Stereomeetria on kolmemõõtmeliste geomeetriliste kujundite omaduste uurimine. Üks geomeetriaülesannetes esinev tuntud mahuline kujund on sirge prisma. Mõelgem selles artiklis, mis see on, ja kirjeldame üksikasjalikult ka kolmnurkse alusega prismat.
Prisma ja selle tüübid
Prisma on kujund, mis moodustub hulknurga paralleeltõlke tulemusena ruumis. Selle geomeetrilise toimingu tulemusena moodustub kujund, mis koosneb mitmest rööpkülikust ja kahest identsest üksteisega paralleelsest hulknurgast. Rööpnurgad on prisma küljed ja hulknurgad on selle alused.
Igal prismal on n+2 külge, 3n serva ja 2n tippu, kus n on hulknurga aluse nurkade või külgede arv. Pildil on viisnurkne prisma, millel on 7 külge, 10 tippu ja 15 serva.
Vaatatavat figuuride klassi esindavad mitut tüüpi prismad. Loetleme need lühid alt:
- nõgus ja kumer;
- kaldus ja sirge;
- vale ja õige.
Iga kujund kuulub ühte kolmest loetletud klassifikatsioonitüübist. Geomeetriliste ülesannete lahendamisel on kõige lihtsam teha arvutusi tavaliste ja sirgete prismade jaoks. Viimast käsitletakse üksikasjalikum alt artikli järgmistes lõikudes.
Mis on sirge prisma?
Sirge prisma on nõgus või kumer, korrapärane või ebakorrapärane prisma, mille kõik küljed on esindatud 90° nurga all olevate nelinurkadega. Kui vähem alt üks külgede nelinurk ei ole ristkülik või ruut, nimetatakse prismat kalduks. Võib anda ka teise definitsiooni: sirge prisma on selline antud klassi kujund, milles suvaline külgserv on võrdne kõrgusega. Prisma kõrguse h all eeldatakse selle aluste vahekaugust.
Mõlemad antud definitsioonid, et tegemist on otsese prismaga, on võrdsed ja isemajandavad. Nendest järeldub, et kõik kahetahulised nurgad mis tahes aluse ja kummagi külje vahel on 90°.
Eelpool oli öeldud, et ülesannete lahendamisel on mugav töötada sirgete kujunditega. See on tingitud asjaolust, et kõrgus ühtib külgribi pikkusega. Viimane asjaolu hõlbustab kujundi ruumala ja selle külgpinna pindala arvutamist.
Otseprisma maht
Maht - igale ruumikujundile omane väärtus, mis peegeldab arvuliselt vaadeldava pindade vahele jäävat ruumi osa.objektiks. Prisma ruumala saab arvutada järgmise üldvalemi abil:
V=Soh.
See tähendab, et aluse kõrguse ja pindala korrutis annab soovitud väärtuse V. Kuna sirge prisma alused on võrdsed, siis pindala So määramiseks võite võtta neist ükskõik millise.
Spetsiaalselt sirge prisma jaoks ül altoodud valemi kasutamise eelis võrreldes teiste tüüpidega on see, et joonise kõrgust on väga lihtne leida, kuna see langeb kokku külgserva pikkusega.
Küljeala
Mugav on arvutada mitte ainult vaadeldava klassi sirgjoone ruumala, vaid ka selle külgpind. Tõepoolest, selle mis tahes külg on kas ristkülik või ruut. Iga õpilane teab, kuidas nende lamedate kujundite pindala arvutada, selleks on vaja kõrvutiasetsevad küljed üksteisega korrutada.
Oletame, et prisma alus on suvaline n-nurk, mille küljed on võrdsed ai. Indeks i kestab 1-st n-ni. Ühe ristküliku pindala arvutatakse järgmiselt:
Si=aih.
Külgpinna pindala Sb on lihtne arvutada, kui liita kokku kõik alad Si ristkülikud. Sel juhul saame lõpliku valemi Sbsirge prisma:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
Seega, et määrata sirge prisma külgpindala, peate korrutama selle kõrguse ühe aluse ümbermõõduga.
Probleem kolmnurkse prismaga
Oletame, et antud on sirge prisma. Alus on täisnurkne kolmnurk. Selle kolmnurga jalad on 12 cm ja 8 cm. Kui prisma kõrgus on 15 cm, on vaja arvutada kujundi ruumala ja kogupindala.
Esm alt arvutame sirge prisma ruumala. Selle põhjas asuva kolmnurga (ristkülikukujulise) pindala on:
So=a1a2/2=128/2=48 cm2.
Nagu võite arvata, on a1 ja a2 selle võrrandi jalad. Teades aluse pindala ja kõrgust (vt ülesande tingimust), saate V jaoks kasutada valemit:
V=Soh=4815=720 cm3.
Figuuri kogupindala koosneb kahest osast: aluste pindaladest ja külgpinnast. Kahe aluse alad on:
S2o=2So=482=96 cm2.
Külgpinna arvutamiseks peate teadma täisnurkse kolmnurga ümbermõõtu. Arvutage Pythagorase teoreemi abil selle hüpotenuus a3, meil on:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 cm.
Siis on parempoolse prisma aluse kolmnurga ümbermõõt:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.
Eelmises lõigus kirjutatud valemi Sb rakendamine,hankige:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 cm.
Liides alad S2o ja Sb, saame uuritava geomeetrilise kujundi kogupindala:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3 cm2.
Kolmnurkset prismat, mis on valmistatud spetsiaalsest klaasist, kasutatakse optikas valgust kiirgavate objektide spektrite uurimiseks. Sellised prismad on võimelised hajutama valgust komponentide sagedusteks tänu hajumise nähtusele.
