Üsna sageli on matemaatikateaduses mitmeid raskusi ja küsimusi ning paljud vastused pole alati selged. Erandiks polnud ka selline teema nagu komplektide kardinaalsus. Tegelikult pole see midagi muud kui objektide arvu numbriline avaldis. Üldises mõttes on hulk aksioom, sellel pole definitsiooni. See põhineb mis tahes objektidel või õigemini nende kogumil, mis võib olla tühi, lõplik või lõpmatu. Lisaks sisaldab see täisarve või naturaalarve, maatrikseid, jadasid, segmente ja ridu.
Olemasolevate muutujate kohta
Null või tühi komplekt, millel puudub sisemine väärtus, loetakse kardinaalseks elemendiks, kuna see on alamhulk. Mittetühja hulga S kõigi alamhulkade kogum on hulkade hulk. Seega peetakse antud hulga astmehulka paljudeks, mõeldavaks, kuid üksikuks. Seda hulka nimetatakse S astmete hulgaks ja seda tähistatakse P (S). Kui S sisaldab N elementi, siis P(S) sisaldab 2^n alamhulka, kuna P(S) alamhulk on kas ∅ või alamhulk, mis sisaldab r elementi S-st, r=1, 2, 3, … Koosneb kõigest lõpmatustkomplekti M nimetatakse võimsussuuruseks ja seda tähistatakse sümboolselt tähega P (M).
Hangusteooria elemendid
Selle teadmiste valdkonna töötas välja George Cantor (1845-1918). Tänapäeval kasutatakse seda peaaegu kõigis matemaatikaharudes ja see on selle põhiosa. Hulgateoorias esitatakse elemendid loendi kujul ja need on antud tüüpide (tühi hulk, üksikhulk, lõplik ja lõpmatu hulk, võrdne ja ekvivalentne, universaalne), liite, lõikepunkti, erinevuse ja arvude liitmise järgi. Igapäevaelus räägime sageli esemete kogumist, nagu võtmekimp, linnuparv, kaardipakk jne. Matemaatika 5. klassis ja hiljem on naturaal-, täis-, alg- ja liitarvud.
Võib arvesse võtta järgmisi komplekte:
- looduslikud numbrid;
- tähestikutähed;
- esmane koefitsient;
- erinevate külgedega kolmnurgad.
On näha, et need täpsustatud näited on täpselt määratletud objektide komplektid. Mõelge veel mõnele näitele:
- viis maailma kuulsaimat teadlast;
- seitse ilusat tüdrukut ühiskonnas;
- kolm parimat kirurgi.
Need kardinaalsuse näited ei ole täpselt määratletud objektide kogud, sest kriteeriumid "kõige kuulsama", "kaunima", "parima" jaoks on inimestel erinevad.
Komplektid
See väärtus on täpselt määratletud arv erinevaid objekte. Eeldusel, et:
- sõnastik on sünonüüm, agregaat, klass ja sisaldab elemente;
- objektid, liikmed on võrdsed;
- komplektid on tavaliselt tähistatud suurtähtedega A, B, C;
- komplekti elemendid on tähistatud väikeste tähtedega a, b, c.
Kui "a" on hulga A element, siis öeldakse, et "a" kuulub A-sse. Tähistagem fraasi "kuulub" kreeka tähemärgiga "∈" (epsilon). Seega selgub, et a ∈ A. Kui 'b' on element, mis ei kuulu A-sse, esitatakse see kui b ∉ A. Mõned olulised 5. klassi matemaatikas kasutatavad hulgad on esitatud kolme järgmise meetodi abil:
- rakendused;
- registrid või tabel;
- formatsiooni loomise reegel.
Lähemal uurimisel põhineb taotlusvorm järgmiselt. Sel juhul on antud komplekti elementide selge kirjeldus. Kõik need on ümbritsetud lokkis traksidega. Näiteks:
- paaritute arvude komplekt, mis on väiksemad kui 7 – kirjutatud kui {vähem kui 7};
- arvude komplekt, mis on suurem kui 30 ja väiksem kui 55;
- õpilaste arv klassis, kes kaaluvad rohkem kui õpetaja.
Registri (tabeli) vormis on komplekti elemendid loetletud sulgudes {} ja eraldatud komadega. Näiteks:
- Tähistage N esimese viie naturaalarvu hulka. Seetõttu N=→ registreerimisvorm
- Inglise tähestiku kõigi vokaalide komplekt. Seega V={a, e, i, o, u, y} → registreerimisvorm
- Kõigi paaritute arvude hulk on väiksem kui 9. Seetõttu X={1, 3, 5, 7} → vormregister
- Kõigi tähtede kogum sõnas "Math". Seetõttu Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registrivorm
- W on aasta viimase nelja kuu kogum. Seetõttu W={september, oktoober, november, detsember} → register.
Pange tähele, et elementide loendi järjekord ei oma tähtsust, kuid neid ei tohi korrata. Väljakujunenud konstruktsioonivorm, antud juhul reegel, valem või operaator, kirjutatakse sulgudes, et hulk oleks õigesti määratletud. Komplekti koostaja vormis peab kõigil elementidel olema sama omadus, et saada kõnealuse väärtuse liikmeks.
Selles hulga esitusviisis kirjeldatakse komplekti elementi märgiga "x" või mis tahes muu muutujaga, millele järgneb koolon (tähisena kasutatakse ":" või "|". Näiteks olgu P loendatavate arvude hulk, mis on suuremad kui 12. P komplekti koostaja kujul kirjutatakse järgmiselt - {loendatav arv ja suurem kui 12}. Seda loetakse teatud viisil. See tähendab, et "P on x elemendi hulk, nii et x on loendatav ja suurem kui 12."
Lahendatud näide, kasutades kolme hulga esitusmeetodit: täisarvude arv vahemikus -2 kuni 3. Allpool on näited erinevat tüüpi kogumitest:
- Tühi või nullkomplekt, mis ei sisalda ühtegi elementi ja on tähistatud sümboliga ∅ ja loetakse kui phi. Loendi kujul on ∅ kirjutatud {}. Lõplik hulk on tühi, kuna elementide arv on 0. Näiteks täisarvude väärtuste hulk on väiksem kui 0.
- Ilmselt ei tohiks seal olla <0. Seetõttutühi komplekt.
- Ainult ühte muutujat sisaldavat kogumit nimetatakse üksikkomplektiks. Ei ole lihtne ega liit.
Lõplik komplekt
Teatud arvu elemente sisaldavat hulka nimetatakse lõplikuks või lõpmatuks hulgaks. Tühi viitab esimesele. Näiteks kõigi vikerkaarevärvide komplekt.
Lõpmatus on komplekt. Selles sisalduvaid elemente ei saa loetleda. See tähendab, et sarnaste muutujate sisaldamist nimetatakse lõpmatuks hulgaks. Näited:
- tasandi kõigi punktide hulga võimsus;
- kogu algarvudest.
Kuid te peaksite mõistma, et kogumi ühenduse kõiki kardinaalsusi ei saa loendina väljendada. Näiteks reaalarvud, kuna nende elemendid ei vasta ühelegi kindlale mustrile.
Hangi kardinaalarv on erinevate elementide arv antud suuruses A. Seda tähistatakse n (A).
Näiteks:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Seetõttu n (A)=4.
- B=tähtede kogum sõnas ALGEBRA.
Ekvivalentsed komplektid komplektide võrdlemiseks
Hulga A ja B kaks kardinaalsust on sellised, kui nende kardinaalarv on sama. Samaväärse komplekti sümbol on "↔". Näiteks: A ↔ B.
Võrdsed hulgad: hulk A ja B kaks kardinaalsust, kui need sisaldavad samu elemente. Iga koefitsient A-st on muutuja B-st ja iga koefitsient B on A määratud väärtus. Seetõttu A=B. Erinevaid kardinaalsusliitude tüüpe ja nende määratlusi selgitatakse toodud näidete abil.
Lõpsuse ja lõpmatuse olemus
Millised erinevused on lõpliku hulga ja lõpmatu hulga kardinaalsuse vahel?
Esimesel väärtusel on järgmine nimi, kui see on tühi või sisaldab piiratud arvu elemente. Lõplikus hulgas saab muutuja määrata, kui sellel on piiratud arv. Näiteks kasutades naturaalarvu 1, 2, 3. Ja loetlemise protsess lõpeb mõne N juures. Lõplikus hulgas S loetud erinevate elementide arv on tähistatud n-ga (S). Seda nimetatakse ka korraks või kardinaliks. Sümboolselt tähistatud vastav alt standardpõhimõttele. Seega, kui hulk S on vene tähestik, sisaldab see 33 elementi. Samuti on oluline meeles pidada, et elementi ei esine komplektis rohkem kui üks kord.
Lõpmatu komplektis
Hangi nimetatakse lõpmatuks, kui elemente ei saa loendada. Kui sellel on mis tahes n jaoks piiramatu (st loendamatu) naturaalarv 1, 2, 3, 4. Hulka, mis pole lõplik, nimetatakse lõpmatuks. Nüüd saame arutada vaadeldavate arvväärtuste näiteid. Lõppväärtuse valikud:
- Olgu Q={loomulikud arvud, mis on väiksemad kui 25}. Siis Q on lõplik hulk ja n (P)=24.
- Olgu R={täisarvud vahemikus 5 kuni 45}. Siis R on lõplik hulk ja n (R)=38.
- Olgu S={numbers modulo 9}. Siis S={-9, 9} on lõplik hulk ja n (S)=2.
- Komplekt kõigist inimestest.
- Kõigi lindude arv.
Lõpmatu arv näiteid:
- lennuki olemasolevate punktide arv;
- joonelõigu kõigi punktide arv;
- 3-ga jagatavate positiivsete täisarvude hulk on lõpmatu;
- kõik täis- ja naturaalarvud.
Seega on ül altoodud arutluskäigu põhjal selge, kuidas teha vahet lõplike ja lõpmatute hulkade vahel.
Kontiinuumikomplekti võimsus
Kui võrrelda komplekti ja muid olemasolevaid väärtusi, siis on komplektile lisatud täiendus. Kui ξ on universaalne ja A on ξ alamhulk, siis on A täiend kõigi ξ elementide arv, mis ei ole A elemendid. Sümboolselt on A täiend ξ suhtes A'. Näiteks 2, 4, 5, 6 on ainsad ξ elemendid, mis ei kuulu A-sse. Seetõttu on A'={2, 4, 5, 6}
Kardinaalsuse kontiinumiga komplektil on järgmised omadused:
- universaalse suuruse täiendus on kõnealune tühi väärtus;
- see nullkomplekti muutuja on universaalne;
- summa ja selle täiend on erinevad.
Näiteks:
- Olgu naturaalarvude arv universaalne ja A paaris. Siis A '{x: x on paaritu hulk samade numbritega}.
- Olgu ξ=tähestiku tähtede komplekt. A=kaashäälikute hulk. Siis A '=täishäälikute arv.
- Universaalkomplekti täiendus on tühi kogus. Võib tähistada ξ-ga. Siis ξ '=Nende elementide hulk, mida ξ ei sisalda. Tühi hulk φ kirjutatakse ja tähistatakse. Seetõttu ξ=φ. Seega on universaalse komplekti täiendus tühi.
Matemaatikas kasutatakse "kontiinumi" mõnikord tõelise joone tähistamiseks. Ja üldisem alt sarnaste objektide kirjeldamiseks:
- kontiinuum (hulgateoorias) - reaaljoon või vastav kardinaalarv;
- lineaarne – mis tahes järjestatud komplekt, mis jagab reaalse rea teatud omadusi;
- continuum (topoloogias) - mittetühi kompaktne ühendatud meetriline ruum (mõnikord Hausdorff);
- hüpotees, et ükski lõpmatu hulk pole suurem täisarvudest, vaid väiksem reaalarvudest;
- kontiinumi aste on kardinaalarv, mis tähistab reaalarvude hulga suurust.
Sisuliselt kontiinum (mõõtmine), teooriad või mudelid, mis selgitavad järkjärgulist üleminekut ühest olekust teise ilma järskude muutusteta.
Ühenduse ja ristumisprobleemid
On teada, et kahe või enama hulga ristumiskoht on arv, mis sisaldab kõiki nendes väärtustes ühiseid elemente. Lahendatakse sõnaülesandeid hulkade kohta, et saada põhiideid, kuidas kasutada hulkade liit- ja ristumisomadusi. Lahendas peamised sõnade probleemidkomplektid näevad välja sellised:
Olgu A ja B kaks lõplikku hulka. Need on sellised, et n (A)=20, n (B)=28 ja n (A ∪ B)=36, leidke n (A ∩ B)
Seos komplektides, kasutades Venni diagrammi:
- Kahe hulga ühendust saab esitada varjutatud alaga, mis tähistab A ∪ B. A ∪ B, kui A ja B on mitteühendatud hulgad.
- Kahe hulga lõikepunkti saab esitada Venni diagrammiga. Varjutatud ala tähistab A ∩ B.
- Kahe komplekti erinevust saab esitada Venni diagrammidega. Varjutatud alaga, mis tähistab A–B.
- Kolme komplekti vaheline seos, kasutades Venni diagrammi. Kui ξ tähistab universaalset suurust, siis A, B, C on kolm alamhulka. Siin kõik kolm komplekti kattuvad.
Komplektiteabe kokkuvõte
Hangi kardinaalsus on määratletud kui komplekti üksikute elementide koguarv. Ja viimast määratud väärtust kirjeldatakse kõigi alamhulkade arvuna. Selliste küsimuste uurimisel on vaja meetodeid, meetodeid ja lahendusi. Seega võivad komplekti kardinaalsuse jaoks olla järgmised näited:
Olgu A={0, 1, 2, 3}| |=4, kus | A | tähistab hulga A kardinaalsust.
Nüüd leiate oma toiteploki. See on ka päris lihtne. Nagu juba öeldud, määratakse võimsuste hulk antud arvu kõigist alamhulkadest. Seega tuleks põhimõtteliselt määratleda kõik A muutujad, elemendid ja muud väärtused,mis on {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Nüüd arvutage välja P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}}, millel on 16 elementi. Seega on hulga A kardinaalsus=16. Ilmselgelt on see tüütu ja tülikas meetod selle ülesande lahendamiseks. Siiski on olemas lihtne valem, mille abil saate otse teada antud arvu astmehulga elementide arvu. | P |=2 ^ N, kus N on mõne A elementide arv. Selle valemi saab saada lihtsa kombinatoorika abil. Seega on küsimus 2^11, kuna hulga A elementide arv on 11.
Seega, hulk on mis tahes arvuliselt väljendatud suurus, mis võib olla mis tahes võimalik objekt. Näiteks autod, inimesed, numbrid. Matemaatilises mõttes on see mõiste laiem ja üldistatum. Kui algstaadiumis on numbrid ja nende lahendusvariandid välja sorteeritud, siis keskmises ja kõrgemas etapis on tingimused ja ülesanded keerulised. Tegelikult määrab hulga ühenduse kardinaalsuse objekti kuuluvus mis tahes rühma. See tähendab, et üks element kuulub klassi, kuid sellel on üks või mitu muutujat.
