Integraali mõiste tekkimine oli tingitud vajadusest leida selle tuletise abil antiderivatiivne funktsioon, samuti määrata töö maht, keeruliste kujundite pindala, läbitud vahemaa, koos parameetrid, mis on välja toodud mittelineaarsete valemitega kirjeldatud kõveratega.
Kursusest
ja füüsika teab, et töö võrdub jõu ja kauguse korrutisega. Kui kogu liikumine toimub konstantsel kiirusel või vahemaa ületatakse sama jõu rakendamisel, siis on kõik selge, peate need lihts alt korrutama. Mis on konstandi integraal? See on lineaarne funktsioon kujul y=kx+c.
Kuid jõud võib töö ajal muutuda ja seda mingis loomulikus sõltuvuses. Sama olukord tekib läbitud vahemaa arvutamisel, kui kiirus ei ole konstantne.
Nii, on selge, mille jaoks integraal on mõeldud. Selle määratlus funktsiooni väärtuste korrutiste summana argumendi lõpmatu väikese juurdekasvuga kirjeldab täielikult selle kontseptsiooni peamist tähendust kui joonise ala, mis on ül alt piiratud funktsiooni joonega ja servad definitsiooni piiride järgi.
Jean Gaston Darboux, prantsuse matemaatik, XIX sajandi teisel poolelsajandil selgitati väga selgelt, mis on integraal. Ta tegi seda nii selgelt, et üldiselt poleks isegi keskkooliõpilasel raske sellest küsimusest aru saada.
Oletame, et mis tahes keerulisel kujul on funktsioon. Y-telg, millele argumendi väärtused joonistatakse, on jagatud väikesteks intervallideks, ideaaljuhul on need lõpmata väikesed, kuid kuna lõpmatuse mõiste on üsna abstraktne, piisab, kui kujutada ette vaid väikseid segmente, väärtus millest tavaliselt tähistatakse kreeka tähega Δ (delta).
Funktsioon osutus väikesteks telliskivideks "lõigatuks".
Iga argumendi väärtus vastab y-telje punktile, millele on kantud vastavad funktsiooni väärtused. Kuid kuna valitud alal on kaks äärist, on ka funktsioonil kaks väärtust, rohkem ja vähem.
Suuremate väärtuste korrutiste summat juurdekasvuga Δ nimetatakse suureks Darboux' summaks ja seda tähistatakse kui S. Sellest tulenev alt on väiksemad väärtused piiratud alal, korrutatuna Δ-ga, kõik kokku moodustavad väikese Darboux'i summa s. Lõik ise meenutab ristkülikukujulist trapetsi, kuna funktsiooni sirge kõveruse selle lõpmatu väikese juurdekasvuga võib tähelepanuta jätta. Lihtsaim viis sellise geomeetrilise kujundi pindala leidmiseks on liita funktsiooni suurema ja väiksema väärtuse korrutised Δ-kasvuga ja jagada kahega ehk määrata see aritmeetilise keskmisena.
See on Darbouxi integraal:
s=Σf(x) Δ on väike summa;
S=Σf(x+Δ)Δ on suur summa.
Mis on siis integraal? Funktsioonijoone ja definitsioonipiiridega piiratud ala on:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
See tähendab, et suurte ja väikeste Darboux' summade aritmeetiline keskmine.c on konstantne väärtus, mis määratakse diferentseerimise ajal nulliks.
Selle mõiste geomeetrilise väljenduse põhjal saab selgeks integraali füüsiline tähendus. Joonise pindala, mis on piiritletud kiirusfunktsiooniga ja piiratud ajaintervalliga piki abstsisstelge, on läbitud tee pikkus.
L=∫f(x)dx vahemikus t1 kuni t2, Kus
f(x) – kiiruse funktsioon, st valem, mille järgi see ajas muutub;
L – tee pikkus;
t1 – algusaeg;
t2 – reisi lõpuaeg.
Täpselt sama põhimõtte kohaselt määratakse töö maht, abstsissteljele kantakse ainult vahemaa ja igas konkreetses punktis rakendatud jõu suurus joonistatakse piki ordinaati.
