Õpilane kohtab 2. järku pindu kõige sagedamini esimesel kursusel. Esialgu võivad selleteemalised ülesanded tunduda lihtsad, kuid kõrgemat matemaatikat õppides ja teaduslikku külge süvenedes võid lõpuks lõpetada toimuvas orienteerumise. Et seda ei juhtuks, on vaja mitte ainult meelde jätta, vaid mõista, kuidas see või teine pind saadakse, kuidas koefitsientide muutmine mõjutab seda ja selle asukohta algse koordinaatsüsteemi suhtes ning kuidas leida uus süsteem (selline, mille keskpunkt ühtib lähtekoordinaatidega ja sümmeetriatelg on paralleelne ühe koordinaatteljega). Alustame algusest.
Definitsioon
GMT nimetatakse teist järku pinnaks, mille koordinaadid vastavad järgmise vormi üldvõrrandile:
F(x, y, z)=0.
On selge, et igal pinnale kuuluval punktil peab olema kolm koordinaati mingil kindlal alusel. Kuigi mõnel juhul võib punktide lookus degenereeruda näiteks tasapinnaks. See tähendab ainult seda, et üks koordinaatidest on konstantne ja võrdub nulliga kogu vastuvõetavate väärtuste vahemikus.
Eespool mainitud võrdsuse täielik maalitud vorm näeb välja järgmine:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – mingid konstandid, x, y, z – muutujad, mis vastavad mingi punkti afiinsetele koordinaatidele. Sel juhul ei tohi vähem alt üks konstantsetest teguritest olla võrdne nulliga, see tähendab, et ükski punkt ei vasta võrrandile.
Valdav enamiku näidete puhul on paljud arvulised tegurid endiselt võrdsed nulliga ja võrrand on oluliselt lihtsustatud. Praktikas ei ole punkti pinda kuuluvuse kindlakstegemine keeruline (piisab, kui asendada võrrandisse selle koordinaadid ja kontrollida, kas identsust täheldatakse). Sellise töö põhipunkt on viia viimane kanoonilisse vormi.
Eespool kirjutatud võrrand määratleb kõik (kõik allpool loetletud) teist järku pinnad. Vaatleme allpool näiteid.
Teise järgu pindade tüübid
Teist järku pindade võrrandid erinevad ainult koefitsientide Anm väärtuste poolest. Üldiselt võib konstantide teatud väärtuste jaoks saada erinevaid pindu, mis on klassifitseeritud järgmiselt:
- Silindrid.
- Elliptiline tüüp.
- Hüperboolne tüüp.
- Kooniline tüüp.
- Parabooltüüp.
- Lennukid.
Igal loetletud tüüpidel on loomulik ja kujuteldav vorm: imaginaarsel kujul reaalsete punktide asukoht kas taandub lihtsamaks kujundiks või puudub üldse.
Silindrid
See on kõige lihtsam tüüp, kuna suhteliselt keeruline kõver asub ainult põhjas, toimides juhisena. Generaatorid on sirgjooned, mis on risti tasapinnaga, millel alus asub.
Graafik näitab ringikujulist silindrit, elliptilise silindri erijuhtu. XY tasapinnal on selle projektsioon ellips (meie puhul ring) - juhik ja XZ - ristkülik - kuna generaatorid on paralleelsed Z-teljega. Selle saamiseks üldvõrrandist on vaja et anda koefitsientidele järgmised väärtused:
Tavaliste sümbolite x, y, z, x asemel kasutatakse seerianumbriga sümboleid – see ei oma tähtsust.
Tegelikult on 1/a2ja teised siin näidatud konstandid samad koefitsiendid, mis on näidatud üldvõrrandis, kuid tavaks on need kirjutada sellisel kujul - see on kanooniline esitus. Lisaks kasutatakse ainult sellist tähistust.
Nii defineeritakse hüperboolsilindrit. Skeem on sama – juhiseks saab hüperbool.
y2=2px
Paraboolsilindrit defineeritakse mõnevõrra erinev alt: selle kanooniline vorm sisaldab koefitsienti p, mida nimetatakse parameetriks. Tegelikult on koefitsient võrdne q=2p, kuid tavaks on see jagada kaheks esitatud teguriks.
On ka teist tüüpi silindrid: kujuteldavad. Sellisele silindrile ei kuulu päris punkt. Seda kirjeldab võrrandelliptiline silinder, kuid ühiku asemel on -1.
Elliptiline tüüp
Ellipsoidi saab venitada piki ühte telgedest (mida mööda see sõltub ül altoodud konstantide a, b, c väärtustest; on ilmne, et suuremale teljele vastab suurem koefitsient).
On olemas ka kujuteldav ellipsoid – eeldusel, et koordinaatide summa, mis on korrutatud koefitsientidega, on -1:
Hüperboloidid
Kui ühes konstandis ilmub miinus, muutub ellipsoidi võrrand ühelehelise hüperboloidi võrrandiks. Tuleb mõista, et see miinus ei pea asuma enne koordinaati x3! See määrab ainult, milline telgedest on hüperboloidi pöörlemistelg (või sellega paralleelne, kuna millal ruudule ilmuvad täiendavad terminid (nt (x-2)2) joonise keskpunkt nihkub, mille tulemusena pind liigub paralleelselt koordinaattelgedega). See kehtib kõigi 2. järku pindade kohta.
Pealegi peate mõistma, et võrrandid esitatakse kanoonilisel kujul ja neid saab muuta konstante muutes (märk säilinud!); samas kui nende vorm (hüperboloid, koonus ja nii edasi) jääb samaks.
See võrrand on juba antud kahelehelise hüperboloidiga.
Kooniline pind
Koonusvõrrandis pole ühikut – võrdsus nulliga.
Ainult piiratud koonusekujulist pinda nimetatakse koonuseks. Alloleval pildil on näha, et tegelikult on diagrammil kaks nn koonust.
Oluline märkus: kõigis vaadeldavates kanoonilistes võrrandites on konstandid vaikimisi positiivsed. Vastasel juhul võib märk lõplikku diagrammi mõjutada.
Koordinaaditasanditest saavad koonuse sümmeetriatasandid, sümmeetriakese asub lähtepunktis.
Imaginaarses koonuse võrrandis on ainult plussid; sellel on üks reaalne punkt.
Paraboloidid
Teist järku pinnad ruumis võivad võtta erineva kuju isegi sarnaste võrrandite korral. Näiteks on kahte tüüpi paraboloide.
x2/a2+y2/b2=2z
Elliptiline paraboloid, kui Z-telg on joonisega risti, projitseeritakse ellipsiks.
x2/a2-y2/b2=2z
Hüperboolne parabool: lõigud, mille tasapinnad on paralleelsed ZY-ga, tekitavad paraboolid ja lõigud, mille tasapinnad on paralleelsed XY-ga, tekitavad hüperboole.
Listuvad lennukid
On juhtumeid, kus 2. järku pinnad degenereeruvad tasapinnaks. Neid tasapindu saab paigutada mitmel viisil.
Esm alt kaaluge ristuvaid tasapindu:
x2/a2-y2/b2=0
Selle kanoonilise võrrandi modifikatsiooni tulemuseks on vaid kaks lõikuvat tasapinda (kujuteldav!); kõik reaalpunktid asuvad võrrandis puuduva koordinaadi teljel (kanoonilises Z-teljel).
Paralleelsed lennukid
y2=a2
Kui on ainult üks koordinaat, degenereeruvad 2. järku pinnad paralleelsete tasandite paariks. Pidage meeles, et Y võib asendada mis tahes muu muutuja; siis saadakse teiste telgedega paralleelsed tasapinnad.
y2=−a2
Sel juhul muutuvad need kujuteldavaks.
Kattuvad lennukid
y2=0
Nii lihtsa võrrandi korral taandub tasandite paar üheks – need langevad kokku.
Ära unusta, et kolmemõõtmelise aluse puhul ei defineeri ül altoodud võrrand sirget y=0! Sellel puuduvad ülejäänud kaks muutujat, kuid see tähendab lihts alt, et nende väärtus on konstantne ja võrdne nulliga.
Ehitis
Õpilase jaoks on üks raskemaid ülesandeid II järku pindade ehitamine. Veelgi keerulisem on liikuda ühest koordinaatsüsteemist teise, arvestades kõvera nurki telgede suhtes ja keskpunkti nihet. Kordame üle, kuidas analüütiliselt järjekindl alt määrata joonise tulevikuvaadetviisil.
Teise järgu pinna ehitamiseks vajate:
- too võrrand kanoonilisele kujule;
- määrata uuritava pinna tüüp;
- konstrueerida koefitsiendi väärtuste põhjal.
Allpool on kõik kaalutud tüübid:
Konsolideerimiseks kirjeldame üksikasjalikult ühte seda tüüpi ülesande näidet.
Näited
Oletame, et on olemas võrrand:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60a+144=0
Toome selle kanoonilisele kujule. Toome eraldi välja täisruudud, st järjestame saadaolevad terminid nii, et need on summa või vahe ruudu laiendus. Näiteks: kui (a+1)2=a2+2a+1, siis a2+2a +1=(a+1)2. Teeme teise operatsiooni. Sel juhul ei ole vaja sulgusid avada, kuna see muudab arvutused ainult keerulisemaks, kuid on vaja välja võtta ühine tegur 6 (sulgudes koos Y täisruuduga):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Muutuja z esineb sel juhul ainult üks kord – võite selle praegu rahule jätta.
Selles etapis analüüsime võrrandit: kõigile tundmatutele eelneb plussmärk; kuuega jagades jääb üks. Seetõttu on meil võrrand, mis defineerib ellipsoidi.
Pange tähele, et 144 arvestati 150-6-ks, misjärel nihutati -6 paremale. Miks tuli seda nii teha? Ilmselt on selle näite suurim jagaja -6, nii et pärast sellega jagamistüks jäetakse paremale, tuleb 144-st täpselt 6 "edasida" (tõsiasi, et peaks olema paremal, näitab vaba termini olemasolu - konstant, mida ei korruta tundmatuga).
Jagage kõik kuuega ja saage ellipsoidi kanooniline võrrand:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Varem kasutatud 2. järku pindade klassifikatsioonis käsitletakse erijuhtu, kui joonise keskpunkt asub koordinaatide alguspunktis. Selles näites on see nihe.
Eeldame, et iga sulg koos tundmatutega on uus muutuja. See tähendab: a=x-1, b=y+5, c=z. Uutes koordinaatides langeb ellipsoidi keskpunkt kokku punktiga (0, 0, 0), seega a=b=c=0, kust: x=1, y=-5, z=0. Algkoordinaatides asub joonise keskpunkt punktis (1, -5, 0).
Ellipsoid saadakse kahest ellipsist: esimene XY tasapinnal ja teine XZ tasapinnal (või YZ – vahet pole). Koefitsiendid, millega muutujad jagunevad, on kanoonilises võrrandis ruudus. Seetõttu oleks ül altoodud näites õigem jagada kahe, ühe ja kolme juurega.
Esimese ellipsi väiketelg, mis on paralleelne Y-teljega, on kaks. X-teljega paralleelne peatelg on kahe kaks juurt. Teise ellipsi väiketelg, mis on paralleelne Y-teljega, jääb samaks - see on võrdne kahega. Ja suurtelg, mis on paralleelne Z-teljega, on võrdne kolme kahe juurega.
Algsest võrrandist kanoonilisele vormile teisendamise teel saadud andmete abil saame joonistada ellipsoidi.
Kokkuvõtted
Selles artiklis käsitletudteema on üsna ulatuslik, kuid tegelikult, nagu nüüd näete, mitte eriti keeruline. Selle areng lõppeb tegelikult hetkel, kui pindade nimed ja võrrandid (ja muidugi ka nende välimus) pähe õpid. Ül altoodud näites oleme iga sammu üksikasjalikult arutanud, kuid võrrandi viimine kanoonilisele kujule nõuab minimaalseid teadmisi kõrgemast matemaatikast ja see ei tohiks õpilasele raskusi tekitada.
Tuleviku ajakava analüüs olemasoleva võrdõiguslikkuse kohta on juba keerulisem ülesanne. Kuid selle edukaks lahendamiseks piisab, kui mõistate, kuidas on üles ehitatud vastavad teist järku kõverad – ellipsid, paraboolid ja muud.
Degeneratsioonijuhtumid – veelgi lihtsam jaotis. Mõnede muutujate puudumise tõttu ei ole lihtsustatud mitte ainult arvutused, nagu varem mainitud, vaid ka konstruktsioon ise.
Niipea, kui saate igat tüüpi pindu enesekindl alt nimetada, muutke konstante, muutes graafiku ühe või teise kujuga - teema saab selgeks.
Edu õpingutes!
