Mis on muutujad? Muutuja matemaatikas

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Muutujate tähtsus matemaatikas on suur, sest selle eksisteerimise ajal õnnestus teadlastel selles vallas teha palju avastusi ning selle või teise teoreemi lühid alt ja selgelt väljaütlemiseks kasutame muutujaid vastavate valemite kirjutamiseks.. Näiteks Pythagorase teoreem täisnurksel kolmnurgal: a² =b² + c^{2. Kuidas kirjutada iga kord ülesande lahendamisel: Pythagorase teoreemi järgi on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga - kirjutame selle valemiga üles ja kõik saab kohe selgeks.}

Niisiis, see artikkel käsitleb muutujaid, nende tüüpe ja omadusi. Arvesse võetakse ka erinevaid matemaatilisi avaldisi: ebavõrdsusi, valemeid, süsteeme ja nende lahendamise algoritme.

Muutuva mõiste

Esiteks, mis on muutuja? See on arvväärtus, mis võib võtta palju väärtusi. See ei saa olla konstantne, kuna erinevates ülesannetes ja võrrandites võtame mugavuse huvides lahendusi kuimuutuja erinevad numbrid, see tähendab, et näiteks z on üldine tähis iga koguse jaoks, mille jaoks see on võetud. Tavaliselt tähistatakse neid ladina või kreeka tähestiku tähtedega (x, y, a, b jne).

Muutujaid on erinevat tüüpi. Nad määravad nii mõned füüsikalised suurused – tee (S), aeg (t) kui ka lihts alt tundmatud väärtused võrrandites, funktsioonides ja muudes avaldistes.

Näiteks on olemas valem: S=Vt. Siin tähistavad muutujad teatud reaalse maailmaga seotud suurusi – teed, kiirust ja aega.

Ja seal on võrrand kujul: 3x - 16=12x. Siin on x juba võetud abstraktse arvuna, mis on selles tähistuses mõistlik.

Koguste tüübid

Summa tähendab midagi, mis väljendab teatud objekti, aine või nähtuse omadusi. Näiteks õhutemperatuur, looma kaal, vitamiinide protsent tabletis – need on kõik kogused, mille arvväärtusi saab välja arvutada.

Igal suurusel on oma mõõtühikud, mis koos moodustavad süsteemi. Seda nimetatakse numbrisüsteemiks (SI).

Mis on muutujad ja konstandid? Mõelge neile konkreetsete näidetega.

Võtame ette sirgjoonelise ühtlase liikumise. Ruumipunkt liigub iga kord sama kiirusega. See tähendab, et aeg ja vahemaa muutuvad, kuid kiirus jääb samaks. Selles näites on aeg ja vahemaa muutujad ning kiirus on konstantne.

Või näiteks “pi”. See on irratsionaalne arv, mis jätkub ilma kordamisetanumbrijada ja seda ei saa kirjutada täismahus, nii et matemaatikas väljendatakse seda üldtunnustatud sümboliga, mis võtab ainult antud lõpmatu murru väärtuse. See tähendab, et "pi" on konstantne väärtus.

Ajalugu

Muutujate märkimise ajalugu algab XVII sajandil teadlase René Descartesiga.

Ta määras teadaolevad väärtused tähestiku esimeste tähtedega: a, b ja nii edasi ning tundmatute jaoks soovitas ta kasutada viimaseid tähti: x, y, z. Tähelepanuväärne on, et Descartes pidas selliseid muutujaid mittenegatiivseteks arvudeks ja negatiivsete parameetritega silmitsi seistes pani ta muutuja ette miinusmärgi või kui polnud teada, mis märgiga see arv on, siis ellipsi. Kuid aja jooksul hakkasid muutujate nimed tähistama mis tahes märkide numbreid ja see sai alguse matemaatik Johann Huddest.

Muutujatega on matemaatikas arvutusi lihtsam lahendada, sest näiteks kuidas me nüüd lahendame kahekvadraatvõrrandeid? Sisestame muutuja. Näiteks:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

X2 jaoks võtame mõne k ja võrrand saab selgeks:

x2=k, kui k ≧ 0

k2 + 15 000 + 7=0

Seda toob muutujate kasutuselevõtt matemaatikasse.

Ebavõrdsused, lahendusnäited

Ebavõrdsus on kirje, milles kaks matemaatilist avaldist või kaks arvu on omavahel ühendatud võrdlusmärkidega:, ≦, ≧. Need on ranged ja tähistatud märkidega või mitteranged märkidega ≦, ≧.

Esimest korda tutvustati neid märkeThomas Harriot. Pärast Thomase surma avaldati tema raamat nende tähistega, need meeldisid matemaatikutele ja aja jooksul hakati neid matemaatilistes arvutustes laialdaselt kasutama.

Ühe muutuja võrratuste lahendamisel tuleb järgida mitmeid reegleid:

Arvu ülekandmisel ühest võrratuse osast teise muutke selle märk vastupidiseks.
Ebavõrdsuse osade korrutamisel või jagamisel negatiivse arvuga on nende märgid vastupidised.
Kui korrutate või jagate võrratuse mõlemad pooled positiivse arvuga, saate esialgsega võrdse võrratuse.

Ebavõrdsuse lahendamine tähendab muutuja kõigi kehtivate väärtuste leidmist.

Ühe muutuja näide:

10x - 50 > 150

Lahendame seda nagu tavalist lineaarvõrrandit - nihutame muutujaga terminid vasakule, ilma muutujata - paremale ja anname sarnased terminid:

10x > 200

Jagame ebavõrdsuse mõlemad pooled 10-ga ja saame:

x > 20

Selguse huvides tõmmake ühe muutujaga võrratuse lahendamise näites arvjoon, märkige sellele läbistatud punkt 20, kuna ebavõrdsus on range ja see arv ei sisaldu selle lahendite hulgas.

Selle ebavõrdsuse lahendus on intervall (20; +∞).

Mitterange ebavõrdsuse lahendamine toimub samamoodi nagu range ebavõrdsus:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Kuid on üks erand. Kirjet kujul x ≧ 5 tuleks mõista järgmiselt: x on suurem või võrdne viiega, mis tähendabarv viis sisaldub kõigi võrratuse lahendite hulgas, st vastust kirjutades paneme numbri viie ette nurksulu.

x ∈ [5; +∞)

Ruut ebavõrdsused

Kui võtame ruutvõrrandi kujul ax2 + bx +c=0 ja muudame selles oleva võrdusmärgi ebavõrdsusmärgiks, siis saame vastav alt ruutvõrratus.

Ruutvõrratuse lahendamiseks peate suutma lahendada ruutvõrrandid.

y=ax2 + bx + c on ruutfunktsioon. Me saame selle lahendada diskriminandi või Vieta teoreemi abil. Tuletage meelde, kuidas need võrrandid lahendatakse:

1) y=x2 + 12x + 11 - funktsioon on parabool. Selle harud on suunatud ülespoole, kuna koefitsiendi "a" märk on positiivne.

2) x2 + 12x + 11=0 – võrdsustage nulliga ja lahendage diskriminandi abil.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 juurt

Vastav alt ruutvõrrandi juurte valemile saame:

x₁ =-1, x_2=-11

Või võite selle võrrandi lahendada Vieta teoreemi abil:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Kasutades valikumeetodit, saame võrrandi samad juured.

Parabool

Niisiis, esimene viis ruutvõrratuse lahendamiseks on parabool. Selle lahendamise algoritm on järgmine:

1. Määrake, kuhu on suunatud parabooli harud.

2. Võrdsusta funktsioon nulliga ja leidke võrrandi juured.

3. Ehitame arvujoone, märgime sellele juured, joonistame parabooli ja leiame vajaliku tühimiku, olenev alt ebavõrdsuse märgist.

Lahendage ebavõrdsus x2 + x - 12 > 0

Kirjutage välja funktsioonina:

1) y=x2 + x - 12 - parabool, hargneb üles.

Määra null.

2) x2 + x -12=0

Järgmisena lahendame ruutvõrrandina ja leiame funktsiooni nullid:

x₁ =3, x_2=-4

3) Joonistage sellele arvurida punktidega 3 ja -4. Parabool läbib neid, hargneb üles ja vastuseks ebavõrdsusele on positiivsete väärtuste hulk, st (-∞; -4), (3; +∞).

Intervallmeetod

Teine viis on vahede määramise meetod. Selle lahendamise algoritm:

1. Leidke võrrandi juured, mille võrratus on võrdne nulliga.

2. Märgime need numbrireale. Seega on see jagatud mitmeks intervalliks.

3. Määrake mis tahes intervalli märk.

4. Ülejäänud intervallidega paneme sildid, muutes neid ühe järel.

Lahendage võrratus (x - 4) (x - 5) (x + 7) ≦ 0

1) Ebavõrdsuse nullid: 4, 5 ja -7.

2) Joonistage need numbrireale.

3) Määrake intervallide märgid.

Vastus: (-∞; -7]; [4; 5].

Lahendage veel üks ebavõrdsus: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Võrratuse nullid: 0, 2, -2 ja 1.

2. Märkige need numbrireale.

3. Määrake intervallimärgid.

Rida on jagatud intervallideks - -2 kuni 0, 0 kuni 1, 1 kuni 2.

Võtke väärtus esimesel intervallil – (-1). Asendamine ebavõrdsuses. Selle väärtuse korral muutub ebavõrdsus positiivseks, mis tähendab, et selle intervalli märk on +.

Edaspidi, alustades esimesest vahest, järjestame märgid, muutes neid ühe järel.

Ebavõrdsus on suurem kui null, see tähendab, et peate re alt leidma positiivsete väärtuste komplekti.

Vastus: (-2; 0), (1; 2).

Võrrandisüsteemid

Kahe muutujaga võrrandisüsteem on kaks võrrandit, mis on ühendatud lokkis suludega, millele on vaja leida ühine lahendus.

Süsteemid võivad olla samaväärsed, kui ühe üldlahendus on teise lahendus või mõlemal pole lahendust.

Uurime kahe muutujaga võrrandisüsteemide lahendamist. Nende lahendamiseks on kaks võimalust – asendusmeetod või algebraline meetod.

Algebraline meetod

Pildil kujutatud süsteemi lahendamiseks selle meetodi abil tuleb esm alt üks selle osa korrutada sellise arvuga, et hiljem saaks vastastikku ühe muutuja mõlemast võrrandi osast tühistada. Siin korrutame kolmega, tõmbame süsteemi alla joone ja liidame selle osad kokku. Selle tulemusena muutuvad x-id mooduli poolest identseks, kuid märgilt vastupidiseks ja me vähendame neid. Järgmisena saame ühe muutujaga lineaarvõrrandi ja lahendame selle.

Leidsime Y, kuid me ei saa sellega peatuda, sest me pole veel X-i leidnud. AsendajaY sellele osale, kust on mugav X välja võtta, näiteks:

-x + 5a=8, y=1

-x + 5=8

Lahendage saadud võrrand ja leidke x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Süsteemi lahenduses on põhiline vastuse õige kirja panemine. Paljud õpilased teevad vea, kirjutades:

Vastus: -3, 1.

Aga see on vale kirje. Lõppude lõpuks, nagu juba eespool mainitud, otsime võrrandisüsteemi lahendamisel selle osadele üldist lahendust. Õige vastus oleks:

(-3; 1)