Otsene kolmnurkne prisma. Mahu ja pinna valemid. Geomeetrilise ülesande lahendus

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Keskkoolis, pärast tasapinnal olevate figuuride omaduste uurimist, minnakse edasi ruumiliste geomeetriliste objektide, nagu prismad, sfäärid, püramiidid, silindrid ja koonused, käsitlemisele. Selles artiklis anname sirge kolmnurkse prisma kõige täielikuma kirjelduse.

Mis on kolmnurkne prisma?

Alustame artiklit figuuri määratlusega, mida arutatakse edasi. Prisma geomeetria seisukoh alt on kujund ruumis, mille moodustavad kaks identset paralleeltasandil paiknevat n-nurka, mille ühesugused nurgad on omavahel ühendatud sirglõike abil. Neid segmente nimetatakse külgmisteks ribideks. Koos aluse külgedega moodustavad need külgpinna, mida üldiselt kujutatakse rööpkülikutega.

Kaks n-nurka on joonise aluseks. Kui külgmised servad on nendega risti, siis räägivad need sirgest prismast. Vastav alt sellele, kui hulknurga külgede arv n alustel on kolm, nimetatakse sellist kujundit kolmnurkprismaks.

Kolmnurkne sirge prisma on näidatud ülaloleval joonisel. Seda kujundit nimetatakse ka regulaarseks, kuna selle alused on võrdkülgsed kolmnurgad. Joonise külgserva pikkust, mida joonisel tähistab h täht, nimetatakse selle kõrguseks.

Joonis näitab, et kolmnurkse alusega prisma moodustab viis tahku, millest kaks on võrdkülgsed kolmnurgad ja kolm on identsed ristkülikud. Lisaks tahkudele on prismal kuus tippu alustes ja üheksa serva. Vaadeldavate elementide arvud on omavahel seotud Euleri teoreemiga:

servade arv=tippude arv + külgede arv - 2.

Täisnurkse kolmnurkse prisma pindala

Eespool saime teada, et kõnealune kujund koosneb viiest kahte tüüpi tahust (kaks kolmnurka, kolm ristkülikut). Kõik need tahud moodustavad prisma täispinna. Nende kogupindala on joonise pindala. Allpool on lahtivolditav kolmnurkne prisma, mille saab kõigepe alt jooniselt ära lõigata kaks alust, seejärel lõigata mööda ühte serva ja lahti voltida külgpind.

Toome välja valemid selle pühkimise pindala määramiseks. Alustame täisnurkse kolmnurkse prisma alustega. Kuna need esindavad kolmnurki, võib nende ala S_{3 leida järgmiselt:}

S₃=1/2ah_a.

Siin a on kolmnurga külg, h_{a on kõrgus, mis on langetatud kolmnurga tipust sellele küljele.}

Kui kolmnurk on võrdkülgne (regulaarne), siis S_{3valem sõltub ainult ühest parameetrist a. See näeb välja selline:}

S₃=√3/4a^2.

Selle avaldise saab saada, võttes arvesse täisnurkset kolmnurka, mille moodustavad lõigud a, a/2, h_a.

Aluste pindala S_o tavakuju puhul on kaks korda suurem kui S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Mis puudutab külgpinda S_{b, siis seda pole keeruline arvutada. Selleks piisab, kui korrutada kolmega ühe ristküliku pindala, mille moodustavad küljed a ja h. Vastav valem on:}

S_b=3ah.

Seega leitakse kolmnurkse põhjaga korrapärase prisma pindala järgmise valemiga:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Kui prisma on sirge, kuid ebakorrapärane, siis selle pindala arvutamiseks tuleks eraldi liita ristkülikute pindalad, mis ei ole üksteisega võrdsed.

Figuuri helitugevuse määramine

Prisma ruumala all mõistetakse selle külgede (tahkude) poolt piiratud ruumi. Täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala arvutamine on palju lihtsam kui selle pindala arvutamine. Selleks piisab, kui teate aluse pindala ja figuuri kõrgust. Kuna sirge kujundi kõrgus h on selle külgserva pikkus ja kuidas arvutada aluspinda, oleme andnud eelmisespunkt, siis jääb soovitud helitugevuse saamiseks need kaks väärtust üksteisega korrutada. Selle valem on järgmine:

V=S_3h.

Pange tähele, et ühe aluse pindala ja kõrguse korrutis annab mitte ainult sirge prisma ruumala, vaid ka kaldus kuju ja isegi silindri.

Probleemi lahendamine

Klaasist kolmnurkprismasid kasutatakse optikas dispersiooninähtusest tingitud elektromagnetilise kiirguse spektri uurimiseks. Teadaolev alt on tavalise klaasprisma aluse külje pikkus 10 cm ja serva pikkus 15 cm. Kui suur on selle klaaspindade pindala ja kui suur on selle maht?

Piirkonna määramiseks kasutame artiklis kirjutatud valemit. Meil on:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

V helitugevuse määramiseks kasutame ka ül altoodud valemit:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Vaatamata sellele, et prisma servad on 10 cm ja 15 cm pikad, on kujundi maht vaid 0,65 liitrit (10 cm küljega kuubik mahutab 1 liiter).