Mis see on – koonus? Definitsioon, omadused, valemid ja ülesande lahendamise näide

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Koonus on üks pöörlemise ruumilisi kujundeid, mille omadusi ja omadusi uuritakse stereomeetria abil. Käesolevas artiklis defineerime selle joonise ja käsitleme põhivalemeid, mis ühendavad koonuse lineaarparameetreid selle pindala ja ruumalaga.

Mis on koonus?

Geomeetria seisukoh alt räägime ruumikujundist, mille moodustab rida sirgeid segmente, mis ühendavad teatud ruumipunkti sileda tasase kõvera kõigi punktidega. See kõver võib olla ring või ellips. Alloleval joonisel on kujutatud koonust.

Esitatud joonisel puudub maht, kuna selle pinna seinte paksus on lõpmatult väike. Kui see aga on täidetud ainega ja ülev alt piiratud mitte kõvera, vaid lame kujuga, näiteks ringiga, saame tahke mahulise keha, mida tavaliselt nimetatakse ka koonuseks.

Koonuse kuju võib sageli elus leida. Seega on sellel jäätisetorbik või triibulised mustad ja oranžid liikluskoonused, mis asetatakse teele, et tõmmata liikluses osalejate tähelepanu.

Koonuse elemendid ja selle tüübid

Kuna koonus ei ole hulktahukas, ei ole seda moodustavate elementide arv nii suur kui hulktahukatel. Geomeetrias koosneb üldine koonus järgmistest elementidest:

• alus, mille piirkõverat nimetatakse direktriksiks või generatriksiks;
• külgpinna, mis on sirgjoonelõikude (generatriksi) kõigi punktide kogum, mis ühendavad tippu ja juhtkõvera punkte;
• tipp, mis on generatriksi lõikepunkt.

Pange tähele, et tipp ei tohi asuda aluse tasapinnal, kuna sel juhul taandub koonus tasaseks kujundiks.

Kui joonistame risti lõigu tipust aluse poole, saame joonise kõrguse. Kui viimane alus lõikub geomeetrilises keskpunktis, on see sirge koonus. Kui risti ei lange kokku aluse geomeetrilise keskpunktiga, siis on kujund kaldu.

Sirged ja kaldus koonused on näidatud joonisel. Siin on koonuse aluse kõrgus ja raadius tähistatud vastav alt h ja r-ga. Joonise tippu ja aluse geomeetrilist keskpunkti ühendav joon on koonuse telg. Jooniselt on näha, et sirge kujundi puhul asub kõrgus sellel teljel ja kaldkujul moodustab kõrgus teljega nurga. Koonuse telg on tähistatud tähega a.

Sirge koonus ümara põhjaga

Võib-olla on see koonus vaadeldavast figuuriklassist kõige levinum. See koosneb ringist ja küljeltpinnad. Geomeetriliste meetoditega pole seda raske saada. Selleks võtke täisnurkne kolmnurk ja pöörake seda ümber telje, mis langeb kokku ühe jalaga. Ilmselt saab sellest jalast joonise kõrgus ja kolmnurga teise jala pikkus moodustab koonuse aluse raadiuse. Allolev diagramm näitab kirjeldatud skeemi kõnealuse pöörlemisarvu saamiseks.

Kujutatud kolmnurka saab pöörata ümber teise jala, mille tulemuseks on suurema põhjaraadiusega koonus, mille kõrgus on väiksem kui esimesel.

Ümara sirge koonuse kõigi parameetrite ühemõtteliseks määramiseks peaks teadma selle kahte lineaarset karakteristikku. Nende hulgas eristatakse generatriksi g raadiust r, kõrgust h või pikkust. Kõik need suurused on vaadeldava täisnurkse kolmnurga külgede pikkused, seetõttu kehtib nende ühendamisel Pythagorase teoreem:

g²=r²+ h^2.

Pinnaala

Mis tahes kolmemõõtmelise kujundi pinda uurides on mugav kasutada selle arengut tasapinnal. Koonus pole erand. Ümmarguse koonuse puhul on areng näidatud allpool.

Näeme, et joonise lahtivoltimine koosneb kahest osast:

1. Ring, mis moodustab koonuse aluse.
2. Ringjoone sektor, mis on joonise kooniline pind.

Ringi pindala on lihtne leida ja vastav valem on igale õpilasele teada. Ringisektorist rääkides märgime, et seeon osa ringist, mille raadius on g (koonuse generaatori pikkus). Selle sektori kaare pikkus võrdub aluse ümbermõõduga. Need parameetrid võimaldavad üheselt määrata selle pindala. Vastav valem on:

S=pir2+ pirg.

Avaldise esimene ja teine liige on vastav alt ala aluse ja külgpinna koonus.

Kui generaatori g pikkus on teadmata, kuid on antud joonise kõrgus h, siis saab valemi ümber kirjutada järgmiselt:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Figuuri maht

Kui võtame sirge püramiidi ja suurendame selle aluse külgede arvu lõpmatuseni, siis kaldub aluse kuju ringikujuliseks ja püramiidi külgpind läheneb koonilisele pinnale. Need kaalutlused võimaldavad meil kasutada püramiidi ruumala valemit koonuse sarnase väärtuse arvutamisel. Koonuse ruumala saab leida järgmise valemi abil:

V=1/3hS_o.

See valem on alati tõene, olenemata sellest, milline on koonuse alus, mille pindala on S_{o. Lisaks kehtib valem ka kaldus koonuse kohta.}

Kuna uurime ümara põhjaga sirge kuju omadusi, saame selle mahu määramiseks kasutada järgmist avaldist:

V=1/3hpir2.

Valem on ilmne.

Pinna ja ruumala leidmise probleem

Olgu antud koonus, mille raadius on 10 cm ja generaatori pikkus on 20vt Vajadus määrata selle kujundi maht ja pindala.

Pindala S arvutamiseks võite kohe kasutada ülalkirjeldatud valemit. Meil on:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Helitugevuse määramiseks peate teadma joonise kõrgust h. Arvutame selle koonuse lineaarsete parameetrite vahelise seose abil. Saame:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Nüüd saate kasutada V valemit:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Pange tähele, et ümmarguse koonuse ruumala on üks kolmandik silindrist, millesse see on kirjutatud.