pindala.
3D-figuurid
Stereomeetriast on teada, et absoluutselt igat tüüpi kolmemõõtmelist kujundit piiravad mitmed pinnad. Näiteks selliste hulktahukate nagu prisma ja püramiid puhul on need pinnad hulknurksed küljed. Silindri ja koonuse puhul räägime silindriliste ja kooniliste kujundite pöördepindadest.
Kui võtame tasapinna ja ristame meelevaldselt ruumilise kujundi pinna, saame lõigu. Selle pindala on võrdne selle tasapinna osa pindalaga, mis jääb joonise ruumalasse. Selle ala minimaalne väärtus on null, mis realiseerub, kui tasapind puudutab joonist. Näiteks saadakse lõik, mille moodustab üks punkt, kui tasapind läbib püramiidi või koonuse tippu. Ristlõikepinna maksimaalne väärtus sõltubfiguuri ja tasapinna suhteline asukoht, samuti kujundi kuju ja suurus.
Allpool vaatleme, kuidas arvutada moodustatud sektsioonide pindala kahe pöördekuju (silinder ja koonus) ja kahe hulktahuka (püramiid ja prisma) jaoks.
Silinder
Ringsilinder on ristküliku pöörlemiskuju ümber selle mis tahes külje. Silindrit iseloomustavad kaks lineaarset parameetrit: aluse raadius r ja kõrgus h. Allolev diagramm näitab, kuidas näeb välja ümmargune sirge silinder.
Selle joonise jaoks on kolm olulist jaotise tüüpi:
- ring;
- ristkülikukujuline;
- elliptiline.
Elliptiline moodustub selle tulemusena, et tasapind lõikub figuuri külgpinnaga selle aluse suhtes teatud nurga all. Ümmargune on silindri põhjaga paralleelse külgpinna lõiketasapinna lõikumise tulemus. Lõpuks saadakse ristkülikukujuline, kui lõiketasand on paralleelne silindri teljega.
Ringikujuline pindala arvutatakse järgmise valemiga:
S1=pir2
Silindri telge läbiva teljesuunalise, st ristkülikukujulise sektsiooni pindala on määratletud järgmiselt:
S2=2rh
Koonusosad
Koonus on täisnurkse kolmnurga pöördekuju ümber ühe jala. Koonusel on üks ülaosa ja ümar alus. Selle parameetrid on ka raadius r ja kõrgus h. Allpool on näidatud paberikoonuse näide.
Koonuslõikeid on mitut tüüpi. Loetleme need:
- ring;
- elliptiline;
- parabool;
- hüperboolne;
- kolmnurkne.
Need asendavad üksteist, kui suurendate pöördetasandi kaldenurka ümara aluse suhtes. Lihtsaim viis on kirjutada üles ringikujulise ja kolmnurga ristlõikepindala valemid.
Ringlõige moodustub koonilise pinna ja alusega paralleelse tasapinna lõikumise tulemusena. Selle piirkonna jaoks kehtib järgmine valem:
S1=pir2z2/h 2
Siin z on kaugus joonise ülaosast moodustatud osani. On näha, et kui z=0, siis tasand läbib ainult tippu, seega on ala S1 võrdne nulliga. Alates z < h on uuritava lõigu pindala alati väiksem kui selle aluse väärtus.
Kolmnurkne saadakse siis, kui tasapind lõikub kujundiga piki selle pöördetelge. Saadud sektsiooni kuju on võrdhaarne kolmnurk, mille külgedeks on koonuse aluse ja kahe generaatori läbimõõt. Kuidas leida kolmnurga ristlõikepindala? Vastus sellele küsimusele on järgmine valem:
S2=rh
See võrdus saadakse, rakendades suvalise kolmnurga pindala valemit läbi selle aluse ja kõrguse.
Prisma sektsioonid
Prisma on suur figuuride klass, mida iseloomustab kahe identse, üksteisega paralleelse hulknurkse aluse olemasolu,ühendatud rööpkülikutega. Prisma mis tahes lõik on hulknurk. Vaadeldavate kujundite mitmekesisust silmas pidades (viltused, sirged, n-nurksed, korrapärased, nõgusad prismad) on ka nende lõigete mitmekesisus suur. Allpool käsitleme ainult mõningaid erijuhtumeid.
Kui lõiketasand on alusega paralleelne, võrdub prisma ristlõikepindala selle aluse pindalaga.
Kui tasapind läbib kahe aluse geomeetrilisi keskpunkte ehk on paralleelne joonise külgservadega, siis moodustatakse lõikes rööpkülik. Sirgete ja korrapäraste prismade puhul on vaadeldav lõikevaade ristkülik.
Püramiid
Püramiid on veel üks hulktahukas, mis koosneb n-nurgast ja n kolmnurgast. Kolmnurkse püramiidi näide on näidatud allpool.
Kui lõige on joonestatud tasapinnaga, mis on paralleelne n-nurga põhjaga, on selle kuju täpselt võrdne aluse kujuga. Sellise lõigu pindala arvutatakse järgmise valemiga:
S1=So(h-z)2/h 2
Kus z on kaugus alusest lõiketasandini, So on aluse pindala.
Kui lõiketasand sisaldab püramiidi tippu ja lõikub selle alusega, siis saame kolmnurkse lõigu. Selle pindala arvutamiseks peate kasutama kolmnurga jaoks sobivat valemit.
