Matemaatikas on mõiste "hulk" ja ka näited nende samade hulkade omavaheliseks võrdlemiseks. Hulkade võrdlemise tüüpide nimetused on järgmised sõnad: bijektsioon, süstimine, surjektsioon. Kõiki neist kirjeldatakse üksikasjalikum alt allpool.
Bijektsioon on… mis see on?
Esimese komplekti üks elementide rühm sobitatakse sellisel kujul teise rühma elementide teise rühmaga: esimese rühma iga element sobitatakse otse teise rühma ühe elemendiga ja ei ole olukord, kus mis tahes või kahe rühma rühma elemendid on puudulikud või loendatud.
Peamiste omaduste sõnastus:
- Üks element ühele.
- Sobitamisel pole lisaelemente ja esimene omadus säilib.
- Võimalik on kaardistamist ümber pöörata, säilitades samal ajal üldvaate.
- Bijektsioon on funktsioon, mis on nii injektiivne kui ka sürjektiivne.
Bijektsioon teaduslikust vaatenurgast
Bijektiivsed funktsioonid on täpselt isomorfismid kategoorias "funktsioonide komplekt ja komplekt". Kuid bijektsioon ei ole alati keerukamate kategooriate isomorfism. Näiteks teatud rühmade kategoorias peavad morfismid olema homomorfismid, kuna need peavad säilitama rühma struktuuri. Seetõttu on isomorfismid rühmaisomorfismid, mis on bijektiivsed homomorfismid.
Mõte "üks-ühele vastavus" on üldistatud osalistele funktsioonidele, kus neid nimetatakse osalisteks bijektideks, kuigi osaline bijektsioon peaks olema süst. Selle lõdvestuse põhjuseks on see, et osalist (õiget) funktsiooni ei ole selle domeeni osa jaoks enam määratletud. Seega pole head põhjust piirata selle pöördfunktsiooni täieliku funktsiooniga, st defineeritud kõikjal oma domeenis. Antud põhihulga kõigi osaliste bijektsioonide hulka nimetatakse sümmeetriliseks pöördpoolrühmaks.
Teine viis sama mõiste defineerimiseks: tasub öelda, et A-st B-sse kuuluvate hulkade osaline bijektsioon on mis tahes seos R (osafunktsioon) omadusega, et R on bijekteerimisgraaf f:A'→B ' kus A' on A alamhulk ja B' on B alamhulk.
Kui osaline bijektsioon on samas komplektis, nimetatakse seda mõnikord üks-ühele osaliseks teisenduseks. Näiteks on Möbiuse teisendus just defineeritud komplekstasandil, mitte selle lõpetamine laiendatud komplekstasandil.
Süstimine
Esimese komplekti üks elementide rühm sobitatakse sellisel kujul teise rühma elementide rühmaga: esimese rühma iga element on sobitatud teise ühe elemendiga, kuid mitte kõik. need muudetakse paarideks. Paarimata elementide arv sõltub just nende elementide arvu erinevusest igas komplektis: kui üks komplekt koosneb kolmekümne ühest elemendist ja teises on veel seitse, siis paaritute elementide arv on seitse. Suunatud süstimine komplekti. Bijektsioon ja süstimine on sarnased, kuid mitte midagi muud kui sarnased.
Surjection
Esimese hulga üks elementide rühm sobitatakse teise rühma teise elementide rühmaga sel viisil: mis tahes rühma iga element moodustab paari, isegi kui elementide arv on erinev. Sellest järeldub, et üks element ühest rühmast võib siduda mitme teise rühma elemendiga.
Ei bijektiivne, injektiivne ega sürjektiivne funktsioon
See on bijektiivse ja sürjektiivse vormi funktsioon, kuid ülejäänud (paarimata)=> süstiga. Sellises funktsioonis on selgelt seos bijektsiooni ja surjektsiooni vahel, kuna see hõlmab otseselt neid kahte tüüpi komplektide võrdlusi. Seega ei ole kõigi nende funktsioonide kogum üks neist eraldi.
Igasuguste funktsioonide selgitused
Näiteks paelub vaatlejat järgmine. Toimuvad vibulaskmise võistlused. Igaüks neistosalejad soovivad tabada sihtmärki (ülesande hõlbustamiseks: täpselt noole tabamust ei võeta arvesse). Ainult kolm osalejat ja kolm sihtmärki – see on turniiri esimene koht (sait). Järgmistes lõikudes säilitatakse vibulaskjate arv, kuid muudetakse sihtmärkide arvu: teisel - neli, järgmisel - samuti neli ja neljandal - viis. Iga osaleja laseb igasse märklauda.
- Turniiri esimene koht. Esimene vibukütt tabab ainult ühte sihtmärki. Teine tabab ainult ühte sihtmärki. Kolmas kordub teiste järel ja kõik vibulaskjad tabavad erinevaid sihtmärke: neid, mis on nende vastas. Selle tulemusena tabas 1 (esimene vibukütt) sihtmärki (a), 2 - in (b), 3 - in (c). Täheldatakse järgmist sõltuvust: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Järelduseks on otsus, et selline hulkade võrdlus on bijektsioon.
- Turniiri teine platvorm. Esimene vibukütt tabab ainult ühte sihtmärki. Ka teine tabab ainult ühte sihtmärki. Kolmas väga ei ürita ja kordab kõike teiste järel, kuid tingimus on sama – kõik vibulaskjad tabavad erinevaid märklaudu. Kuid nagu varem mainitud, on teisel platvormil juba neli sihtmärki. Sõltuvus: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - komplekti paaritu element. Sel juhul tehakse järeldus, et selline komplekti võrdlus on süst.
- Turniiri kolmas koht. Esimene vibukütt tabab ainult ühte sihtmärki. Teine tabab taas ainult ühte sihtmärki. Kolmas otsustab end kokku võtta ning tabab kolmandat ja neljandat sihtmärki. Selle tulemusena on sõltuvus: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Siin tehakse järeldus, et selline hulkade võrdlus on oletus.
- Turniiri neljas platvorm. Esimesega on kõik juba selge, ta tabab vaid ühte märklauda, milles niigi igavatele tabamustele varsti enam ruumi ei ole. Nüüd võtab teine veel hiljutise kolmandiku rolli ja tabab taas ainult ühte sihtmärki, korrates pärast esimest. Kolmas jätkab enda kontrollimist ega lõpeta oma noole tutvustamist kolmandale ja neljandale sihtmärgile. Viies oli aga endiselt tema kontrolli alt väljas. Niisiis, sõltuvus: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - sihtmärkide komplekti sidumata element. Järeldus: selline komplektide võrdlus ei ole väljaütlemine, süstimine ega bijektsioon.
Nüüd ei valmista bijektsiooni, süsti või sürjektsiooni konstrueerimine ega ka nendevaheliste erinevuste leidmine probleemi.
