Stereomeetria uurimisobjektiks on geomeetrilised figuurid ruumis, mille kursuse läbivad kooliõpilased keskkoolis. See artikkel on pühendatud sellisele täiuslikule hulktahukale nagu prisma. Vaatleme üksikasjalikum alt prisma omadusi ja esitame valemid, mis võimaldavad neid kvantitatiivselt kirjeldada.
Mis on prisma?
Igaüks kujutab ette, kuidas kast või kuubik välja näeb. Mõlemad figuurid on prismad. Prismade klass on aga palju mitmekesisem. Geomeetrias antakse sellele joonisele järgmine definitsioon: prisma on suvaline hulktahukas ruumis, mille moodustavad kaks paralleelset ja identset hulknurga külge ja mitut rööpkülikut. Figuuri identseid paralleelseid tahke nimetatakse selle alusteks (ülemine ja alumine). Parallelogrammid on joonise külgpinnad, mis ühendavad aluse külgi üksteisega.
Kui alust kujutab n-nurk, kus n on täisarv, koosneb joonis 2+n tahust, 2n tipust ja 3n servast. Näod ja servad viitavadüks kahest tüübist: kas need kuuluvad külgpinnale või alustele. Mis puutub tippudesse, siis need on kõik võrdsed ja kuuluvad prisma aluste hulka.
Uuritava klassi kujundite tüübid
Prisma omadusi uurides peaksite loetlema selle kujundi võimalikud tüübid:
- Kumer ja nõgus. Nende erinevus seisneb hulknurkse aluse kujus. Kui see on nõgus, on see ka kolmemõõtmeline kujund ja vastupidi.
- Sirge ja kaldu. Sirge prisma puhul on külgpinnad kas ristkülikud või ruudud. Kaldkujul on külgpinnad üldist tüüpi rööpkülikukujulised või rombid.
- Vale ja õige. Selleks, et uuritav kujund oleks õige, peab see olema sirge ja õige alusega. Viimaste näideteks on lamedad kujundid, nagu võrdkülgne kolmnurk või ruut.
Prisma nimi moodustatakse loetletud klassifikatsiooni arvesse võttes. Näiteks ülalmainitud täisnurkset rööptahukat ehk kuupi nimetatakse korrapäraseks nelinurkseks prismaks. Regulaarseid prismasid on nende kõrge sümmeetria tõttu mugav uurida. Nende omadused on väljendatud konkreetsete matemaatiliste valemite kujul.
Prismaala
Kui käsitleda prisma sellist omadust selle pindalana, tähendab see selle kõigi tahkude kogupindala. Seda väärtust on kõige lihtsam ette kujutada, kui voldid joonise lahti, st laiendad kõik näod ühte tasapinda. AllpoolJoonisel on näide kahe prisma pühkmisest.
Suvalise prisma korral saab selle pühkimisala valemi üldkujul kirjutada järgmiselt:
S=2So+ bPsr.
Selgitame tähistust. Väärtus So on ühe aluse pindala, b on külgserva pikkus, Psr on lõike ümbermõõt, mis on risti joonise külgmiste rööpkülikutega.
Kirjutatud valemit kasutatakse sageli kaldprismade pindalade määramiseks. Tavalise prisma korral saab avaldis S kindla kuju:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Avaldise esimene liige tähistab tavalise prisma kahe aluse pindala, teine liige on külgmiste ristkülikute pindala. Siin a on tavalise n-nurga külje pikkus. Pange tähele, et tavalise prisma külgserva b pikkus on ka selle kõrgus h, seega võib valemis b asendada h-ga.
Kuidas arvutada kujundi mahtu?
Prisma on suhteliselt lihtne kõrge sümmeetriaga hulktahukas. Seetõttu on selle mahu määramiseks väga lihtne valem. See näeb välja selline:
V=Soh.
Aluse pindala ja kõrguse arvutamine võib viltu ebakorrapärase kuju vaatamisel olla keeruline. See probleem lahendatakse järjestikuse geomeetrilise analüüsi abil, mis hõlmab teavet külgmiste rööpkülikute ja aluse vaheliste kahetahuliste nurkade kohta.
Kui prisma on õige, siisV valem muutub üsna konkreetseks:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Nagu näete, on tavalise prisma pindala S ja ruumala V üheselt määratud, kui on teada kaks selle lineaarset parameetrit.
Kolmnurkne korrapärane prisma
Lõpetame artikli, võttes arvesse tavalise kolmnurkse prisma omadusi. Selle moodustavad viis tahku, millest kolm on ristkülikud (ruudud) ja kaks on võrdkülgsed kolmnurgad. Prismal on kuus tippu ja üheksa serva. Selle prisma jaoks on ruumala ja pindala valemid kirjutatud allpool:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Lisaks nendele omadustele on kasulik anda ka joonise aluse apoteemi valem, milleks on võrdkülgse kolmnurga kõrgus ha:
ha=√3/2a.
Prisma küljed on identsed ristkülikud. Nende diagonaalide d pikkused on:
d=√(a2+ h2).
Kolmnurkse prisma geomeetriliste omaduste tundmine ei paku mitte ainult teoreetiliselt, vaid ka praktilist huvi. Fakt on see, et seda optilisest klaasist valmistatud kujundit kasutatakse kehade kiirgusspektri uurimiseks.
Klaasprismat läbides laguneb valgus dispersiooninähtuse tulemusena mitmeteks komponentvärvideks, mis loob tingimused elektromagnetvoo spektraalse koostise uurimiseks.
