Matemaatikaõpetajad tutvustavad oma õpilastele "kombinatsiooniprobleemi" mõistet juba viiendas klassis. See on vajalik selleks, et nad saaksid tulevikus keerulisemate ülesannetega töötada. Ülesande kombinatoorset olemust võib mõista kui võimalust seda lahendada lõpliku hulga elementide loendamise teel.
Selle järjekorra ülesannete peamine märk on neile esitatav küsimus, mis kõlab nagu "Mitu võimalust?" või "Mitmel viisil?" Kombinatoorsete ülesannete lahendamine sõltub otseselt sellest, kas lahendaja sai tähendusest aru, kas ta suutis õigesti kujutada ülesandes kirjeldatud tegevust või protsessi.
Kuidas lahendada kombinatoorset ülesannet?
Vaatatava probleemi kõigi ühenduste tüüp on oluline õigesti määrata, kuid tuleb kontrollida, kas selles on elementide kordusi, kas elemendid ise muutuvad, kas nende järjekord mängib suurt rolli ja ka mõne muu suhtestegurid.
Kombinatoorsel probleemil võib olla mitmeid piiranguid, mida saab ühendustele seada. Sel juhul peate selle lahenduse täielikult välja arvutama ja kontrollima, kas need piirangud mõjutavad kõigi elementide ühendamist. Kui mõju on tõesti olemas, tuleb kontrollida, milline.
Kust alustada?
Esm alt peate õppima, kuidas lahendada lihtsamaid kombinatoorseid ülesandeid. Lihtsa materjali valdamine võimaldab teil õppida mõistma keerukamaid ülesandeid. Soovitatav on kõigepe alt alustada probleemide lahendamist piirangutega, mida lihtsama variandi kaalumisel arvesse ei võeta.
Samuti on soovitatav proovida kõigepe alt lahendada need probleemid, mille puhul peate arvestama väiksema arvu levinud elementidega. Nii saad aru näidiste loomise põhimõttest ja õpid neid edaspidi ise looma. Kui probleem, mille lahendamiseks peate kasutama kombinatoorikat, koosneb mitme lihtsama kombinatsioonist, on soovitatav see lahendada osade kaupa.
Kombinatoorsete ülesannete lahendamine
Selliseid probleeme võib tunduda lihtne lahendada, kuid kombinatoorikat on üsna raske omandada, mõnda neist pole viimased sadu aastaid lahendatud. Üks kuulsamaid probleeme on erijärjekorras maagiliste ruutude arvu määramine, kui arv n on suurem kui 4.
Kombinatoorne probleem on tihed alt seotud tõenäosusteooriaga, mis ilmus keskajal. Tõenäosussündmuse päritolu saab arvutada ainult kombinatoorika abil, sel juhul tuleb optimaalse lahenduse saamiseks kõik tegurid kohati vahelduda.
Probleemi lahendamine
Kombinatoorseid ülesandeid koos lahendusega kasutatakse selleks, et õpetada õpilastele ja üliõpilastele selle materjaliga töötamist. Üldjuhul peaksid need tekitama inimeses huvi ja soovi leida ühine lahendus. Lisaks matemaatilistele arvutustele on vaja rakendada vaimset pinget ja kasutada oletusi.
Püstitatud ülesannete lahendamise käigus saab laps arendada oma matemaatilist kujutlusvõimet ja kombinatoorseid võimeid, see võib talle edaspidi tõsiselt kasuks tulla. Tasapisi tuleb tõsta lahendatavate ülesannete keerukust, et mitte unustada olemasolevaid teadmisi ja lisada neile uusi.
1. meetod. Rind
Kombinatoorsete ülesannete lahendamise meetodid on üksteisest väga erinevad, kuid neid kõiki saab õpilane vastuse saamiseks kasutada. Üks lihtsamaid, kuid samas ka pikemaid viise on toore jõud. Sellega peate lihts alt läbi käima kõik võimalikud lahendused ilma skeeme ja tabeleid koostamata.
Reeglina on sellise ülesande puhul küsimus seotud sündmuse tekke võimalike variantidega, näiteks: milliseid numbreid saab teha numbrite 2, 4, 8, 9 abil? Kõiki valikuid läbi otsides koostatakse vastus, mis koosneb võimalikest kombinatsioonidest. See meetod on suurepärane, kui võimalikke valikuid on paljusuhteliselt väike.
2. meetod. Valikute puu
Mõnda kombinatoorset probleemi saab lahendada ainult siis, kui koostate diagramme, mis sisaldavad üksikasjalikku teavet iga elemendi kohta. Võimalike valikute puu koostamine on veel üks viis vastuse leidmiseks. See sobib mitte liiga raskete probleemide lahendamiseks, mille puhul on olemas lisatingimus.
Sellise ülesande näide:
Milliseid viiekohalisi arve saab arvudest 0, 1, 7, 8 teha? Selle lahendamiseks tuleb ehitada puu kõigist võimalikest kombinatsioonidest ja on lisatingimus - number ei saa alata nullist. Seega koosneb vastus kõigist numbritest, mis algavad numbritega 1, 7 või 8
3. meetod. Tabelite moodustamine
Kombinatoorseid ülesandeid saab lahendada ka tabelite abil. Need sarnanevad võimalike valikute puuga, kuna pakuvad olukorrale visuaalset lahendust. Õige vastuse leidmiseks peate moodustama tabeli ja see peegeldub: horisontaalsed ja vertikaalsed tingimused on samad.
Võimalikud vastused saadakse veergude ja ridade ristumiskohas. Sel juhul ei saa samade andmetega veeru ja rea ristumiskohas vastuseid, need ristumiskohad tuleb spetsiaalselt tähistada, et mitte sattuda segadusse lõpliku vastuse koostamisel. Õpilased ei vali seda meetodit sageli, paljud eelistavad valikutega puud.
4. meetod. Korrutamine
Kombinatoorsete ülesannete lahendamiseks on veel üks viis – korrutamise reegel. Temaga on kõik korrassobib juhul, kui vastav alt tingimusele ei ole vaja kõiki võimalikke lahendusi loetleda, tuleb lihts alt leida nende maksimaalne arv. See meetod on ainulaadne, seda kasutatakse väga sageli, kui alles hakatakse lahendama kombinatoorseid ülesandeid.
Sellise ülesande näide võib välja näha järgmine:
6 inimest ootavad koridoris eksamit. Mitut võimalust saate kasutada nende paigutamiseks üldloendis? Vastuse saamiseks peate selgitama, kui palju neid võib olla esimesel kohal, kui palju teisel, kolmandal jne. Vastuseks on number 720
Kombinatoorika ja selle tüübid
Kombinatoorne ülesanne ei ole ainult koolimaterjal, seda õpivad ka üliõpilased. Teaduses on mitut tüüpi kombinatoorikat ja igaühel neist on oma missioon. Loendav kombinatoorika peaks kaaluma võimalike konfiguratsioonide loendamist ja loendamist koos lisatingimustega.
Struktuurne kombinatoorika on ülikooli programmi komponent, see uurib matroidide ja graafikute teooriat. Ekstreemne kombinatoorika on seotud ka ülikooli materjaliga ja siin on individuaalsed piirangud. Teine osa on Ramsey teooria, mis käsitleb struktuuride uurimist elementide juhuslikes variatsioonides. Samuti on olemas lingvistiline kombinatoorika, mis käsitleb teatud elementide omavahelist ühilduvust.
Kombinatoorsete ülesannete õpetamise meetod
Vastav alt õpetuseleplaanid, õpilaste vanus, mis on mõeldud selle materjaliga esmaseks tutvumiseks ja kombinatoorsete ülesannete lahendamiseks, on 5. hinne. Just seal pakutakse esimest korda seda teemat õpilastele käsitlemiseks, tutvutakse kombinatooriumi fenomeniga ja püütakse lahendada neile pandud ülesandeid. Samas on väga oluline, et kombinatoorse ülesande püstitamisel kasutataks meetodit, mil lapsed ise otsivad küsimustele vastuseid.
Muuhulgas on pärast selle teemaga tutvumist palju lihtsam tutvustada faktoriaali mõistet ja kasutada seda võrrandite, ülesannete jms lahendamisel. Seega on kombinatooriumil edasiõppes oluline roll.
Kombinatoorsed probleemid: miks neid vaja on?
Kui teate, mis on kombinatoorsed probleemid, ei teki teil nende lahendamisel raskusi. Nende lahendamise tehnika võib olla kasulik, kui peate koostama ajakavasid, töögraafikuid või keerukaid matemaatilisi arvutusi, mis ei sobi elektroonikaseadmete jaoks.
Matemaatika ja informaatika süvaõppega koolides õpitakse täiendav alt kombinatoorseid ülesandeid, selleks koostatakse erikursused, õppevahendid ja ülesanded. Reeglina saab ühtsesse matemaatika riigieksamisse lisada mitmeid seda tüüpi ülesandeid, tavaliselt on need C osas “peidetud”.
Kuidas kombinatoorset ülesannet kiiresti lahendada?
On väga oluline osata näha kombinatoorset probleemikiiresti, kuna sellel võib olla varjatud sõnastus, on see eriti oluline eksami sooritamisel, kus iga minut loeb. Kirjutage ülesande tekstis nähtav teave eraldi paberile ja proovige seda analüüsida neljal teile teadaoleval viisil.
Kui saate infot tabelisse või muusse formatsiooni panna, proovige see lahendada. Kui te ei saa seda klassifitseerida, on sel juhul kõige parem see mõneks ajaks jätta ja minna teise ülesande juurde, et mitte raisata väärtuslikku aega. Seda olukorda saab vältida, kui lahendate eelnev alt teatud arvu seda tüüpi ülesandeid.
Kust ma leian näiteid?
Ainus asi, mis aitab teil õppida lahendama kombinatoorseid probleeme, on näited. Need leiate spetsiaalsetest matemaatikakogudest, mida müüakse õppekirjanduse kauplustes. Se alt leiab aga infot ainult üliõpilastele, kooliõpilased peavad ülesandeid lisaks otsima, reeglina mõtlevad neile ülesanded välja teised õpetajad.
Kõrgkooliõpetajad usuvad, et õpilased peavad koolitama ja pakkuma neile pidev alt täiendavat õppekirjandust. Üks parimaid kogumikke on "Diskreetanalüüsi meetodid kombinatoorsete probleemide lahendamisel", mis on kirjutatud 1977. aastal ja mida avaldasid korduv alt riigi juhtivad kirjastused. Se alt leiate ülesandeid, mis olid olulised sel ajal ja jäävad aktuaalseks ka tänapäeval.
Mis saab siis, kui peate koostama kombinatoorse ülesande?
Kõige sagedamini tuleb koostada kombinatoorseid probleemeõpetajad, kes on kohustatud õpetama õpilasi raamidest välja mõtlema. Siin sõltub kõik koostaja loomingulisest potentsiaalist. Soovitatav on pöörata tähelepanu olemasolevatele kogudele ja püüda koostada probleem nii, et see ühendaks mitu võimalust selle lahendamiseks korraga ja sisaldaks raamatust erinevaid andmeid.
Ülikooliõpetajad on selles osas palju vabamad kui kooliõpetajad, sageli annavad nad oma õpilastele ülesandeks ise kombinatoorsed probleemid koos üksikasjalike lahendusmeetodite ja selgitustega välja mõelda. Kui sa pole üks ega teine, võid küsida abi neilt, kes asjast päriselt aru saavad, kui ka palgata eraõpetaja. Ühest akadeemilisest tunnist piisab mitme sarnase ülesande lahendamiseks.
Kombinatoorika – tulevikuteadus?
Paljud matemaatika ja füüsika valdkonna spetsialistid usuvad, et just kombinatoorne probleem võib saada tõukejõuks kõigi tehnikateaduste arengus. Piisab, kui võtta teatud probleemide lahendamisel mittestandardne lähenemine ja siis on võimalik vastata küsimustele, mis on teadlasi juba mitu sajandit kummitanud. Mõned neist väidavad tõsiselt, et kombinatoorika on abiks kõigile kaasaegsetele teadustele, eriti astronautikale. Laevade lennutrajektooride arvutamine kombinatoorsete ülesannete abil on palju lihtsam ja need võimaldavad teil määrata ka teatud taevakehade täpse asukoha.
Ebastandardse lähenemisviisi rakendamine on Aasia riikides juba ammu alanud, kus õpilased isegikorrutamist, lahutamist, liitmist ja jagamist lahendatakse kombinatoorsete meetoditega. Paljude Euroopa teadlaste üllatuseks see tehnika tõesti töötab. Euroopa koolid on seni alles hakanud õppima oma kolleegide kogemustest. Millal täpselt kombinatoorikast saab üks matemaatika põhiharusid, on raske arvata. Nüüd uurivad teadust maailma juhtivad teadlased, kes soovivad seda populariseerida.
