Üks matemaatilise analüüsi põhiosadest on integraalarvutus. See hõlmab kõige laiemat objektide välja, kus esimene on määramatu integraal. Tasub positsioneerida seda võtmena, mis isegi keskkoolis avab üha rohkem vaatenurki ja võimalusi, mida kõrgem matemaatika kirjeldab.
Välimus
Esmapilgul tundub integraal üdini kaasaegne, asjakohane, kuid praktikas selgub, et see ilmus juba 1800 eKr. Egiptust peetakse ametlikult kodumaaks, kuna varasemad tõendid selle olemasolust pole meieni jõudnud. Teabepuuduse tõttu positsioneeriti ta kogu selle aja lihts alt nähtusena. Ta kinnitas veel kord teaduse arengutaset tolleaegsete rahvaste seas. Lõpuks leiti Vana-Kreeka matemaatikute tööd, mis pärinevad 4. sajandist eKr. Nad kirjeldasid meetodit, kus kasutati määramatut integraali, mille põhiolemus oli kõverjoonelise kujundi (kolmemõõtmelise) ruumala või pindala leidmineja vastav alt kahemõõtmelised tasapinnad). Arvutuspõhimõte põhines algse kujundi jagamisel lõpmata väikesteks komponentideks eeldusel, et nende maht (pindala) on juba teada. Aja jooksul on meetod kasvanud, Archimedes kasutas seda parabooli pindala leidmiseks. Samasuguseid arvutusi tegid samal ajal Vana-Hiina teadlased ja need olid täiesti sõltumatud oma Kreeka kolleegidest teaduses.
Arendus
Järgmine läbimurre 11. sajandil pKr oli araabia teadlase-"universaali" Abu Ali al-Basri töö, kes nihutas juba teadaoleva piire, tuletades summade arvutamiseks integraalil põhinevad valemid. ridade ja astmete summad esimesest neljandani, rakendades selleks meile tuntud matemaatilise induktsiooni meetodit.
Moodsa aja vaimud imetlevad seda, kuidas muistsed egiptlased lõid hämmastavaid arhitektuurimälestisi ilma igasuguste erivahenditeta, välja arvatud võib-olla oma käed, kuid kas tolleaegsete teadlaste mõistuse jõud pole mitte vähem ime? Tänapäevaga võrreldes tundub nende elukäik peaaegu primitiivne, kuid määramatute integraalide lahendus tuletati kõikjal ja kasutati praktikas edasiseks arendamiseks.
Järgmine samm toimus 16. sajandil, kui Itaalia matemaatik Cavalieri töötas välja jagamatute meetodi, mille võttis kasutusele Pierre Fermat. Just need kaks isiksust panid aluse tänapäevasele integraalarvutamisele, mida hetkel tuntakse. Nad ühendasid diferentseerimise ja integratsiooni mõisted, mis olid varemkäsitletakse autonoomsete üksustena. Üldiselt oli tollane matemaatika killustunud, järelduste osakesed eksisteerisid iseseisv alt, piiratud ulatusega. Ühinemise ja ühisosa otsimise tee oli tol ajal ainuõige, tänu millele sai kaasaegne matemaatiline analüüs võimaluse kasvada ja areneda.
Aja jooksul on kõik muutunud, sealhulgas integraali tähistus. Üldiselt märkisid teadlased seda kõigi vahenditega, näiteks kasutas Newton ruudukujulist ikooni, kuhu ta paigutas integreeritava funktsiooni või pani selle lihts alt selle kõrvale.
See ebakõla kestis kuni 17. sajandini, mil teadlane Gottfried Leibniz, kogu matemaatilise analüüsi teooria maamärk, tutvustas meile nii tuttavat sümbolit. Piklik "S" põhineb tõepoolest sellel ladina tähestiku tähel, kuna see tähistab antiderivaatide summat. Integraal sai oma nime tänu Jacob Bernoullile 15 aastat hiljem.
Ametlik määratlus
Määramatu integraal sõltub otseselt antiderivaadi määratlusest, seega kaalume seda kõigepe alt.
Antiderivaat on funktsioon, mis on tuletise pöördfunktsioon, praktikas nimetatakse seda ka primitiivseks. Vastasel juhul: funktsiooni d antituletiseks on funktsioon D, mille tuletis on võrdne v V'=v. Antiderivaadi otsimine on määramatu integraali arvutamine ja seda protsessi ennast nimetatakse integreerimiseks.
Näide:
Funktsioon s(y)=y3 ja selle antiderivaat S(y)=(y4/4).
Vaatatava funktsiooni kõigi antiderivaatide hulk on määramatu integraal, seda tähistatakse järgmiselt: ∫v(x)dx.
Tulenev alt asjaolust, et V(x) on vaid mingi algfunktsiooni antituletis, toimub avaldis: ∫v(x)dx=V(x) + C, kus C on konstant. Suvaline konstant on mis tahes konstant, kuna selle tuletis on võrdne nulliga.
Atribuudid
Määramatu integraali omadused põhinevad põhidefinitsioonil ja tuletiste omadustel.
Vaatleme põhipunkte:
- antiderivaadi tuletise integraal on antiderivaat ise pluss suvaline konstant С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- funktsiooni integraali tuletis on algfunktsioon (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstant võetakse integraalimärgi ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx alt välja, kus k on suvaline;
- summast võetud integraal on identselt võrdne integraalide summaga ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Kahe viimase omaduse põhjal võime järeldada, et määramatu integraal on lineaarne. Tänu sellele on meil: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Konsolideerimiseks vaadake näiteid määramata integraalide lahendamisest.
Tuleb leida integraal ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx ++ C
Näite põhjal võime järeldada:ei tea, kuidas lahendada määramata integraale? Otsige üles kõik primitiivid! Kuid allpool käsitletakse otsingu põhimõtteid.
Meetodid ja näited
Integraali lahendamiseks võite kasutada järgmisi meetodeid:
- kasuta ettevalmistatud tabelit;
- integreerida osade kaupa;
- integreerida muutujat muutes;
- diferentsiaalmärgi alla toomine.
Tabelid
Lihtsaim ja nauditavam viis. Hetkel on matemaatilises analüüsis üsna ulatuslikud tabelid, milles on kirjas määramatute integraalide põhivalemid. Teisisõnu, on malle, mis on välja töötatud enne teid ja teie jaoks, jääb ainult neid kasutada. Siin on loend peamistest tabelipositsioonidest, millele saate tuletada peaaegu kõik näited, millel on lahendus:
- ∫0dy=C, kus C on konstant;
- ∫dy=y + C, kus C on konstant;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, kus C on konstant ja n – mitteüks number;
- ∫(1/a)dy=ln|y| + C, kus C on konstant;
- ∫eydy=ey + C, kus C on konstant;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, kus C on konstant;
- ∫cosydy=siny + C, kus C on konstant;
- ∫sinydy=-cosy + C, kus C on konstant;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, kus C on konstant;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, kus C on konstant;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, kus C on konstant;
- ∫chydy=häbelik + C, kus C -konstantne;
- ∫shydy=chy + C, kus C on konstant.
Vajadusel tehke paar sammu, viige integrand tabelivormi ja nautige võitu. Näide: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Lahendi järgi on selge, et tabelinäite puhul puudub integrandil tegur 5. Liidame selle, korrutades paralleelselt 1/5-ga, et üldavaldis ei muutuks.
Integreerimine osade kaupa
Vaatleme kahte funktsiooni – z(y) ja x(y). Need peavad olema kogu määratlusvaldkonnas pidev alt eristatavad. Vastav alt ühele eristusomadustest on meil: d(xz)=xdz + zdx. Integreerides võrrandi mõlemad osad, saame: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Saadud võrrandi ümberkirjutamisel saame valemi, mis kirjeldab osade kaupa integreerimise meetodit: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Milleks seda vaja on? Asi on selles, et mõningaid näiteid saab lihtsustada, tinglikult öeldes taandada ∫zdx väärtuseks ∫xdz, kui viimane on lähedane tabelivormile. Samuti saab seda valemit optimaalsete tulemuste saavutamiseks kasutada mitu korda.
Kuidas lahendada määramata integraale järgmiselt:
vaja arvutada ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
vaja arvutada ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Muutuja asendus
See määramata integraalide lahendamise põhimõte ei ole vähem nõutud kui kaks eelmist, kuigi see on keerulisem. Meetod on järgmine: olgu V(x) mingi funktsiooni v(x) integraal. Juhul, kui integraal ise osutub näites keeruliseks, on suur tõenäosus segadusse sattuda ja valele lahendusteele minna. Selle vältimiseks harjutatakse üleminekut muutuj alt x-lt z-le, mille käigus üldavaldist visuaalselt lihtsustatakse, säilitades samas z-i sõltuvuse x-st.
Matemaatiliselt näeb see välja järgmine: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), kus x=y(z) on asendus. Ja muidugi pöördfunktsioon z=y-1(x) kirjeldab täielikult muutujate sõltuvust ja seost. Oluline märkus – diferentsiaal dx asendatakse tingimata uue diferentsiaaliga dz, kuna muutuja asendamine määramatus integraalis eeldab selle asendamist kõikjal, mitte ainult integrandis.
Näide:
peab leidma ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Rakenda asendus z=(s+1)/(s2+2s-5). Siis dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Selle tulemusena saame järgmise avaldise, mida on väga lihtne arvutada:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
vaja leida integraal∫2sesdx
Lahendamiseks kirjutame avaldise ümber järgmisel kujul:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Tähistage a=2e (see samm ei asenda argumenti, see on ikkagi s), toome oma näiliselt keerulise integraali elementaarsesse tabelivormi:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Diferentsiaalmärgi alla toomine
Üldiselt on see määramata integraalide meetod muutuja muutmise põhimõtte kaksikvend, kuid projekteerimisprotsessis on erinevusi. Vaatame lähem alt.
Kui ∫v(x)dx=V(x) + C ja y=z(x), siis ∫v(y)dy=V(y) + C.
Sel juhul ei tohiks unustada triviaalseid integra alteisendusi, mille hulgas on:
- dx=d(x + a), kus a on mis tahes konstant;
- dx=(1 / a)d(ax + b), kus a on jällegi konstant, kuid ei võrdu nulliga;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Kui võtta arvesse määramata integraali arvutamisel üldjuhtumit, saab näited kokku võtta üldvalemiga w'(x)dx=dw(x).
Näited:
vaja leida ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Võrguabi
Mõnel juhul, mille süü võib olla kas laiskus või tungiv vajadus, võite kasutada Interneti-näpunäiteid või õigemini kasutada määramata integraalkalkulaatorit. Vaatamata kogu integraalide näilisele keerukusele ja vaidlustatavusele allub nende lahendamine teatud algoritmile, mis põhineb põhimõttel "kui mitte …, siis …".
Muidugi ei suuda selline kalkulaator eriti keerulisi näiteid juhtida, sest on juhtumeid, kus lahendus tuleb leida kunstlikult, "sunniviisiliselt" protsessi teatud elemendid sisse viides, sest ilmselgelt tulemust ei saavutata. viise. Vaatamata kogu selle väite vastuolulisusele on see tõsi, kuna matemaatika on põhimõtteliselt abstraktne teadus ja peab oma esmaseks ülesandeks võimaluste piiride laiendamise vajadust. Tõepoolest, sujuvate, sissetöötatud teooriate järgi ülespoole liikumine ja arenemine on äärmiselt keeruline, nii et te ei tohiks eeldada, et meie toodud näited määramatute integraalide lahendamisest on võimaluste kõrgus. Aga tagasi asja tehnilise poole juurde. Vähem alt arvutuste kontrollimiseks saate kasutada teenuseid, milles kõik enne meid kirjas oli. Kui on vaja keeruka avaldise automaatset arvutamist, siis ei saa neist loobuda, peate kasutama tõsisemat tarkvara. Tähelepanu tasub pöörata eelkõige MatLabi keskkonnale.
Rakendus
Määramatute integraalide lahendus tundub esmapilgul tegelikkusest täiesti väljas, kuna ilmselgeid rakendusvaldkondi on raske näha. Tõepoolest, neid ei saa otseselt kuskil kasutada, kuid neid peetakse praktikas kasutatavate lahenduste tuletamise protsessis vajalikuks vaheelemendiks. Seega on integreerimine diferentseerumisele pöördvõrdeline, tänu millele osaleb see aktiivselt võrrandite lahendamise protsessis.
Neil võrranditel on omakorda otsene mõju mehaaniliste probleemide lahendamisele, trajektooride arvutamisele ja soojusjuhtivusele – ühesõnaga kõigele, mis moodustab oleviku ja kujundab tulevikku. Määramatu integraal, mille näiteid eespool vaatlesime, on ainult esmapilgul triviaalne, kuna see on aluseks üha uutele ja uutele avastustele.
