Iga õpilane on kuulnud ümarast koonusest ja kujutab ette, milline see kolmemõõtmeline kujund välja näeb. Selles artiklis kirjeldatakse koonuse kujunemist, esitatakse valemid, mis kirjeldavad selle omadusi, ja kirjeldatakse, kuidas seda kompassi, nurgamõõturi ja sirgjoonega konstrueerida.
Geomeetria ringikujuline koonus
Anname sellele joonisele geomeetrilise definitsiooni. Ümmargune koonus on pind, mille moodustavad sirgjoonelised lõigud, mis ühendavad teatud ringi kõiki punkte ühe ruumipunktiga. See üksik punkt ei tohi kuuluda tasapinnale, millel ring asub. Kui võtame ringi asemel ringi, siis see meetod viib ka koonuseni.
Ringi nimetatakse kujundi aluseks, selle ümbermõõt on suund. Lõike, mis ühendavad punkti otsejoonega, nimetatakse generatriteks või generaatoriteks ja nende ristumispunktiks on koonuse tipp.
Ümar koonus võib olla sirge ja kaldu. Mõlemad arvud on näidatud alloleval joonisel.
Nende erinevus on järgmine: kui koonuse tipust lähtuv risti langeb täpselt ringi keskpunkti, siis on koonus sirge. Tema jaoks on risti, mida nimetatakse figuuri kõrguseks, tema telje osa. Kaldkoonuse korral moodustavad kõrgus ja telg teravnurga.
Figuuri lihtsuse ja sümmeetria tõttu käsitleme edaspidi ainult ümara põhjaga parempoolse koonuse omadusi.
Pööramise abil kuju saamine
Enne kui asuda käsitlema koonuse pinna arengut, on kasulik teada, kuidas seda ruumikuju saab pöörata pööramise abil.
Oletame, et meil on täisnurkne kolmnurk külgedega a, b, c. Esimesed kaks neist on jalad, c on hüpotenuus. Paneme kolmnurga jalale a ja hakkame seda ümber jala b pöörama. Hüpotenuus c kirjeldab seejärel koonusekujulist pinda. Seda lihtsat koonuse tehnikat on näidatud alloleval diagrammil.
Ilmselt on jalg a joonise aluse raadius, jalg b selle kõrgus ja hüpotenuus c vastab ümmarguse parempoolse koonuse generaatorile.
Vaade koonuse arengule
Nagu võite arvata, moodustavad koonuse kahte tüüpi pinnad. Üks neist on tasane alusring. Oletame, et selle raadius on r. Teine pind on külgmine ja seda nimetatakse koonusekujuliseks. Olgu selle generaator võrdne g.
Kui meil on paberikoonus, siis saame võtta käärid ja se alt aluse ära lõigata. Seejärel tuleb kooniline pind lõigatapiki mis tahes generaatorit ja paigutage see lennukisse. Sel viisil saime koonuse külgpinna arengu. Kaks pinda koos esialgse koonusega on näidatud alloleval diagrammil.
Alusring on kujutatud all paremal. Voldimata kooniline pind on näidatud keskel. Selgub, et see vastab ringi mõnele ringikujulisele sektorile, mille raadius on võrdne generaatori g pikkusega.
Nurga ja ala pühkimine
Nüüd saame valemid, mis võimaldavad teadaolevaid parameetreid g ja r kasutades arvutada koonuse pindala ja nurga.
Ilmselt on ül altoodud joonisel kujutatud ringikujulise sektori kaare pikkus võrdne aluse ümbermõõduga, see on:
l=2pir.
Kui ehitataks terve ring raadiusega g, siis selle pikkus oleks:
L=2pig.
Kuna pikkus L vastab 2pi radiaanile, siis saab vastavast proportsioonist määrata nurga, millel kaar l toetub:
L==>2pi;
l==> φ.
Siis on tundmatu nurk φ võrdne:
φ=2pil/L.
Asendades pikkuste l ja L avaldised, saame koonuse külgpinna arengunurga valemi:
φ=2pir/g.
Nurka φ siin väljendatakse radiaanides.
Ringikujulise sektori pindala Sb määramiseks kasutame φ leitud väärtust. Teeme veel ühe proportsiooni, ainult piirkondade jaoks. Meil on:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Kust väljendada Sb ja seejärel asendada nurga φ väärtus. Saame:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Koonilise pinna pindala jaoks oleme saanud üsna kompaktse valemi. Sb väärtus võrdub kolme teguri korrutisega: pi, joonise raadius ja selle generaator.
Siis on joonise kogu pinna pindala võrdne Sb ja So summaga (ringikujuline baaspindala). Saame valemi:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Koonuse loomine paberile
Selle ülesande täitmiseks vajate paberit, pliiatsit, kraadiklaasi, joonlauda ja kompassi.
Kõigepe alt joonistame täisnurkse kolmnurga külgedega 3 cm, 4 cm ja 5 cm. Selle 3 cm pöörlemine ümber sääre annab soovitud koonuse. Joonisel on r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Pühkimise loomine algab kompassiga raadiusega r ringi joonistamisest. Selle pikkus on 6pi cm. Nüüd joonistame selle kõrvale teise ringi, kuid raadiusega g. Selle pikkus vastab 10pi cm. Nüüd peame suurest ringist ära lõikama ringikujulise sektori. Selle nurk φ on:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Nüüd jätame selle nurga kõrvale g raadiusega ringil nurgamõõturiga ja joonistame kaks raadiust, mis piiravad ringikujulist sektorit.
NiiSeega oleme koostanud koonuse arenduse määratud raadiuse, kõrguse ja generatriksi parameetritega.
Näide geomeetrilise ülesande lahendamisest
Arvestades ümarat sirget koonust. On teada, et selle külgsuunalise nihke nurk on 120o. On vaja leida selle kujundi raadius ja generatriks, kui on teada, et koonuse kõrgus h on 10 cm.
Ülesanne pole keeruline, kui meeles pidada, et ümmargune koonus on täisnurkse kolmnurga pöördekuju. Sellest kolmnurgast tuleneb ühemõtteline seos kõrguse, raadiuse ja generatriksi vahel. Kirjutame vastava valemi:
g2=h2+ r2.
Teine lahendamisel kasutatav avaldis on nurga valem φ:
φ=2pir/g.
Seega on meil kaks võrrandit, mis seostavad kaht tundmatut suurust (r ja g).
Väljendage teisest valemist g ja asendage tulemus esimesega, saame:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Nurk φ=120o radiaanides on 2pi/3. Asendame selle väärtuse, saame r ja g lõplikud valemid:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Jääb üle kõrguse väärtuse asendada ja saada vastus probleemküsimusele: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
