Arvutus on arvutuse haru, mis uurib tuletisi, diferentsiaale ja nende kasutamist funktsiooni uurimisel.
Välimuse ajalugu
Diferentsiaalarvutus tekkis iseseisva distsipliinina 17. sajandi teisel poolel tänu Newtoni ja Leibnizi tööle, kes sõnastasid diferentsiaalide arvutamise põhisätted ning märkasid seost integratsiooni ja diferentseerumise vahel. Sellest hetkest alates on distsipliin arenenud koos integraalide arvutamisega, moodustades seega matemaatilise analüüsi aluse. Nende arvutuste ilmumine avas matemaatilises maailmas uue moodsa perioodi ja põhjustas uute teadusharude esilekerkimise. See laiendas ka matemaatikateaduse rakendamise võimalust loodusteadustes ja -tehnoloogias.
Põhimõisted
Diferentsiaalarvutus põhineb matemaatika põhimõistetel. Need on: reaalarv, pidevus, funktsioon ja piir. Aja jooksul omandasid need tänu integraal- ja diferentsiaalarvutamisele kaasaegse ilme.
Loomisprotsess
Diferentsiaalarvutuse moodustamine rakendusliku ja seejärel teadusliku meetodi kujul toimus enne filosoofilise teooria tekkimist, mille lõi Cusa Nikolai. Tema töid peetakse iidse teaduse hinnangute põhjal evolutsiooniliseks arenguks. Hoolimata asjaolust, et filosoof ise ei olnud matemaatik, on tema panus matemaatikateaduse arengusse vaieldamatu. Kuzansky oli üks esimesi, kes loobus aritmeetikast kui kõige täpsemast teadusvaldkonnast, pannes kahtluse alla tolleaegse matemaatika.
Muistsed matemaatikud kasutasid ühikut universaalse kriteeriumina, samas kui filosoof pakkus täpse arvu asemel uueks mõõduks välja lõpmatuse. Sellega seoses on täpsuse esitus matemaatikateaduses ümberpööratud. Teaduslikud teadmised jagunevad tema sõnul ratsionaalseteks ja intellektuaalseteks. Teine on teadlase sõnul täpsem, kuna esimene annab vaid ligikaudse tulemuse.
Idee
Diferentsiaalarvutuse põhiidee ja kontseptsioon on seotud funktsiooniga teatud punktide väikestes piirkondades. Selleks on vaja luua matemaatiline aparaat funktsiooni uurimiseks, mille käitumine kehtestatud punktide väikeses naabruses on lähedane polünoomi või lineaarfunktsiooni käitumisele. See põhineb tuletise ja diferentsiaali määratlusel.
Tuletise mõiste ilmumise põhjustas suur hulk loodusteaduste ja matemaatika probleeme,mis viis sama tüüpi piiride väärtuste leidmiseni.
Üks peamisi probleeme, mida näitena tuuakse alates keskkoolist, on sirget mööda liikuva punkti kiiruse määramine ja sellele kõverale puutuja konstrueerimine. Diferentsiaal on sellega seotud, kuna funktsiooni on võimalik aproksimeerida lineaarfunktsiooni vaadeldava punkti väikeses naabruses.
Võrreldes reaalmuutuja funktsiooni tuletise mõistega läheb diferentsiaalide määratlus lihts alt üle üldist laadi funktsiooniks, eelkõige ühe eukleidilise ruumi kujutiseks teisel.
Tuletis
Lase punktil liikuda Oy telje suunas, selleks ajaks, mil võtame x, mida loetakse hetke kindlast algusest. Sellist liikumist saab kirjeldada funktsiooniga y=f(x), mis omistatakse liigutatava punkti koordinaadi igale ajahetkele x. Mehaanikas nimetatakse seda funktsiooni liikumisseaduseks. Liikumise, eriti ebaühtlase, peamine omadus on hetkekiirus. Kui punkt liigub mehaanika seaduse järgi mööda Oy telge, siis juhuslikul ajahetkel x omandab ta koordinaadi f (x). Ajahetkel x + Δx, kus Δx tähistab aja juurdekasvu, on selle koordinaat f(x + Δx). Nii moodustub valem Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), mida nimetatakse funktsiooni juurdekasvuks. See kujutab teekonda, mille läbis ajahetk vahemikus x kuni x + Δx.
Selle ilmnemise tõttukiirus ajas, võetakse kasutusele tuletis. Suvalises funktsioonis nimetatakse fikseeritud punkti tuletist piiriks (eeldusel, et see on olemas). Seda saab tähistada teatud sümbolitega:
f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
Tuletise arvutamise protsessi nimetatakse diferentseerimiseks.
Mitme muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus
Seda arvutusmeetodit kasutatakse mitme muutujaga funktsiooni uurimisel. Kahe muutuja x ja y olemasolul nimetatakse osatuletist punktis A selle funktsiooni tuletiseks x suhtes fikseeritud y-ga.
Võib esitada järgmiste tähemärkidega:
f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x või ∂f(x, y)’/∂x.
Nõutavad oskused
Hajude edukaks õppimiseks ja lahendamiseks on vaja lõimimis- ja diferentseerimisoskusi. Diferentsiaalvõrrandite mõistmise hõlbustamiseks peaksite hästi aru saama tuletise ja määramata integraali teemast. Samuti ei tee halb õppida, kuidas leida kaudselt antud funktsiooni tuletist. See on tingitud asjaolust, et õppimise käigus tuleb sageli kasutada integraale ja diferentseerimist.
Diferentsiaalvõrrandite tüübid
Peaaegu kõigis esimest järku diferentsiaalvõrranditega seotud testitöödes on 3 tüüpi võrrandeid: homogeensed, eraldatavate muutujatega, lineaarsed ebahomogeensed.
On ka haruldasemaid võrrandeid: summaarsete diferentsiaalidega, Bernoulli võrrandite ja teistega.
Otsuse põhitõed
Esiteks peaksite meeles pidama algebralisi võrrandeid koolikursusest. Need sisaldavad muutujaid ja numbreid. Tavalise võrrandi lahendamiseks peate leidma arvude komplekti, mis vastavad antud tingimusele. Reeglina oli sellistel võrranditel üks juur ja õigsuse kontrollimiseks tuli ainult see väärtus asendada tundmatuga.
Diferentsiaalvõrrand on sellega sarnane. Üldiselt sisaldab selline esimest järku võrrand:
- Sõltumatu muutuja.
- Esimese funktsiooni tuletis.
- Funktsioon või sõltuv muutuja.
Mõnel juhul võib üks tundmatutest x või y puududa, kuid see pole nii oluline, kuna lahenduse ja diferentsiaali jaoks on vajalik esimese tuletise olemasolu ilma kõrgemat järku tuletisi. arvutus õigeks.
Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab kõigi antud avaldisega sobivate funktsioonide hulga leidmist. Sellist funktsioonide komplekti nimetatakse sageli DE üldlahenduseks.
Integraalarvutus
Integraalarvutus on üks matemaatilise analüüsi osadest, mis uurib integraali mõistet, omadusi ja arvutamise meetodeid.
Tihti tehakse integraali arvutamine kõverjoonelise kujundi pindala arvutamisel. See pindala tähendab piiri, milleni antud joonisele kantud hulknurga pindala kaldub selle külje järkjärgulise suurenemisega, samas kui neid külgi saab muuta väiksemaks kui mis tahes varem määratud suvalineväike väärtus.
Suvalise geomeetrilise kujundi pindala arvutamise põhiidee on ristküliku pindala arvutamine, st tõestada, et selle pindala on võrdne pikkuse ja laiuse korrutisega. Kui rääkida geomeetriast, siis kõik konstruktsioonid tehakse joonlaua ja sirkli abil ning siis on pikkuse ja laiuse suhe ratsionaalne väärtus. Täisnurkse kolmnurga pindala arvutamisel saate kindlaks teha, et kui asetate selle kõrvale sama kolmnurga, moodustub ristkülik. Rööpkülikul arvutatakse pindala sarnasel, kuid veidi keerulisemal meetodil läbi ristküliku ja kolmnurga. Hulknurkade puhul arvutatakse pindala selles sisalduvate kolmnurkade kaudu.
Suvalise kõvera säästmise määramisel see meetod ei tööta. Kui jagate selle üksikuteks ruutudeks, siis jääb täitmata kohti. Sel juhul proovitakse kasutada kahte katet, mille üla- ja alaosas on ristkülikud, mistõttu need sisaldavad funktsiooni graafikut ja mitte. Siin jääb oluliseks nendeks ristkülikuteks jagamise meetod. Samuti, kui võtta järjest väiksemad vaheseinad, peaks üleval ja all olev ala teatud väärtuseni lähenema.
See peaks minema tagasi ristkülikuteks jagamise meetodi juurde. On kaks populaarset meetodit.
Riemann vormistas Leibnizi ja Newtoni loodud integraali definitsiooni alamgraafi pindalana. Sel juhul võeti arvesse arvud, mis koosnesid teatud arvust vertikaalsetest ristkülikutest ja saadi jagamise teelsegment. Kui partitsiooni vähenemisel on piir, milleni sarnase kujundi pindala väheneb, nimetatakse seda piiri antud intervalli funktsiooni Riemanni integraaliks.
Teine meetod on Lebesgue'i integraali konstrueerimine, mis seisneb selles, et määratletud ala jagamise koha jaoks integrandi osadeks ja seejärel nendes osades saadud väärtuste põhjal integraalsumma koostamist., jagatakse selle väärtuste vahemik intervallideks ja summeeritakse seejärel nende integraalide eelpiltide vastavate mõõtmetega.
Moodsad eelised
Ühe peamise diferentsiaal- ja integraalarvutuse uurimise käsiraamatu kirjutas Fikhtengolts – "Diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursus". Tema õpik on põhiline juhend matemaatilise analüüsi uurimisel, mis on läbinud palju väljaandeid ja tõlkeid teistesse keeltesse. Loodud ülikoolide üliõpilastele ja olnud pikka aega kasutusel paljudes õppeasutustes ühe peamise õppevahendina. Annab teoreetilisi andmeid ja praktilisi oskusi. Esmakordselt avaldati 1948.
Funktsiooniuuringute algoritm
Funktsiooni uurimiseks diferentsiaalarvutuse meetodite abil peate järgima juba antud algoritmi:
- Leidke funktsiooni ulatus.
- Leia antud võrrandi juured.
- Arvutage äärmused. Selleks arvutage tuletis ja punktid, kus see võrdub nulliga.
- Asendage saadud väärtus võrrandisse.
Diferentsiaalvõrrandite variandid
esimest järku juhtimine (muidu diferentsiaalühe muutujaga arvutus) ja nende tüübid:
- Eraldatav võrrand: f(y)dy=g(x)dx.
- Lihtsaimad võrrandid või ühe muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus, mille valem on: y'=f(x).
- Lineaarne ebahomogeenne esimest järku DE: y'+P(x)y=Q(x).
- Bernoulli diferentsiaalvõrrand: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- Võrrand kogudiferentsiaalidega: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
Teist järku diferentsiaalvõrrandid ja nende tüübid:
- Lineaarne teist järku homogeenne diferentsiaalvõrrand konstantsete koefitsientide väärtustega: y +py'+qy=0 p, q kuulub R-i.
- Lineaarne ebahomogeenne teist järku diferentsiaalvõrrand konstantsete koefitsientidega: y +py'+qy=f(x).
- Lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand: y +p(x)y'+q(x)y=0 ja ebahomogeenne teist järku võrrand: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).
Kõrgema järgu diferentsiaalvõrrandid ja nende tüübid:
- Diferentsiaalvõrrand, mida saab taandada järjekorras: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- Lineaarne kõrgemat järku homogeenne võrrand: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0 ja ebahomogeenne: y(n)+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
Diferentsiaalvõrrandiga ülesande lahendamise sammud
Kaugjuhtimispuldi abil ei lahendata mitte ainult matemaatilisi või füüsilisi küsimusi, vaid ka erinevaid probleeme alatesbioloogia, majandus, sotsioloogia jne. Vaatamata paljudele teemadele tuleks selliste probleemide lahendamisel järgida ühte loogilist järjestust:
- Kaugjuhtimispuldi koostamine. Üks raskemaid samme, mis nõuab maksimaalset täpsust, kuna iga viga viib täiesti valede tulemusteni. Arvesse tuleks võtta kõiki protsessi mõjutavaid tegureid ja määrata kindlaks algtingimused. See peaks põhinema ka faktidel ja loogilistel järeldustel.
- Sõnastatud võrrandi lahendus. See protsess on lihtsam kui esimene samm, kuna see nõuab ainult rangeid matemaatilisi arvutusi.
- Tulemuste analüüs ja hindamine. Tuletatud lahendust tuleks hinnata, et teha kindlaks tulemuse praktiline ja teoreetiline väärtus.
Näide diferentsiaalvõrrandite kasutamisest meditsiinis
Kaugjuhtimispuldi kasutamine meditsiinivaldkonnas toimub epidemioloogilise matemaatilise mudeli koostamisel. Samas ei tasu unustada, et neid võrrandeid leidub ka meditsiinile lähedases bioloogias ja keemias, sest selles on oluline roll erinevate bioloogiliste populatsioonide ja inimkehas toimuvate keemiliste protsesside uurimisel.
Ül altoodud epideemia näites võime käsitleda nakkuse levikut isoleeritud ühiskonnas. Elanikud jagunevad kolme tüüpi:
- Nakatunud, arv x(t), koosneb üksikisikutest, nakkuse kandjatest, kellest igaüks on nakkav (inkubatsiooniperiood on lühike).
- Teine tüüp sisaldabvastuvõtlikud isikud y(t), kes võivad nakatuda kokkupuutel nakatunud isikutega.
- Kolmandasse liiki kuuluvad immuunsed isikud z(t), kes on immuunsed või on haiguse tõttu surnud.
Isendite arv on püsiv, sündide, loomuliku surma ja rände arvestust ei võeta arvesse. Keskmiselt on kaks hüpoteesi.
Haigestumise protsent teatud ajahetkel on x(t)y(t) (põhineb teoorial, et haigusjuhtude arv on võrdeline haigete ja vastuvõtlike esindajate ristumiskohtade arvuga, mis esimeses lähendamine on võrdeline x(t)y(t)-ga), seoses sellega suureneb juhtumite arv ja vastuvõtlike arv väheneb kiirusega, mis arvutatakse valemiga ax(t)y(t) (a > 0).
Immuunseks muutunud või surnud immuunsete isikute arv kasvab kiirusega, mis on võrdeline haigusjuhtude arvuga, bx(t) (b > 0).
Selle tulemusel saate koostada võrrandisüsteemi, võttes arvesse kõiki kolme näitajat ja teha selle põhjal järeldusi.
Majandusnäide
Majandusanalüüsis kasutatakse sageli diferentsiaalarvutust. Majandusanalüüsi põhiülesanne on majandusest pärit suuruste uurimine, mis on kirjutatud funktsiooni kujul. Seda kasutatakse selliste probleemide lahendamisel nagu sissetulekute muutused kohe pärast maksude tõusu, tollimaksude kehtestamine, ettevõtte tulude muutumine tootmiskulude muutumisel, millises proportsioonis saab pensionile jäänud töötajaid uute seadmetega asendada. Selliste probleemide lahendamiseks on vajalooge sisendmuutujatest ühendusfunktsioon, mida seejärel diferentsiaalarvutuse abil uuritakse.
Majandussfääris on sageli vaja leida kõige optimaalsemad näitajad: maksimaalne tööviljakus, suurim sissetulek, madalaimad kulud jne. Iga selline näitaja on ühe või mitme argumendi funktsioon. Näiteks võib tootmist vaadelda tööjõu- ja kapitalisisendite funktsioonina. Sellega seoses saab sobiva väärtuse leidmise taandada funktsiooni maksimumi või miinimumi leidmiseks ühest või mitmest muutujast.
Sellised probleemid loovad majandusvaldkonnas äärmuslike probleemide klassi, mille lahendamine nõuab diferentsiaalarvutust. Kui majandusnäitajat on vaja minimeerida või maksimeerida mõne teise näitaja funktsioonina, siis maksimumpunktis kipub funktsiooni juurdekasvu ja argumentide suhe nulli, kui argumendi juurdekasv kipub olema null. Vastasel juhul, kui selline suhe kaldub mõnele positiivsele või negatiivsele väärtusele, siis määratud punkt ei sobi, sest argumenti suurendades või vähendades saate sõltuvat väärtust vajalikus suunas muuta. Diferentsiaalarvutuse terminoloogias tähendab see, et funktsiooni maksimumi nõutav tingimus on selle tuletise nullväärtus.
Majandusteaduses on sageli probleeme mitme muutujaga funktsiooni ekstreemumi leidmisega, sest majandusnäitajad koosnevad paljudest teguritest. Sellised küsimused on head.õppinud mitme muutuja funktsioonide teooriat, rakendades diferentsiaalarvutuse meetodeid. Sellised probleemid hõlmavad mitte ainult maksimeeritud ja minimeeritud funktsioone, vaid ka piiranguid. Sellised küsimused on seotud matemaatilise programmeerimisega ja neid lahendatakse spetsiaalselt välja töötatud, samuti sellel teadusharul põhinevate meetodite abil.
Majanduses kasutatavate diferentsiaalarvutuse meetodite hulgas on oluline osa marginaalanalüüsil. Majandussfääris tähistab see mõiste meetodite kogumit muutuvate näitajate ja tulemuste uurimiseks loomise, tarbimise mahu muutmisel, tuginedes nende piirnäitajate analüüsile. Piiravaks indikaatoriks on mitme muutujaga tuletis või osatuletised.
Mitme muutuja diferentsiaalarvutus on matemaatilise analüüsi valdkonnas oluline teema. Üksikasjalikuks uurimiseks võite kasutada erinevaid kõrghariduse õpikuid. Üks kuulsamaid on Fikhtengoltsi loodud - "Diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursus". Nagu nimigi ütleb, on diferentsiaalvõrrandite lahendamisel olulise tähtsusega integraalidega töötamise oskused. Kui toimub ühe muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus, muutub lahendus lihtsamaks. Kuigi tuleb märkida, et selle suhtes kehtivad samad põhireeglid. Funktsiooni uurimiseks praktikas diferentsiaalarvutuse abil piisab juba olemasoleva algoritmi järgimisest, mis on gümnaasiumis ette antud ja uute kasutuselevõtul on vaid veidi keeruline.muutujad.
