Üks geomeetria aksioomidest väidab, et iga kahe punkti kaudu on võimalik tõmmata üks sirge. See aksioom annab tunnistust sellest, et on olemas ainulaadne arvavaldis, mis kirjeldab unikaalselt määratud ühemõõtmelist geomeetrilist objekti. Vaatleme artiklis küsimust, kuidas kirjutada kahte punkti läbiva sirge võrrand.
Mis on punkt ja sirge?
Enne kui mõelda küsimusele, kuidas ruumis ja tasapinnal konstrueerida erinevat punkti läbiva võrrandi sirgjoon, tuleks määratleda määratud geomeetrilised objektid.
Punkt on üheselt määratud koordinaatide komplektiga antud koordinaattelgede süsteemis. Lisaks neile pole punkti jaoks enam tunnuseid. Ta on nullmõõtmeline objekt.
Sirgest joonest rääkides kujutab iga inimene ette joont, mis on kujutatud valgel paberilehel. Samas on võimalik anda täpne geomeetriline määratlussee objekt. Sirge on selline punktide kogum, mille jaoks kõigi nende ühendamine kõigi teistega annab paralleelsete vektorite komplekti.
Seda definitsiooni kasutatakse sirgjoone vektorvõrrandi seadmisel, mida arutatakse allpool.
Kuna iga joont saab tähistada suvalise pikkusega segmendiga, peetakse seda ühemõõtmeliseks geomeetriliseks objektiks.
Numbvektorfunktsioon
Võrrandit läbiva sirge kahe punkti kaudu saab kirjutada erineval kujul. Kolme- ja kahemõõtmelistes ruumides on peamine ja intuitiivselt arusaadav arvavaldis vektor.
Oletame, et on olemas mingi suunatud segment u¯(a; b; c). 3D-ruumis võib vektor u¯ alata mis tahes punktist, nii et selle koordinaadid määravad lõpmatu hulga paralleelseid vektoreid. Kui aga valime konkreetse punkti P(x0; y0; z0) ja paneme kui see on vektori u¯ algus, siis korrutades selle vektori suvalise reaalarvuga λ, saame kõik ühe sirge punktid ruumis. See tähendab, et vektorvõrrand kirjutatakse järgmiselt:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Ilmselt on tasapinna puhul numbriline funktsioon järgmine:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Seda tüüpi võrrandi eelis võrreldes teistega (segmentides, kanoonilistes,üldvorm) seisneb selles, et see sisaldab selgesõnaliselt suunavektori koordinaate. Viimast kasutatakse sageli selleks, et teha kindlaks, kas sirged on paralleelsed või risti.
Üldine segmentides ja kanooniline funktsioon sirge jaoks kahemõõtmelises ruumis
Ülesannete lahendamisel tuleb vahel kirjutada kaht punkti läbiva sirge võrrand kindlal kindlal kujul. Seetõttu tuleks selle geomeetrilise objekti täpsustamiseks kahemõõtmelises ruumis esitada teisi viise (lihtsuse huvides käsitleme juhtumit tasapinnal).
Alustame üldvõrrandiga. Sellel on vorm:
Ax + By + C=0
Reeglina kirjutatakse tasapinnal sirge võrrand sellisel kujul, ainult y on selgelt defineeritud läbi x.
Nüüd teisendage ül altoodud avaldis järgmiselt:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Seda avaldist nimetatakse lõikude võrrandiks, kuna iga muutuja nimetaja näitab, kui pikaks lõiguks lõigud vastaval koordinaatteljel alguspunkti suhtes (0; 0) katkeb.
Jääb üle tuua näite kanoonilisest võrrandist. Selleks kirjutame vektori võrdsuse selgesõnaliselt:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Avaldame siit parameetri λ ja võrdsustame saadud võrrandid:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Viimast võrdsust nimetatakse võrrandiks kanoonilisel või sümmeetrilisel kujul.
Iga neist saab teisendada vektoriks ja vastupidi.
Kahte punkti läbiva sirge võrrand: kompileerimistehnika
Tagasi artikli küsimuse juurde. Oletame, et ruumis on kaks punkti:
M(x1; y1; z1) ja N(x 2; y2; z2)
Neid läbib ainus sirge, mille võrrandit on vektorkujul väga lihtne koostada. Selleks arvutame suunatud segmendi MN¯ koordinaadid, meil on:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Pole raske arvata, et sellest vektorist saab sirge, mille võrrand tuleb saada, juhiseks. Teades, et see läbib ka M-i ja N-i, saad vektoravaldise jaoks kasutada nende koordinaate. Seejärel saab soovitud võrrand järgmisel kujul:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Kahemõõtmelise ruumi puhul saame sarnase võrdsuse ilma muutuja z osaluseta.
Niipea, kui rea vektorvõrdsus on kirjutatud, saab selle tõlkida mis tahes muusse vormi, mida ülesande küsimus nõuab.
Ülesanne:kirjutage üldvõrrand
On teada, et sirge läbib punkte koordinaatidega (-1; 4) ja (3; 2). Neid läbiva sirge võrrand on vaja koostada üldkujul, väljendades y-d x-iga.
Ülesande lahendamiseks kirjutame võrrandi esm alt vektorkujul. Vektori (juht) koordinaadid on:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Siis on sirgjoone võrrandi vektorvorm järgmine:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Jääb üle kirjutada üldkujul kujul y(x). Kirjutame selle võrdsuse selgesõnaliselt ümber, väljendame parameetri λ ja jätame selle võrrandist välja:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4–2λ=> λ=(4-a)/2;
(x+1)/4=(4-a)/2
Saadud kanoonilisest võrrandist väljendame y ja jõuame vastuseni ülesande küsimusele:
y=-0,5x + 3,5
Selle võrdsuse kehtivust saab kontrollida, asendades ülesande avalduses määratud punktide koordinaadid.
Probleem: lõigu keskpunkti läbiv sirgjoon
Nüüd lahendame ühe huvitava probleemi. Oletame, et on antud kaks punkti M(2; 1) ja N(5; 0). On teada, et punkte ühendava lõigu keskpunkti läbib sirgjoon, mis on sellega risti. Kirjutage lõigu keskpunkti läbiva sirge võrrand vektorkujul.
Soovitava arvavaldise saab moodustada selle keskpunkti koordinaadi arvutamisel ja suunavektori määramisel, missegment moodustab nurga 90o.
Lõigu keskpunkt on:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Nüüd arvutame vektori MN¯ koordinaadid:
MN¯=N - M=(3; -1)
Kuna soovitud sirge suunavektor on MN¯-ga risti, on nende skalaarkorrutis võrdne nulliga. See võimaldab teil arvutada juhtimisvektori tundmatud koordinaadid (a; b):
a3 – b=0=>
b=3a
Nüüd kirjutage vektorvõrrand:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Siin oleme asendanud toote aλ uue parameetriga β.
Seega oleme koostanud lõigu keskpunkti läbiva sirge võrrandi.
