Teie tähelepanu juhitud artiklis pakume näiteid matemaatiliste mudelite kohta. Lisaks pöörame tähelepanu mudelite loomise etappidele ja analüüsime mõningaid matemaatilise modelleerimisega seotud ülesandeid.
Veel üks meie küsimus puudutab matemaatilisi mudeleid majanduses, näiteid, mille definitsiooni käsitleme veidi hiljem. Teeme ettepaneku alustada vestlust "mudeli" mõistega, kaaluda lühid alt nende klassifikatsiooni ja liikuda edasi meie põhiküsimuste juurde.
Mudelli mõiste
Kuuleme sageli sõna "modell". Mis see on? Sellel terminil on palju definitsioone, siin on neist vaid kolm:
- konkreetne objekt, mis on loodud teabe vastuvõtmiseks ja salvestamiseks, peegeldades selle objekti originaali mõningaid omadusi või omadusi jne (seda konkreetset objekti saab väljendada erinevates vormides: mentaalne, märkide abil kirjeldus, ja nii edasi);
- mudel tähendab ka mis tahes konkreetse olukorra, elu võijuhtimisalane;
- mudel võib olla mis tahes objekti vähendatud koopia (need luuakse üksikasjalikumaks uurimiseks ja analüüsiks, kuna mudel peegeldab struktuuri ja seoseid).
Kõige varem öeldu põhjal võime teha väikese järelduse: mudel võimaldab teil keerulist süsteemi või objekti üksikasjalikult uurida.
Kõiki mudeleid saab liigitada mitme kriteeriumi järgi:
- kasutusvaldkonna järgi (hariduslik, eksperimentaalne, teaduslik ja tehniline, mängud, simulatsioonid);
- dünaamika järgi (staatiline ja dünaamiline);
- teadmiste harude kaupa (füüsikalised, keemilised, geograafilised, ajaloolised, sotsioloogilised, majanduslikud, matemaatilised);
- esitluse teel (materjal ja teave).
Teabemudelid jagunevad omakorda märgilisteks ja verbaalseteks. Ja ikooniline – nii arvutis kui ka mitte arvutis. Liigume nüüd matemaatilise mudeli näidete üksikasjaliku käsitlemise juurde.
Matemaatiline mudel
Nagu võite arvata, peegeldab matemaatiline mudel objekti või nähtuse mõningaid tunnuseid spetsiaalsete matemaatilisi sümboleid kasutades. Matemaatika on vajalik selleks, et modelleerida ümbritseva maailma mustreid selle omas keeles.
Matemaatilise modelleerimise meetod sai alguse üsna kaua aega tagasi, tuhandeid aastaid tagasi koos selle teaduse tulekuga. Tõuke selle modelleerimismeetodi väljatöötamiseks andis aga arvutite (elektrooniliste arvutite) ilmumine.
Liigume nüüd klassifikatsiooni juurde. Seda saab läbi viia ka teatud märkide järgi. Nemad onon esitatud allolevas tabelis.
| Klassifikatsioon teadusharude järgi | Matemaatika mudelite rakendamine füüsikas, sotsioloogias, keemias ja nii edasi |
| Vastav alt modelleerimisprotsessis kasutatavale matemaatilisele aparaadile | Diferentsiaalvõrranditel, diskreetsetel algebralistel teisendustel ja muul sarnasel põhinevad mudelid |
| Eesmärke modelleerides | Selle põhimõtte kohaselt on olemas kirjeldavad, optimeerimis-, mitme kriteeriumi, mängu- ja simulatsioonimudelid |
Teeme ettepaneku peatuda ja viimast klassifikatsiooni lähem alt vaadata, kuna see peegeldab modelleerimise üldisi mustreid ja loodavate mudelite eesmärke.
Kirjeldavad mudelid
Selles peatükis teeme ettepaneku peatuda üksikasjalikum alt kirjeldavatel matemaatilistel mudelitel. Et kõik oleks väga selge, tuuakse näide.
Alustuseks võib seda vaadet nimetada kirjeldavaks. See on tingitud asjaolust, et me teeme ainult arvutusi ja prognoose, kuid me ei saa sündmuse tulemust kuidagi mõjutada.
Kirjeldava matemaatilise mudeli ilmekas näide on meie päikesesüsteemi avarustesse tunginud komeedi lennutrajektoori, kiiruse ja kauguse arvutamine Maast. See mudel on kirjeldav, kuna kõik saadud tulemused võivad meid hoiatada ainult mingi ohu eest. Kahjuks me ei mõjuta sündmuse tulemustSaab. Saadud arvutuste põhjal on aga võimalik võtta mis tahes meetmeid elu päästmiseks Maal.
Optimeerimismudelid
Nüüd räägime veidi majanduslikest ja matemaatilistest mudelitest, mille näideteks võivad olla erinevad olukorrad. Sel juhul räägime mudelitest, mis aitavad teatud tingimustel õige vastuse leida. Neil peavad olema teatud parameetrid. Et see oleks väga selge, vaadake näidet põllumajanduslikust osast.
Meil on ait, kuid vili rikneb väga kiiresti. Sel juhul peame valima õige temperatuurirežiimi ja optimeerima ladustamisprotsessi.
Seega saame määratleda "optimeerimismudeli" mõiste. Matemaatilises mõttes on see võrrandisüsteem (nii lineaarne kui ka mitte), mille lahendamine aitab leida optimaalse lahenduse konkreetses majandusolukorras. Oleme käsitlenud näidet matemaatilisest mudelist (optimiseerimine), kuid lisan: see tüüp kuulub äärmuslike probleemide klassi, need aitavad kirjeldada majandussüsteemi toimimist.
Pange tähele veel ühte nüanssi: mudelid võivad olla erineva iseloomuga (vt allolevat tabelit).
| deterministlik | Sel juhul sõltub tulemus sisendandmetest |
| stohhastiline | Juhuslike protsesside kirjeldus. Sel juhul jääb tulemus määramata |
Mitmekriteeriumilised mudelid
Nüüd kutsume teid sellest veidi rääkimamultiobjektiivse optimeerimise matemaatiline mudel. Enne seda tõime näite matemaatilisest mudelist protsessi optimeerimiseks ükskõik millise kriteeriumi järgi, aga mis siis, kui neid on palju?
Mitmekriteeriumilise ülesande ilmekas näide on õige, tervisliku ja samal ajal säästliku toitumise korraldamine suurtele inimrühmadele. Selliseid ülesandeid leidub sageli sõjaväes, koolisööklates, suvelaagrites, haiglates ja nii edasi.
Milliseid kriteeriume me selles ülesandes esitame?
- Toit peaks olema tervislik.
- Toidule kulutavad kulutused peaksid olema minimaalsed.
Nagu näete, ei lange need eesmärgid üldse kokku. See tähendab, et probleemi lahendamisel on vaja otsida optimaalset lahendust, tasakaalu kahe kriteeriumi vahel.
Mängumudelid
Mängumudelitest rääkides on vaja mõista "mänguteooria" mõistet. Lihtsam alt öeldes peegeldavad need mudelid tõeliste konfliktide matemaatilisi mudeleid. Pidage meeles, et erinev alt tõelisest konfliktist on mängu matemaatilisel mudelil oma kindlad reeglid.
Nüüd on mänguteooriast minimaalselt teavet, mis aitab teil mõista, mis mängumudel on. Ja nii on mudelis tingimata peod (kaks või enam), mida tavaliselt nimetatakse mängijateks.
Kõigil mudelitel on teatud omadused.
| Teemad | Mängijate arv |
| Strateegia | Võimalike toimingute valikud |
| Makse | Konflikti tulemus (võida või kaotada). |
Mängumudelit saab siduda või mitut. Kui meil on kaks subjekti, siis on konflikt paaris, kui rohkem - mitu. Eristada saab ka antagonistlikku mängu, seda nimetatakse ka nullsummamänguks. See on mudel, milles ühe osaleja kasum on võrdne teise kaotusega.
Simulatsioonimudelid
Selles jaotises pöörame tähelepanu simulatsiooni matemaatilistele mudelitele. Ülesannete näited on:
- mikroorganismide arvukuse dünaamika mudel;
- molekulide liikumise mudel ja nii edasi.
Sel juhul räägime mudelitest, mis on reaalsetele protsessidele võimalikult lähedased. Üldiselt jäljendavad nad mis tahes ilminguid looduses. Esimesel juhul saame näiteks modelleerida sipelgate arvukuse dünaamikat ühes koloonias. Sel juhul saate jälgida iga inimese saatust. Sel juhul kasutatakse matemaatilist kirjeldust harva, sagedamini on kirjalikud tingimused:
- viie päeva pärast muneb emane;
- 20 päeva hiljem sipelgas sureb ja nii edasi.
Seega kasutatakse suure süsteemi kirjeldamiseks simulatsioonimudeleid. Matemaatiline järeldus on saadud statistiliste andmete töötlemine.
Nõuded
Väga olulinepidage meeles, et seda tüüpi mudelitele kehtivad teatud nõuded, sealhulgas allolevas tabelis toodud nõuded.
| Mitmekülgsus | See omadus võimaldab teil kasutada sama mudelit sama tüüpi objektide rühmade kirjeldamisel. Oluline on märkida, et universaalsed matemaatilised mudelid on täiesti sõltumatud uuritava objekti füüsilisest olemusest |
| Adekvaatsus | Siin on oluline mõista, et see omadus võimaldab teil võimalikult täpselt reprodutseerida reaalseid protsesse. Operatsiooniülesannetes on see matemaatilise modelleerimise omadus väga oluline. Mudeli näide on gaasisüsteemi kasutamise optimeerimise protsess. Sel juhul võrreldakse arvutatud ja tegelikke näitajaid, mille tulemusena kontrollitakse koostatud mudeli õigsust |
| Täpsus | See nõue eeldab matemaatilise mudeli ja meie reaalobjekti sisendparameetrite arvutamisel saadavate väärtuste kokkulangemist |
| Majandus | Iga matemaatilise mudeli kuluefektiivsuse nõuet iseloomustavad rakenduskulud. Kui mudeliga töötamine toimub käsitsi, siis tuleb selle matemaatilise mudeli abil arvutada, kui palju aega kulub ühe ülesande lahendamiseks. Kui me räägime arvutipõhisest projekteerimisest, siis ajakulu ja arvuti mälu näitajad on arvutatud |
Etapidmodellindus
Kokku on matemaatilises modelleerimises tavaks eristada nelja etappi.
- Formuleerige seadused, mis ühendavad mudeli osi.
- Matemaatikaprobleemide uurimine.
- Praktiliste ja teoreetiliste tulemuste kokkulangevuse selgitamine.
- Mudeli analüüs ja moderniseerimine.
Majanduslik ja matemaatiline mudel
Selles osas tõstame lühid alt esile majanduslike ja matemaatiliste mudelite probleemi. Ülesannete näited on:
- lihatoodete tootmise tootmisprogrammi kujundamine, tagades maksimaalse toodangu kasumi;
- maksimeerida organisatsiooni kasumit, arvutades mööblivabrikus toodetavate laudade ja toolide optimaalse arvu jne.
Majanduslik-matemaatiline mudel kuvab majanduslikku abstraktsiooni, mida väljendatakse matemaatiliste terminite ja märkide abil.
Arvuti matemaatiline mudel
Arvuti matemaatilise mudeli näited on:
- hüdraulika probleemid vooskeemide, diagrammide, tabelite jms kasutamisel;
- probleemid tahke mehaanika ja nii edasi.
Arvutimudel on kujutis objektist või süsteemist, mis on esitatud kujul:
- lauad;
- vooskeemid;
- diagrammid;
- graafika ja nii edasi.
Samas peegeldab see mudel süsteemi struktuuri ja omavahelisi seoseid.
Majanduslik-matemaatilise mudeli loomine
Oleme juba rääkinud sellest, mis majanduslikmatemaatiline mudel. Praegu käsitletakse probleemi lahendamise näidet. Peame analüüsima tootmisprogrammi, et teha kindlaks reserv kasumi suurendamiseks koos sortimendi nihkega.
Me ei käsitle probleemi täielikult, vaid loome ainult majandusliku ja matemaatilise mudeli. Meie ülesande kriteeriumiks on kasumi maksimeerimine. Siis on funktsioonil vorm: Л=р1х1+р2х2… kaldub maksimumini. Selles mudelis on p kasum ühiku kohta, x on toodetud ühikute arv. Edasi on konstrueeritud mudeli põhjal vaja teha arvutused ja teha kokkuvõte.
Lihtsa matemaatilise mudeli loomise näide
Ülesanne. Kalur naasis järgmise saagiga:
- 8 kala – põhjamere asukad;
- 20% saagist – lõunamere elanikud;
- kohalikust jõest ei leitud ühtegi kala.
Mitu kala ta poest ostis?
Niisiis, selle probleemi matemaatilise mudeli koostamise näide on järgmine. Kalade koguarvu tähistame kui x. Tingimust järgides on lõunapoolsetel laiuskraadidel elavate kalade arv 0,2x. Nüüd ühendame kogu olemasoleva teabe ja saame ülesande matemaatilise mudeli: x=0, 2x+8. Lahendame võrrandi ja saame vastuse põhiküsimusele: ta ostis poest 10 kala.
