Koosinuse tuletis leitakse analoogia põhjal siinuse tuletisega, tõestuse aluseks on funktsiooni piiri määratlus. Võite kasutada teist meetodit, kasutades nurkade koosinuse ja siinuse trigonomeetrilisi taandamisvalemeid. Väljendage ühte funktsiooni teisega – koosinust siinuse kaudu ja eristage siinus kompleksargumendiga.
Mõelge valemi (Cos(x)) tuletamise esimesele näitele'
Andke funktsiooni y=Cos(x) argumendile x tühiselt väike juurdekasv Δx. Argumendi х+Δх uue väärtusega saame funktsiooni Cos(х+Δх) uue väärtuse. Siis on funktsiooni juurdekasv Δy võrdne Cos(х+Δx)-Cos(x).
Funktsiooni juurdekasvu suhe Δх on järgmine: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Teostame saadud murru lugejas identsed teisendused. Tuletage meelde nurkade koosinuste erinevuse valem, tulemuseks on korrutis -2Sin (Δx / 2) korda Sin (x + Δx / 2). Leiame selle korrutise jagatislimiidi piiri väärtusel Δx, kuna Δx kipub olema null. On teada, et esimene(seda nimetatakse imeliseks) piir lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) on võrdne 1-ga ja piir -Sin(x+Δx/2) on võrdne -Sin(x) kui Δx kipub nulli. Kirjutage tulemus üles: (Cos(x))' tuletis on võrdne - Sin(x).
Mõned inimesed eelistavad teist viisi sama valemi tuletamiseks
Trigonomeetria käigus on teada: Cos(x) on võrdne Sin(0, 5 ∏-x), samamoodi on Sin(x) võrdne Cos(0, 5 ∏-x). Seejärel eristame kompleksfunktsiooni - lisanurga siinuse (koosinuse x asemel).
Saame korrutise Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', sest siinuse x tuletis on võrdne koosinusega X. Pöördume koosinuse siinusega asendamise teise valemi Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) juurde, võttes arvesse, et (0,5 ∏-x)'=-1. Nüüd saame -Sin(x). Nii, leitakse koosinuse tuletis, y'=-Sin(x) funktsiooni y=Cos(x) jaoks.
Ruutkoosinuse tuletis
Tavaliselt kasutatav näide, kus kasutatakse koosinustuletist. Funktsioon y=Cos2(x) on raske. Esm alt leiame astmefunktsiooni diferentsiaali astendajaga 2, see on 2·Cos(x), seejärel korrutame selle tuletisega (Cos(x))', mis on võrdne -Sin(x). Saame y'=-2 Cos(x) Sin(x). Kui rakendame valemit Sin(2x), topeltnurga siinust, saame lõpliku lihtsustatud vastusevastus y'=-Sin(2x)
Hüperboolsed funktsioonid
Neid kasutatakse paljude tehniliste erialade uurimisel: näiteks matemaatikas hõlbustavad need integraalide arvutamist, diferentsiaalvõrrandite lahendamist. Neid väljendatakse kujuteldavate trigonomeetriliste funktsioonidenaargument, seega hüperboolne koosinus ch(x)=Cos(i x), kus i on imaginaarne ühik, hüperboolne siinus sh(x)=Sin(i x).
Hüperboolse koosinuse tuletis arvutatakse üsna lihts alt.
Võtke arvesse funktsiooni y=(ex+e-x) /2, see ja on hüperboolne koosinus ch(x). Kasutame kahe avaldise summa tuletise leidmise reeglit, tuletise märgist konstantse teguri (Const) väljavõtmise reeglit. Teine liige 0,5 e-x on kompleksfunktsioon (selle tuletis on -0,5 e-x), 0,5 eх - esimene ametiaeg. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' saab kirjutada muul viisil: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, kuna tuletis (e - x)' võrdub -1 korda e-x. Tulemuseks on erinevus ja see on hüperboolne siinus sh(x).Väljund: (ch(x))'=sh(x).
Vaatame näidet, kuidas arvuta funktsiooni y=ch(x
3+1) tuletis.Vastav alt hüperboolse koosinuse diferentseerimise reeglile kompleksargumendiga y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', kus (x3+1)'=3 x 2+0. Vastus: selle funktsiooni tuletis on 3 x
2sh(x3+1).
Vaatatavate funktsioonide tabelituletised y=ch(x) ja y=Cos(x)
Näidete lahendamisel pole vaja neid iga kord pakutud skeemi järgi eristada, piisab järelduse kasutamisest.
Näide. Eristage funktsiooni y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Lihtne arvutada (kasutage tabeliandmeid), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
