Kooli geomeetria kursus on jagatud kaheks suureks osaks: planimeetria ja tahke geomeetria. Stereomeetria uurib ruumifiguure ja nende omadusi. Selles artiklis vaatleme, mis on sirge prisma, ja anname valemid, mis kirjeldavad selle omadusi, nagu diagonaali pikkus, maht ja pindala.
Mis on prisma?
Kui koolilastel palutakse nimetada prisma definitsioon, vastavad nad, et see kujund on kaks identset paralleelset hulknurka, mille küljed on ühendatud rööpkülikutega. See määratlus on võimalikult üldine, kuna see ei sea tingimusi hulknurkade kujule ega nende vastastikusele paigutusele paralleelsetes tasandites. Lisaks eeldab see ühendavate rööpkülikute olemasolu, mille klassi kuuluvad ka ruut, romb ja ristkülik. Allpool näete, mis on nelinurkne prisma.
Näeme, et prisma on hulktahukas (polühedron), mis koosneb n + 2-stküljed, 2 × n tippu ja 3 × n serva, kus n on ühe hulknurga külgede (tippude) arv.
Mõlemat hulknurka nimetatakse tavaliselt joonise alusteks, teisi tahke nimetatakse prisma külgedeks.
Sirge prisma mõiste
Prismasid on erinevat tüüpi. Niisiis, nad räägivad korrapärastest ja ebakorrapärastest kujunditest, kolmnurksetest, viisnurksetest ja muudest prismadest, on kumerad ja nõgusad kujundid ning lõpuks on need kaldu ja sirged. Viimasest räägime lähem alt.
Täisprisma on selline uuritud hulktahukate klassi kujund, mille kõik külgmised nelinurgad on täisnurga all. Selliseid nelinurki on ainult kahte tüüpi – ristkülik ja ruut.
Figuuri vaadeldaval kujul on oluline omadus: sirge prisma kõrgus võrdub selle külgserva pikkusega. Pange tähele, et kõik joonise külgmised servad on üksteisega võrdsed. Mis puutub külgpindadesse, siis üldiselt ei ole need üksteisega võrdsed. Nende võrdsus on võimalik, kui lisaks sellele, et prisma on sirge, on see ka õige.
Allpool olev joonis kujutab sirget viisnurkse alusega kujundit. On näha, et kõik selle külgpinnad on ristkülikud.
Prisma diagonaalid ja selle lineaarsed parameetrid
Iga prisma peamised lineaarsed karakteristikud on selle kõrgus h ja aluse külgede pikkused ai, kus i=1, …, n. Kui alus on tavaline hulknurk, siis selle omaduste kirjeldamiseks piisab ühe külje pikkuse a teadmisest. Märgitud lineaarsete parameetrite tundmine võimaldab meil üheseltdefineerige kujundi sellised omadused nagu selle maht või pind.
Sirge prisma diagonaalid on segmendid, mis ühendavad kahte mittekülgnevat tippu. Selliseid diagonaale võib olla kolme tüüpi:
- lamades alustasandites;
- asub külgmiste ristkülikute tasapindadel;
- köite juurde kuuluvad figuurid.
Nende põhjaga seotud diagonaalide pikkused tuleks määrata sõltuv alt n-nurga tüübist.
Külgede ristkülikute diagonaalid arvutatakse järgmise valemi abil:
d1i=√(ai2+ h2).
Helitugevuse diagonaalide määramiseks peate teadma vastava aluse diagonaali pikkuse ja kõrguse väärtust. Kui mõnda aluse diagonaali tähistatakse tähega d0i, siis helitugevuse diagonaal d2i arvutatakse järgmiselt:
d2i=√(d0i2+ h2).
Näiteks tavalise nelinurkse prisma korral on helitugevuse diagonaali pikkus:
d2=√(2 × a2+ h2).
Pange tähele, et täisnurksel kolmnurksel prismal on ainult üks kolmest nimetatud diagonaalitüübist: külgdiagonaal.
Uuritud kujundite klassi pind
Pinna pindala on figuuri kõigi tahkude pindalade summa. Kõigi nägude visualiseerimiseks peaksite prismast skannima. Näitena on selline viisnurkse kujundi pühkimine näidatud allpool.
Näeme, et tasapinnaliste kujundite arv on n + 2 ja n on ristkülikud. Kogu pühkimise pindala arvutamiseks lisage kahe identse aluse alad ja kõigi ristkülikute pindalad. Siis näeb vastav valem välja selline:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
See võrdus näitab, et uuritud tüüpi prismade külgpindala on võrdne joonise kõrguse ja selle aluse perimeetri korrutisega.
So põhipindala saab arvutada sobiva geomeetrilise valemi abil. Näiteks kui täisprisma alus on täisnurkne kolmnurk, siis saame:
So=a1 × a2 / 2.
Kus a1 ja2 on kolmnurga jalad.
Kui alus on võrdsete nurkade ja külgedega n-nurk, on õiglane järgmine valem:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Volume valem
Iga liiki prisma ruumala määramine ei ole keeruline ülesanne, kui on teada selle põhipindala So ja kõrgus h. Korrutades need väärtused kokku, saame joonise mahu V, see on:
V=So × h.
Kuna sirge prisma parameeter h on võrdne külgserva pikkusega, taandub kogu ruumala arvutamise probleem pindala So arvutamisele. Meie kohalon juba öelnud paar sõna ja andnud paar valemit So määramiseks. Siinkohal märgime ainult, et suvalise kujuga aluse korral tuleks see jagada lihtsateks segmentideks (kolmnurgad, ristkülikud), arvutada igaühe pindala ja seejärel lisada kõik alad, et saada S o.
